閉じた超弦

閉弦の理論において振動子α,α¯はそれぞれe^−in(τ+σ), e^{−in(τ−σ)}の展開係数である(式(13.24))．そこで生 成演算子α,α¯の作る状態をそれぞれ左進セクター，右進セクターと呼ぶ^*9．左進セクターと右進セクターの 各々は開弦の状態に当たり，それぞれNSセクターとRセクターを持つ．

*8「時空の」という但し書きは，世界面におけるボゾン・フェルミオンとの区別を強調するために用いられている．

*9左進および右進という呼び方は，教科書では既に13.1節において導入されている(p.280)．

超対称性を備えた閉弦理論を得るために，状態を 左進セクター：

{NS+

R− }

, 右進セクター：

{NS+

R+

}

と縮小する理論をIIA型と呼ぶ．IIA型の理論における無質量状態は

(NS+,NS+) : ¯b^I_−1/2|NS⟩_L ⊗ b^J_−1/2|NS⟩_R ⊗ |p⁺, ⃗pT⟩ 8×8個のボゾン状態，

(NS+,R+) : ¯b^I_−1/2|NS⟩_L ⊗ |R¯b⟩_R ⊗ |p⁺, ⃗pT⟩ 8×8個のフェルミオン状態，

(R−,NS+) : |Ra⟩_L ⊗ b^I_−1/2|NS⟩_R ⊗ |p⁺, ⃗pT⟩ 8×8個のフェルミオン状態，

(R−,R+) : |Ra⟩_L ⊗ |R¯b⟩_R ⊗ |p⁺, ⃗pT⟩ 8×8個のボゾン状態

で与えられる．無質量の(NS+,NS+)ボゾンは2つのLorentz添字を持ち，重力子とKalb-Ramond場と，

ディラトンの1粒子状態に同定される．

状態を

左進セクター：

{NS+

R− }

, 右進セクター：

{NS+

R− }

と縮小する理論をIIB型と呼ぶ．

• II型(閉弦のみ)

開いた超弦の複製を左進部分と右進部分に充てて組み合わせる – IIA型

– IIB型

• ^ヘテロ型(閉弦のみ)

開いたボゾン的な弦を左進部分，開いた超弦を右進部分として組み合わせる．

– E8×E8ヘテロ型 – SO(32)ヘテロ型

• I型(閉弦と開弦)

無向の(12.6節参照)閉弦と開弦による超対称な理論

以上の5種類の超弦理論とM理論(膜を含んでいるが弦理論ではない)は，唯一の理論の異なる極限と見な される．ボゾン的な弦の理論も単一の理論に含まれるかはまだ不明である．

14.8 について

■「閉弦の理論が，……乗法的に組み合わせることによって得られる」(14.8節，l.1,2)について これは左進 演算子αと右進演算子α¯ を乗法的に組み合わせて基底状態に作用させると，閉弦の状態が得られること(式 (13.60))を意味していると考えられる．ここから(R,R)セクターが「 2重に フェルミオン的」(14.8節，

l.11,12)であることが理解される．

■閉じた超弦のセクター(14.75)について 例えば左進セクターにNSセクターとRセクターの両方を用いる ような状態は考えられない．これはNeveu-Schwarz境界条件とRamond境界条件が両立しないため，NSセ クターとRセクターが排他的であることを考えれば当然である．

■IIA型の超弦のセクター(14.77)について 14.7節においてR−^を(−1)^F =−1のフェルミオン的な状態，

R+を(−1)^F = +1のボゾン的な状態と定めた．しかしIIA型の超弦のセクター(14.77):

(NS+,NS+), (NS+,R+), (R−,NS+), (R−,R+)

に対して「時空のボゾンは……(R,R)セクターからも生じ」(14.8節，l.10,11)，「時空のフェルミオンは(NS,R) セクターと(R,NS)セクターから生じる」(14.8節，l.12)ためには，右進セクターのR+をフェルミオン的な 状態と見なければならないと考えられる．

■質量の自乗の式(14.78)について ボゾン的な弦理論においては 閉弦理論における質量の自乗(13.48) : α^′

2M²=N^⊥+ ¯N^⊥−2 =α^′M_R²+α^′M_L², 閉弦理論における質量の自乗(12.163) : α^′M_R²=N^⊥−1, α^′M_L²= ¯N^⊥−1 である．そこで超弦に対しても質量の自乗を式(14.78):

α^′

2M²=α^′M_R²+α^′M_L²

と書いたものと考えられる．ただしM_R²とM_L²は，左進セクターと右進セクターのそれぞれでNSセク ターを考えているかRセクターを考えているかに応じて式(14.37)または式(14.53)を用いなければならな い．質量の自乗を式(14.78)は4つのセクター(14.75)の縮小の仕方に依らない．

ボゾン的な弦理論において，状態間のレベル整合条件α⁻₀ = ¯α⁻₀ は式(13.45):N^⊥ = ¯N^⊥に書き換えられ るので，これはα^′M_R² =α^′M_L²(p.316，下から 4行目)を意味している．超弦に対しても式(14.37)，式 (14.53)より，例えばIIA型理論の無質量状態(14.79–82)が

α^′M_R²=α^′M_L²= 0 を満たしているのを見て取ることはできる．

■「a = 1,· · · ,8 および¯b = ¯1,· · ·,¯8 により」(p.317，l.13)について 状態(14.80)は¯b = ¯1,· · · ,¯8 と I= 2,· · ·,9により，状態(14.81)はa= 1,· · ·,8とI= 2,· · ·,9により8×8 = 64種類ある．Ramond基 底状態の添字a,¯bのとり得る値の個数はLorentz添字Iのそれと一致している．

■「NS−セクターを用いることになり，タキオンを含むスペクトルが生じてしまう」(p.318，l.14,15)につい て NS±^{セクター，}R±セクターのうちタキオンを含むのはNS−^{セクターのみである．}

計算練習14.7

式(14.79)の線形結合 ∑

I,J

R_IJ×(14.79)

を作ったとき，式(13.64)に対応する重力子の1粒子状態の数は式(10.108):

n(D) = 1

2D(D−3) = 35 (∵D= 10) である．式(13.70)に対応するKalb-Ramond状態の数は反対称なAIJの数

1 +· · ·+ 7 = 1

2 ·7·8 = 28

だけある．式(13.71)に対応するディラトン状態は1つだけなので，以上の状態数の総和は 35 + 28 + 1 = 64

になる．

計算練習14.8

左進セクターのR±^からR−を選んでも一般性を失わない(p.317)．NS−^{セクター，}R±^{セクターの} 状態は整数値のα^′M² を持ち，NS+セクターの状態は半整数値のα^′M² を持つ．よって条件α^′M_R² = α^′M_L²(p.316，下から4行目)を満たすためには，右進セクターのNS±^からNS+を選ぶことはできない．

そこで

左進セクター：

{NS− R−

}

, 右進セクター：

{NS− R±

}

とすれば良いと考えられる．