光錐 Lorentz 生成子

相対論的な点粒子について，Lorentz変換δx^µ=ε^µνxνに関する対称性からチャージ M^µν=x^µp^ν−x^νp^µ

の保存が結論される．そしてLorentz共変な交換関係

[x^µ(τ), p^ν(τ)] =iη^µν, [x^µ(τ), x^ν(τ)] = 0, [p^µ(τ), p^ν(τ)] = 0 を課すと，チャージM^µν は座標のLorentz変換を生成すること

δx^ρ= [

−i

2εµνM^µν, x^ρ ]

=ε^ρνxν

が導かれる．

Lorentz共変な交換関係の下では

[M^µν, M^ρσ] =iη^µρM^νσ−iη^νρM^µσ+iη^µσM^ρν−iη^νσM^ρµ

が導かれる．これは添字を光錐成分に選んでも成立し，

[M⁺⁻, M^+I] =iM^+I, [M^−I, M^−J] = 0, etc.

を与える．

次に光錐ゲージを採用した場合を考える．

1. チャージの定義

M⁺⁻=x⁺p⁻−x⁻p⁺= p⁺τ m²p⁻−

(

x⁻₀ + p⁻ m²τ

)

p⁺=−x⁻₀p⁺, M^−I =x⁻p^I−x^Ip⁻=

(

x⁻₀ + p⁻ m²τ

) p^I−

(

x^I₀+p^Iτ m²

)

p⁻=x⁻₀p^I−x^I₀p⁻, etc.

と考えると，これらはHermiteではない．そこでチャージをHermite演算子 M⁺⁻≡ −1

2(x⁻₀p⁺+p⁺x⁻₀), M^−I ≡x⁻₀p^I−1

2(x^I₀p⁻+p⁻x^I₀), etc.

として定義する．

2. チャージの生成する変換

ここで定義した光錐ゲージにおけるチャージは

座標と運動量のLorentz変換を生成する，光錐ゲージLorentz生成子となる．

ある場合には，これらの変換に世界線へのパラメーターの付け替えが伴う(問題11.7)． 3. チャージの交換関係

ここで定義した光錐ゲージにおけるチャージは，

光錐座標における共変な演算子が満たすのと同じ交換関係

[M⁺⁻, M^+I] =iM^+I, [M^−I, M^−J] = 0, etc.

を満たす．このため光錐ゲージにおける量子論のLorentz不変性が保証される．

11.6 について

■(M^µν)^†の式(11.77)

(M^µν)^†= (p^ν)^†(x^µ)^†−(p^µ)(x^ν)^† =p^νx^µ−p^µx^ν であり，

p^νx^µ =x^µp^ν+ [p^ν, x^µ] =x^µp^ν−iη^µν, p^µx^ν =x^νp^µ+ [p^µ, x^ν] =x^νp^µ−iη^µν を辺々引いて

p^νx^µ−p^µx^ν =x^µp^ν−x^νp^µ を得る．

■交換関係(11.81)の光錐成分 問題10.3より交換子[M^µν, M^ρσ]の式(11.81)は添字を光錐成分にとって も成り立つ．このことを式(11.83)，式(11.84)の導出に用いる．

■交換関係(11.83)

[M⁺⁻, M^+I] =iη⁺⁺M^−I−iη⁻⁺M^+I+iη^+IM⁺⁻−iη^−IM⁺⁺

における4つのηは

η⁺⁺= 0, η^+I = 0, η⁻⁺=−1, η^−I = 0

だから，「ηがゼロにならない唯一の添字の組合せは，第1の生成子から−^{を選び，第}2の生成子から+を選 ぶ場合に限られる」(p.227，l.18,19)．η⁻⁺を持つ項は−iη⁻⁺M^+I =iM^+I なので

[M⁺⁻, M^+I] =iM^+I : (11.83) を得る．

■交換関係(11.84) 交換子[M^−I, M^−J]の計算に現れる4つのηは

η⁻⁻= 0, η^−J= 0, η^I−= 0, η^IJ =δ^IJ

なので「ここではηに添字IとJ を使わねばならない」(p.227，l.24)．η^IJを持つ項は−iη^IJM⁻⁻であり，

反対称性M⁻⁻= 0によりこれはゼロになる．ここでLorentzテンソルM^µν の反対称性は光錐成分にも受け 継がれることを用いた(問題10.3参照)．

■光 錐 ゲ ー ジ に お け る M^−I の Hermite 性 式 (11.87) の M^−I は Hermite で は な い ．実 際 ，式 (11.69):[x^I₀, p⁻] =i^p_p⁻+ より

M^−I−(M^−I)^†= [x⁻₀, p^I]−[x^I₀, p⁻] =−ip⁻ p⁺ ̸= 0 である．一方，式(11.88):

M^−I ≡x⁻₀p^I−1

2(x^I₀p⁻+p⁻x^I₀) はそのHermite性が明白である．

■Lorentz不変性の条件 交換関係(11.81)が「量子論のLorentz不変性を保証するために必要なものである」

(p.229，l.2,3)ことについて，交換関係(11.81)が満たされれば，これは両辺が2階反変テンソルから成るの でLorentz変換に対して共変的となる(十分条件)．

計算練習11.6

[M^µν, x^ρ] = [x^µp^ν−x^νp^µ, x^ρ] =x^µ[p^ν, x^ρ]−x^ν[p^µ, x^ρ] =x^µ(−iη^νρ)−x^ν(−iη^µρ) =iη^µρx^ν−iη^νρx^µ : (11.78).

計算練習11.7

式(11.81)の右辺においてµとν を入れ替えると

(第1項)→ −(第2項), (第2項)→ −(第1項), (第3項)→ −(第4項), (第4項)→ −(第3項) となることに注意すれば良い．

計算練習11.8

問題10.3の結果R⁺⁻= ¹₂(R⁰⁰−R⁰¹+R¹⁰−R¹¹)よりM⁺⁻=M¹⁰を得る．

問題11.5 (a)

[M^µν, p^ρ] = [x^µp^ν−x^νp^µ, p^ρ] = [x^µ, p^ρ]p^ν−[x^ν, p^ρ]p^µ =iη^µρp^ν−iη^νρp^µ.

(b)

[M^µν, x^ρ]の式(11.78)と小問(a)の結果を用いると [M^µν, M^ρσ] =[M^µν, x^ρp^σ−x^σp^ρ]

=x^ρ[M^µν, p^σ] + [M^µν, x^ρ]p^σ−x^σ[M^µν, p^ρ]−[M^µν, x^σ]p^ρ

=x^ρ(iη^µσp^ν−iη^νσp^µ) + (iη^µρx^ν−iη^νρx^µ)p^σ−x^σ(iη^µρp^ν−iη^νρp^µ)−(iη^µσx^ν−iη^νσx^µ)p^ρ

=iη^µρM^νσ−iη^νρM^µσ+iη^µσM^ρν−iη^νσM^ρµ : (11.81) を得る．

(c)

式(11.81)より

[M^±I, M^{J K}] =−iη^IJM^±K−iη^IKM^J±

=−iδ^IJM^±K−iδ^IKM^J±, [M^±I, M^∓J] =iη^±∓M^IJ−iη^IJM^∓±

=−iM^IJ−iδ^IJM^∓±, [M⁺⁻, M^±I] =iη^+±M^−I−iη^−±M^+I

=±iM^±I, (これは式(11.83)を含んでいる) [M^±I, M^±J] =−iη^IJM^±±

=0 (これは式(11.84)を含んでいる) を得る(複号同順)．

LorentzテンソルM^µνの反対称性は光錐成分にも受け継がれることに注意すると(問題10.3参照)，ゼロで ない独立な光錐成分としてM^±I, M⁺⁻, M^IJ をとれる．これらの間の自明でない交換関係には，上で計算し たものの他に

[M⁺⁻, M⁻⁺] =iη⁺⁻M⁻⁺−iη⁻⁺M⁻⁺= 0, [M⁺⁻, M^IJ] =0,

[M^IJ, M^KL] =iδ^IKM^{J L}−iδ^{J K}M^IL+iδ^ILM^KJ−iδ^{J L}M^KI, [M⁺⁻, M^IJ] =0

がある．

問題11.6 (a)

M^−I ≡x⁻₀p^I −1

2(x^I₀p⁻+p⁻x^I₀) : (11.88)

=(x⁻₀p^I−x^I₀p⁻) +1 2[x^I₀, p⁻] において

[x^I₀, p⁻] = [

x^I− p^I m²τ, 1

2p⁺(p^Jp^J+m²) ]

= 1

2p⁺[x^I, p^Jp^J] =ip^I p⁺ なので

M^−I = (x⁻₀p^I −x^I₀p⁻) + i 2

p^I p⁺ と書ける．

これを用いると

[M^−I, M^−J] = [x⁻₀p^I−x^I₀p⁻, x⁻₀p^J−x^J₀p⁻]+i 2

[

x⁻₀p^I−x^I₀p⁻,p^J p⁺ ]

+i 2

[p^I

p⁺, x⁻₀p^J−x^J₀p⁻ ]

−1 4

[p^I p⁺, p^J

p⁺ ]

となる．「後ろの項」−¹₄[

p^I p⁺,^p_p^J+

]

はゼロである．次に [

x⁻₀p^I−x^I₀p⁻,p^J p⁺ ]

= [

x⁻₀,p^J p⁺ ]

p^I− [

x^I₀,p^J p⁺ ]

p⁻

において， [

x⁻₀,p^J p⁺ ]

p^I = [

x⁻₀, 1 p⁺

]

p^Jp^I =ip^Ip^J

(p⁺)² (∵^式(11.68)) および

[x^I₀, p^J] = [

x^I− p^I m²τ, p^J

]

=iη^IJ, [

x^I₀, 1 p⁺

]

= [

x^I− p^I m²τ, 1

p⁺ ]

= 0

∴ [

x^I₀,p^J p⁺ ]

p⁻ = [x^I₀, p^J]p⁻

p⁺ =iη^IJp⁻ p⁺

を用いると [

x⁻₀p^I−x^I₀p⁻,p^J p⁺ ]

=ip^Ip^J

(p⁺)²−iη^IJp⁻ p⁺ となる．よって「混合項」は

i 2

[

x⁻₀p^I −x^I₀p⁻,p^J p⁺ ]

+ i 2

[p^I

p⁺, x⁻₀p^J−x^J₀p⁻ ]

= 0 である．

(b)

「前の項」

[x⁻₀p^I−x^I₀p⁻, x⁻₀p^J−x^J₀p⁻] = [x⁻₀p^I, x⁻₀p^J]−[x⁻₀p^I, x^J₀p⁻]−[x^I₀p⁻, x⁻₀p^J] + [x^I₀p⁻, x^J₀p⁻] を考える．再び

[x⁻₀, p^I] = 0, [x⁻₀, p⁻] =ip⁻

p⁺ : (11.69), [x^I₀, p^J] =iη^IJ, [x^I₀, p⁻] =ip^I p⁺ を思い出すと

[x⁻₀p^I, x⁻₀p^J] =x⁻₀[x⁻₀, p^J]p^I+x⁻₀[p^I, x⁻₀]p^J= 0, [x⁻₀p^I, x^J₀p⁻] =x^J₀[x⁻₀, p⁻]p^I+x⁻₀[p^I, x^J₀]p⁻=ix^J₀p⁻

p⁺p^I−iη^IJx⁻₀p⁻, [x^I₀p⁻, x⁻₀p^J] =x⁻₀[x^I₀, p^J]p⁻+x^I₀[p⁻, x⁻₀]p^J=iη^IJx⁻₀p⁻−ix^I₀p⁻

p⁺p^J, [x^I₀p⁻, x^J₀p⁻] =x^J₀[x^I₀, p⁻]p⁻+x^I₀[p⁻, x^J₀]p⁻=ix^J₀ p^I

p⁺p⁻−ix^I₀p^J p⁺p⁻ となるので

[x⁻₀p^I−x^I₀p⁻, x⁻₀p^J−x^J₀p⁻]

=0− (

ix^J₀p⁻

p⁺p^I−iη^IJx⁻₀p⁻ )

− (

iη^IJx⁻₀p⁻−ix^I₀p⁻ p⁺p^J

) +

( ix^J₀p^I

p⁺p⁻−ix^I₀p^J p⁺p⁻

)

=0

を得る．以上より[M^−I, M^−J] = 0が示された．

問題11.7 (a)

M⁺⁻=−1

2(x⁻₀p⁺+p⁺x⁻₀) : (11.86), x⁺= p⁺

m²τ, x⁻=x⁻₀ +p⁻ m²τ に対して

[M⁺⁻, x⁺] =−1 2

τ

m²{[x⁻₀, p⁺]p⁺+p⁺[x⁻₀, p⁺]}

=i τ m²p⁺, [M⁺⁻, x⁻] =−1

2[x⁻₀p⁺+p⁺x⁻₀, x⁻₀]−1 2

τ

m²[x⁻₀p⁺+p⁺x⁻₀, p⁻]

=−1

2x⁻₀[p⁺, x⁻₀]−1

2[p⁺, x⁻₀]x⁻₀ −1 2

τ

m²[x⁻₀, p⁻]p⁺−1 2

τ

m²p⁺[x⁻₀, p⁻]

=−ix⁻₀ −i τ

m²p⁻, (∵^式(11.69) : [x⁻₀, p⁻] =ip⁻/p⁺) [M⁺⁻, x^I] =0.

光錐ゲージにおいてもM^µν は反対称に定義されるものとする．このとき反対称な変換のパラメーターεµν

をε+−=−ε₋+≡εとし，それ以外のεµν をゼロと置くと，

−i

2ε_µνM^µν =−iεM⁺⁻ となる．これは予想される座標のLorentz変換を生成する：

δx^µ=[−iεM⁺⁻, x^µ]

=







 ε

( τ m²p⁺

)

=εx⁺=ε⁺⁻x₋ (µ= +)

−ε (

x⁻₀ + τ m²p⁻

)

=−εx⁻ =ε⁻⁺x+ (µ=−) 0 (µ=I)

最後の等号では

ε⁺⁻=η^+µη^−νε_µν = (−1)²ε₋₊=−ε₊₋=−ε, ε⁻⁺=ε を用いた．

第 12 章 相対論的な量子開弦 12.1 光錐ハミルトニアンと交換子

第12章では

• ^{開弦の量子化を行う．}

• ^{全空間を満たした}D-ブレインの存在を仮定する(↔^{自由端点の境界条件})． 光錐ゲージにおいて

P^σµ=− 1

2πα^′X^µ′, P^{τ µ}= 1 2πα^′

X˙^µ, X˙⁻= 1 2α^′

1

2p⁺( ˙X^IX˙^I+X^I′X^I′) (27)

⇒ P^τ−= π 2p⁺

(

P^{τ I}P^{τ I}+X^I′X^I′ (2πα^′)²

)

(28) と書けることに注意する．

点粒子に関する基本となるSchr¨odinger演算子の組(x^I, x⁻₀, p^I, p⁺)からの類推により弦に関する基本とな るSchr¨odinger演算子の組を

(X^I(σ), x⁻₀,P^{τ I}(σ), p⁺) とし，これらの間に交換関係

[X^I(σ),P^{τ J}(σ^′)] =iη^IJδ(σ−σ^′), [x⁻₀, p⁺] =−i

を課す(その他の交換子はゼロ)．対応するHeisenberg演算子(X^I(τ, σ), x⁻₀(τ),P^{τ I}(τ, σ), p⁺(τ))も同じ同 時刻交換関係を満たす．

点粒子のハミルトニアン(11.3節)からの類推により弦のハミルトニアンを H =2α^′p⁺p⁻= 2α^′p⁺

∫ π 0

dσP^τ−

=πα^′

∫ π 0

dσ (

P^{τ I}(τ, σ)P^{τ I}(τ, σ) +X^I′(τ, σ)X^I′(τ, σ) (2πα^′)²

)

(∵^式(28))

と仮定する．実際，上で設定した交換関係を用いると，このハミルトニアンに対しHeisenberg方程式は，例 えばX^I(τ, σ)の運動方程式

X˙^I(τ, σ) = 2πα^′P^{τ I}(τ, σ)

を与えることが確かめられる．これは古典的な運動方程式(27)と整合しているから，上のハミルトニアンは適 正である．なお古典的な境界条件は量子論において，変数を演算子に置き換えた式になる．例えばNeumann 境界条件は演算子∂_σX^I(τ, σ)に対する条件式

∂_σX^I(τ, σ) = 0, σ= 0, π になる．

最後にX˙^I±X^I′を考える．ここで得た運動方程式X˙^I(τ, σ) = 2πα^′P^{τ I}(τ, σ)および再び上で設定した交 換関係を用いると，

[

( ˙X^I±X^I′)(τ, σ),( ˙X^J±X^J′)(τ, σ^′) ]

=±4πα^′iη^IJ d

dσδ(σ−σ^′), (29) [

( ˙X^I±X^I′)(τ, σ),( ˙X^J∓X^J′)(τ, σ^′) ]

=0 (30)

が示される(複号同順，0≤σ, σ^′≤π)． 問題12.1

iP˙^{τ I}(τ, σ) = [P^{τ I}(τ, σ), H(τ)] = πα^′ (2πα^′)²

∫

dσ^′[P^{τ I}(τ, σ), X^J′(τ, σ^′)X^J′(τ, σ^′)]

において

[P^{τ I}(τ, σ), X^J′(τ, σ^′)] =− d

dσ^′[X^J(τ, σ^′),P^{τ I}(τ, σ)] =−iη^IJ d

dσ^′δ(σ−σ^′) なので

iP˙^{τ I}(τ, σ) = 1

4πα^′(−2iη^IJ)

∫

dσ^′X^J′(τ, σ^′) d

dσ^′δ(σ−σ^′)

= i 2πα^′

∫

dσ^′X^I′′(τ, σ^′)δ(σ−σ^′)

= i

2πα^′X^I′′(τ, σ),

∴P˙^{τ I} =X^I′′

を得る．これとX˙^I = 2πα^′P^{τ I}:(12.21)を合わせると，演算子もまた波動方程式を満たすこと X¨^I = 2πα^′P˙^{τ I} =X^I′′, ∴X¨^I−X^I′′= 0

が導かれる．

ドキュメント内 【PDF】B.ツヴィーバッハ『初級講座 弦理論《基礎編》』 (ページ 105-113)