デデ キント の切断による実数の構成

実数は, (a)^または (c)^をみたす Qの切断とし て 定義され る. ^{すなわ ち},^{実数の集合}R^は つぎ のように定義され る:

R=

(A₁, A₂)

(A₁, A₂)^はA₂^{に 最小数がない}Q^の切断 ここで,^切断(A₁, A₂)^は, ^{切断の切口}infA₂ (= supA₁) を表し ているのである.

切断に関する注意: Qの切断(A1, A2)は,A1=Q\A2 より,A2だけで 完全に 決ま るので,つぎ の条件を 満たすA⊂QをQの切断と 呼び,その うち最小数が ないもの 全体をRと 定義することも出来る.

(i) ∅ =A=Q; (ii) a∈A, a < b⇒b∈A

各x∈Q^{に 対し て},A^x₁ = a∈Q

ax

,A^x₂ = a∈Q

a > x

=Q\A^x₁ ^とすると, (a)^を満たすQ^の切断(A^x₁, A^x₂)∈R^{が 得られ る}. ^実際,x= maxA^x₁ ^となる. ^各x∈Q^を (A^x₁, A^x₂) ∈Rと同一視することによりQ⊂R^とみなす. ^よって, (c) ^を満たす Q^の切断 が 無理数である.

順序: つぎ のように 定義され る R^{におけ る大小関係 は},Qにおけ る大小関係の拡張 であり,^{この に より},R^{は 全順序集合となる}:

(A₁, A₂)(B₁, B₂)⇔

defA₁ ⊂B₁ (⇔ A₂ ⊃B₂)

^演習 5.44 ^{上の が}Q^{の順序の拡張であり},R上の全順序とな ることを 示せ. ^演習 5.45 Q^が Rにおいて 稠密であること,^すなわち,つぎ が 成立することを 示せ:

∀x < y∈R, ∃z∈Q such that x < z < y

定理 5.9 (^{実数の 連続 性}) R ^{の 切 断を} Q の 切断と 同 様に 定 義す る (^{条 件} (ii) ^は R = A₁∪A₂). ^このとき,R^の切断 (A₁, A₂)^について,A₁ ^{に 最大数があるか} A₂^{に 最小数があ} るかのど ちらかである.

^演習 5.46 ^{実数の連続性}(^上の定理)^{を証明せよ}.

ヒント (A^′₁, A^′₂) = (A1∩Q, A2∩Q)はQの切断で, (a)のときは, maxA1= maxA^′₁; (b)のときは, minA2= minA^′₂; (c)のときは,この切断(A^′₁, A^′₂)の表す実数をzと すれば,∀x∈A^′₁, ∀y∈A^′₂,A^x₁ A^′₁A^y₁,すなわち,x < z < yとなり,z= maxA1

か z= minA2となる.

^演習 5.47 (ワイエルシ ュト ラウスの公理) Rの空でない部分集合が 上に 有界であれば

上限を 持ち,下に 有界であれば 下限を持つことを 証明せよ.

ヒント A⊂Rが上に有界の場合(下に有界の場合も同様),上界をA2し,A1=R\A2

とすると,Rの切断(A1, A2)が 得られ る. maxA1が 存在し ないことを 示せば,実数 の連続性より, minA2= supAが 存在する.

演習 5.48 α = (A₁, A₂)∈R^{に 対し て},−α= (A⁻₁, A⁻₂)∈R^を A⁻₂ =

−x

x∈A₁, x= maxA₁

, A⁻₁ =Q\A⁻₂ と 定義するとき, α >0⇔ −α <0 (α <0⇔ −α >0)^を示せ.

演算: 2^つの実数(A₁, A₂)^と(B₁, B₂)^の和(A₁, A₂) + (B₁, B₂) = (C₁, C₂)^{をつぎ のよ} うに定義する:

C₂ =

def

x+y

x∈A₂, y∈B₂

, C₁ =

defQ\C₂

(A₁, A₂)0, (B₁, B₂)0 ^{の場合に 積} (A₁, A₂)·(B₁, B₂) = (D₁, D₂)を 次のよ うに 定義 する:

D2 =

def

xy

x∈A2, y∈B2

, D1 =

defQ\D2

一 般の 場合には, α < 0, β 0; α 0, β < 0; α < 0, β < 0 ^{に 応じ て}, ^{それぞ れ} αβ =−((−α)β);αβ =−(α(−β));αβ = (−α)(−β)^{と定義する}.

^演習 5.49 ^{上の演算が} well-defined^であり,Qの演算の拡張であることを 示せ. ^演習 5.50 Rに おけ る加法と乗法の結合律,交換律および 分配律を 証明せよ. ^演習 5.51 Rに おけ る加法と乗法に 関し て,さらにつぎ が 成立することを 示せ:

∀x∈R, x+ 0 =x; ∀x∈R, ∃¹−x∈R such that x+ (−x) = 0 ;

∀x∈R\ {0}, x1 =x ; ∀x∈R\ {0}, ∃¹x⁻¹ ∈R such that x·x⁻¹ = 1 ^演習 5.52 Rが 順序体とな ること,^すなわち,つぎ が 成立することを示せ:

x < y⇒ ∀z∈R, x+z < y+z ; x < y, z >0⇒xz < yz

^演習 5.53 (アルキ メデ スの公理) ^{任意の正の実数}x, y^{に 対し て}, y < nx^{とな る自然} 数 nが 存在することを 証明せよ.

ヒント 0< n⁻¹< y⁻¹xなるn∈Nを見付ける. Qの切断でy⁻¹x= (A1, A2)と表 すと,y⁻¹x >0 より∃r∈Asuch that r >0. このとき, 0< r < y⁻¹xより,r∈Q の分数表示を 考えよ.

参考書: この節のデデキントの切断による実数の構成に関し ては,^{つぎ の書籍} に 丁寧な 解説がある:

• ^吉永悦男 : ^{初等解析学} — 実数＋ イプ シ ロン ・デ ル タ＋ 積分, ^培風館, 1994.

注意: 5.5 節と 5.7 節において,実数の 2つの構成法, カント ールによるものと デデキントによるものを取り上げ たが,カント ールの手法は距離空間の完備化とし て一般化され,デデ キント の手法は 順序位相の完備化とし て一般化されている.

6 ^{集合の濃度} ( ^基数 )

有限個の元し か 持たない集合であれば,その元の個数を数えて何個の元を 持つと い うことが 出来る. ^{そし て}, 2 つの 集合の元の個数を 比較し て, ^元の個 数が 同じ とか 違うとか,^また,一方が 他方より多いとか 少ないとかを知ること が 出来る. ^{この章では},^{無限個の元を持つ}2^{つの集合に 対し て},^{ど のように 元} の個数を比較することが 出来るのか,^すなわち,^{個数とし ての自然数}(^基数)^の 無限への拡張を考える. 無限といっても無限に 多くの無限があり,^{それらの間} に大小関係があり,和や積を考えることも出来るのである. ^{無限に 関する理解} を深め, 有限と無限の違いを明確に する.