重力場と重力子状態

注意 3.6節の箇所で述べたように，線形化されたEinstein方程式(3.82)には付加的な項が現れると考えら れる．しかしここではひとまず式(3.82)が正しいと仮定して，教科書の通りにまとめる．次いで続く

「10.6について」にて，Einstein方程式を訂正しても主要な結論に影響はないことを確かめる．

線形化されたEinstein方程式(8.32) : ∂²h^µν−∂α(∂^µh^να+∂^νh^µα) +∂^µ∂^νh= 0, ゲージ変換(3.84) : δh^µν=δ0h^µν ≡∂^µε^ν+∂^νε^µ

は，h^µν(x)とε^µ(x)のFourier変換h^µν(p), ε^µ(p)に対する式

S^µν(p)≡p²h^µν−p_α(p^µh^να+p^νh^µα) +p^µp^νh= 0, δ0h^µν(p) =ip^µε^ν(p) +ip^νε^µ(p)

になる．

ゲージパラメーターε^µを適当に選んでゲージ変換を行えば，光錐ゲージ条件 h^+µ= 0, µ= +,−, I

を満たすようなh^µνをとれる．光錐ゲージにおいてp⁺= 0が仮定される．このとき運動方程式は 0 =S⁺⁺(p) = (p⁺)²h, ∴0 =h=η_µνh^µν =h^II

となる．このh= 0をS^+ν(p) = 0に代入すると

pαh^να = 0 が得られ，さらにこれをS^µν(p) = 0にもどすと

p²h^µν = 0

を得る．よってp² ̸= 0のときh^µν = 0である．p²= 0のとき，対角和がゼロになる条件h^II = 0と対称性 h^IJ=h^{J I}の下でh^IJ は

n(D) = 1

2D(D−3)

個の独立な成分を持つ．そしてp_αh^να= 0によれば，横方向成分h^IJを決めると h^I−= 1

p⁺pJh^IJ によってh^I−が決まり，

h⁻⁻= 1 p⁺p_Ih^−I

によってh⁻⁻が決まる．以上で光錐ゲージ条件h^+µ= 0において残された自由度を担う量(h^IJ, h^I−, h⁻⁻) の全てが決まる．古典的な重力波は質量殻p²= 0上の各点あたりにn(D)個の自由度を持つ．

10.6 について

■Einstein方程式(3.82) の訂正に伴う変更 3.6節の箇所で述べたように，線形化されたEinstein方程式

(3.82):

∂²h^µν−∂_α(∂^µh^να+∂^νh^µα) +∂^µ∂^νh= 0

の左辺には付加的な項η^µν(∂^α∂^βhαβ−∂²h) を補う必要があると考えられる．このとき場のFourier成分 h^µν(p)についての対応する式(10.89)は

{p²h^µν−pα(p^µh^να+p^νh^µα) +p^µp^νh}+η^µν(p^αp^βhαβ−p²h) = 0 に修正される．しかしこのときにも光錐ゲージ条件(10.98)の下で，やはり

h= 0 : (10.100), h^II = 0 : (10.101) が成立する．また式(10.102)は

{p²h^µν−p^µ(pαh^να)−p^ν(pαh^µα)}+η^µνp^αp^βhαβ= 0 (26) に置き換わるけれど，ここでµ= +またはν= +と置いて得られる2式

p⁺p_αh^να+η^+νp^αp^βh_αβ= 0, −p⁺p_αh^µα+η^µ+p^αp^βh_αβ= 0

を辺々引くと再び式(10.103):pαh^να= 0を得る．さらにこれを上式(26)に戻せば，光錐ゲージの下での運動 方程式として式(10.104):

p²h^µν = 0 が導かれる．よって以降の教科書の議論はそのまま成り立つ．

■n(D)の式(10.108)について 行列(h^IJ)の上三角要素と対角要素の合計数は 1 + 2 +· · ·+ (D−2) = 1

2(D−1)(D−2)

である(行列(h^IJ)のk(= 1,2,· · · , D−2)行目に考えている要素はD−k+ 1個含まれる)．対角和がゼロ となる条件から，独立な要素の個数が1だけ減少する．

問題10.3

この問題は11.5節で言及される．

(a)

A^µ=B^µ

⇒ A^±=A⁰±A¹

√2 = B⁰±B¹

√2 =B^±, A^I =B^I.

(b)

Lorentz添字µ, ν = 0,1,2,3を持つテンソルR^µν =A^µB^ν に対して，R^µν =A^µB^ν がµ, νを光錐成分

±, Iにとっても成り立つことを要求すると R^±± =A^±B^±= A⁰±A¹

√2

B⁰±B¹

√2 =1

2{A⁰B⁰±A⁰B¹±A¹B⁰+ (±1)(±1)A¹B¹}

=1

2{R⁰⁰±R⁰¹±R¹⁰+ (±1)(±1)R¹¹} より

R⁺⁺=1

2(R⁰⁰+R⁰¹+R¹⁰+R¹¹), R⁺⁻=1

2(R⁰⁰−R⁰¹+R¹⁰−R¹¹), R⁻⁺=1

2(R⁰⁰+R⁰¹−R¹⁰−R¹¹), R⁻⁻=1

2(R⁰⁰−R⁰¹−R¹⁰+R¹¹) を得る．同様に

R^±I = 1

√2(R^0I±R^1I), R^I± = 1

√2(R^I0±R^I1) を得る．以上よりLorentzテンソルの等式関係R^µν =S^µνは光錐成分の等式関係

R⁺⁺= 1

2(R⁰⁰+R⁰¹+R¹⁰+R¹¹) = 1

2(S⁰⁰+S⁰¹+S¹⁰+S¹¹) =S⁺⁺, etc.

を含意している．

なお，光錐座標への変換

x^µ→x^′µ, x^′+ =x⁰+x¹

√2 , x^′−= x⁰−x¹

√2 に対して

(a^µ_ν)≡ (∂x^′µ

∂x^ν )

=



1/√

2 1/√ 2 0 1/√

2 −1/√ 2 0

0 0 1





であり(ただし例えば右下の1は(D−2)×(D−2)の単位行列を表す)，上で得た光錐成分の表式はテンソル の変換則

R^′µν =a^µ_ρa^ν_σR^ρσ に他ならない．

(c)

小問(b)の関係は計量テンソルの正しい光錐成分 η^±±=1

2(η⁰⁰+η¹¹) =1

2{(−1) + 1}= 0, η^±∓=1

2(η⁰⁰−η¹¹) =1

2{(−1) + (−1)}=−1, η^±I =η^I±= 0

を与える．

(d)

F^±±=0,

F^±∓=∓F⁰¹=∓E_x,

F^±I = 1

√2(F^0I±F^1I) =







√1

2(E_y±B_z) (I= 2)

√1

2(Ez±(−By)) (I= 3) ,

F^I±= 1

√2(F^I0±F^I1) =−F^±I.

以上のように，F^µν は添字を光錐成分に選んだ場合にも反対称となる．

第 11 章 点粒子の光錐量子化 11.1 光錐粒子

相対論的な点粒子に対して

S=

∫

Ldτ, L=−m√

−x˙²,

∴p_µ≡∂L

∂x˙^µ = mx˙_µ

√−x˙², dp_µ dτ = 0

である．ただしτは無単位のパラメーターとし，τによる微分をドットで表す．運動量p_µは運動の定数であ り，p²+m²= 0を満たしている．

弦に対する光錐ゲージ条件X⁺(τ, σ) =βα^′p⁺τと類似の条件 x⁺= 1

m²p⁺τ を粒子に対して課すと，運動量の表式と運動方程式はそれぞれ

p_µ=m²x˙_µ, x¨_µ= 0

と簡単になる．(τを無単位に選んだので，第1式の両辺の単位(次元)はこれで合っている．)p⁺とp^Iを指 定すると，条件p²+m²= 0から

p⁻= 1

2p⁺(p^Ip^I+m²) と定まり，これを用い点粒子の運動は

pµ=m²x˙µ ⇒ x⁻(τ) =x⁻₀ + p⁻

m²τ, x^I(τ) =x^I₀+ p^I m²τ

と表される(x⁺は光錐ゲージ条件x⁺=_m¹₂p⁺τによって与えられる)．以上より独立な力学変数を (x^I, x⁻₀, p^I, p⁺)

に選ぶことができる．x^I₀の代わりにx^Iを選んだのは，座標と運動量の対称な取扱いのためである．

11.1 について

■点粒子の光錐ゲージ条件(11.7)について これはスカラー場のFourier展開の式(10.31)において導入した 変数τの定義式

x⁺= 1 m²p⁺τ と同じ形をしている．

■式(11.8) 第2の等号では光錐ゲージ条件(11.7)によりx˙⁺=p⁺/m²となることを用いる．

ドキュメント内 【PDF】B.ツヴィーバッハ『初級講座 弦理論《基礎編》』 (ページ 96-101)