9.4.1 梁の運動方程式
p(x,t)
V(x+dx,t) M(x+dx,t)
x dx
A V(x,t) M(x,t) O
z
図9.44 梁の局所的な微分要素の運動 梁理論そのものは第4章で勉強して欲しい。図9.44には，分
布外力p(x,t)が作用して合応力の曲げモーメントMとせん断力 Vが発生して運動している梁の微分要素dxを示した。この微分 要素のz方向の運動方程式は，Newtonの法則から
∂V(x,t)
∂x +p(x,t)=m∂2w(x,t)
∂t2 (9.171)
となる。ここにw(x,t)はz方向のたわみであり，mは梁の単位 長さ当たりの質量で，密度をρとして断面積をAとするとm = ρAである。次に点Aの反時計回りのモーメントのつり合いから
∂M(x,t)
∂x −V(x,t)=0 (9.172)
と33なる。式(9.172)を式(9.171)に代入することによって，曲げモーメントで表した梁の運動方程式は
∂2M(x,t)
∂x2 +p(x,t)=m∂2w(x,t)
∂t2 (9.173)
で表される。さらにx軸が断面の図心を通るように定義されて減衰が無ければ，式(4.13b)から M(x,t)=−EI ∂2w(x,t)
∂x2 (9.174)
という関係にあるので，これを式(9.173)に代入して最終的な梁の運動方程式が
− ∂2
∂x2 (
EI ∂2w(x,t)
∂x2 )
+p(x)=m∂2w(x,t)
∂t2 あるいは，以下，一様材料の等断面の梁だけを対象とすることにすれば
m∂2w(x,t)
∂t2 +EI∂4w(x,t)
∂x4 =p(x,t) (9.175)
と求められる。場所xについての微係数が4階になっているが，そのことと符号に目をつぶれば，形式的には
式(9.129)の波動方程式によく似ている。
境界条件は静的な場合の式(4.28)の境界で与えられる外力と変位を時間の関数とするだけでよく，両端xi,(i= 1,2),x1=0,x2=ℓにおいて適切な組み合わせで
w(xi,t)=wi(t) あるいは ni
(
−EI∂3w
∂x3 (xi,t) )
=Si(t), (9.176a)
θ(xi,t)≡ −∂w
∂x(xi,t)=θi(t) あるいは ni
(
−EI∂2w
∂x2(xi,t) )
=Ci(t) (9.176b)
と与えられる必要がある。ここにθは反時計回りを正として定義したたわみ角であり，niは式(4.26)で定義し た断面の向きを表す符号である。また，初期条件は次式のように梁の初期形状と初速で与えればいい。
w(x,0)=w0(x), ∂w
∂t(x,0)=v0(x) (9.177a, b)
33この式は厳密ではないが，社会基盤構造のモデルとして用いられる細長い梁に対する精度はそれほど悪くない。そのため敢えて「つり 合い」と書いた。回転運動の運動方程式を正しく定式化した理論については第9.4.8 (1)節を参照のこと。
9.4.2 非減衰自由振動—正攻法
振動問題では非減衰の自由振動問題が重要な出発点だった。つまり固有値問題を設定して固有振動数と固有 振動モードを求めることから解析を始めていた。表9.1の弦の場合を踏まえると，梁の固有値問題が零境界条 件とd4ϕ(x)
dx4 = Λϕ(x)であることは容易に推測できるが，ここでは正攻法の変数分離法を用いてきちんと固有 値問題を定式化しておこう。ただし簡単のため両端単純支持梁を対象とする。まず，たわみを変数分離して
w(x,t)=ϕ(x)q(t)
と置いて，p(x,t)≡0の運動方程式(9.175)に代入して，変数を見ながら整理すると
−q(t)¨ q(t) = EI
m ϕ′′′′(x)
ϕ(x) = Λ(const.) (9.178)
のように定数で等号が成立しなければならないことがわかる。境界条件は式(9.176)から両端でたわみwとた わみの2階の微係数∂2w
∂x2 が零であればいいので，これも変数分離すると ϕ(0)=0, ϕ′′(0)=0, ϕ(ℓ)=0, ϕ′′(ℓ)=0
となる。初期条件は分離できないので，まず解けるのはϕ(x)の方であり，その微分方程式は上式から ϕ′′′′(x)= Λ m
EI ϕ(x)
である。実は，上の変数分離した微分方程式のうちq(t)の方を見るとΛが正でない限り周期運動をしないこと は明らかであるが，それはあとでやることにして，ここでは固有関数を求める標準的なアプローチを続ける。
まずΛ m
EI =−4µ4 <0の場合の一般解は
ϕ(x)=exp (µx) (asinµx+bcosµx)+exp (−µx) (csinµx+d cosµx) となる。これを境界条件に代入すると
sinµℓcoshµℓ cosµℓsinhµℓ cosµℓsinhµℓ −sinµℓcoshµℓ
a c
=
0 0
となるが，この係数行列は正則なのでa,cは零解しか存在しない。もちろんΛ =0の場合も零解しか存在しな いことはすぐにわかる。
したがってΛ m
EI =µ4 >0とおくと，一般解は
ϕ(x)=a sinµx+b cosµx+csinhµx+d coshµx (9.179) になる。これを境界条件に代入すると
sinµℓ sinhµℓ
−sinµℓ sinhµℓ
a c
=
0 0
を得る。この場合には，aまたはcが零にならない条件から係数行列は特異にならなければならないので，そ の行列式の零解を求めようとすると
sinµℓsinhµℓ=0 となるので，任意の正の整数n=1,2,· · ·に対して
sinµℓ=0 → µℓ=nπ → µn= nπ ℓ
でありさえすれば，aが不定にはなるもののϕ(x)は非零となり ϕ(x)=ϕn(x)=sinµnx=sin
(nπx ℓ
)
(9.180) と求められる。このµnが固有値で，ϕn(x)が固有関数（固有振動モード）である。
したがって
Λn= EI
m µ4n= EI m
(nπ ℓ
)4
であるから，各nに対するq(t)についての微分方程式は式(9.178)の最左辺と最右辺の等式から
¨
qn(t)+EI m
(nπ ℓ
)4
qn(t)=0
となる。これは1自由度系の非減衰自由振動の運動方程式だ。ここで固有振動数ωnを ω2n≡ EI
m (nπ
ℓ )4
→ ωn =
√EI
m (nπ
ℓ )2
(9.181) で定義すれば，結局上式の解を
qn(t)=An sinωnt+Bn cosωnt と求めることができ，自由振動解は
w(x,t)=∑∞
n=1
(An sinωnt+Bn cosωnt)ϕn(x) (9.182) と表すことができる。式(9.181)の梁の固有振動数は1自由度系の√k
/mと同様，曲げ剛性を質量で除したもの の平方根√
EI/mに比例している。An,Bnを初期条件から決めるには固有関数の直交性が必要なことも読者の多 くは前節までにわかっていると思うが，その内積の具体的な定義等は第9.4.4節で述べる。
9.4.3 非減衰自由振動
(1) 調和振動解
ここからはもう少し天下り的な工学的な方法で固有振動数と固有振動モードを求めることに特化して説明し よう。非減衰の自由振動問題なので，時間についてはある振動数ωで振動する解になるのは明らかだ。したがっ て，解を調和振動解で
w(x,t)=ϕ(x) exp (iωt) (9.183)
と仮定しよう。つまり変数分離した式(9.178)でq(t)の方を先に振動解になるように求めたと考えればいい。
式(9.183)でp(x,t)≡0とした運動方程式(9.175)に代入すると {EIϕ′′′′(x)−mω2ϕ(x)}
exp (iωt)=0 となる。これが任意の時刻tで成立しなければならないので，ϕ(x)は
ϕ′′′′(x)−mω2
EI ϕ(x)=0 (9.184)
を満足しなければならない。そこで
µ4≡mω2
EI (9.185)
と定義すると，上式(9.184)の一般解は
ϕ(x)=c1 sinµx+c2cosµx+c3 sinhµx+c4 coshµx (9.186) となる。これは当然，前節で求めた式(9.179)と同じものである。
ω1=
√EI
m (π
ℓ )2
, sin (πx
ℓ ) ω2=
√EI
m (2π
ℓ )2
, sin (2πx
ℓ )
ω3=
√EI
m (3π
ℓ )2
, sin (3πx
ℓ )
図9.45 単純支持梁の振動数と振動モード
1 2
3
図9.46 片持ち梁の振動モード (2) 両端単純支持梁
まず両端単純支持梁を対象としよう。境界条件は前述のように
ϕ(0)=0, ϕ′′(0)=0, ϕ(ℓ)=0, ϕ′′(ℓ)=0 でなければならない。この条件に式(9.186)の一般解を代入すると
c2+c4=0, µ2 (−c2+c4)=0, c1sinµℓ+c2cosµℓ+c3sinhµℓ+c4coshµℓ=0, µ2 (−c1sinµℓ−c2cosµℓ+c3sinhµℓ+c4coshµℓ)=0
となるので，行列表示すると
1 0 1 0
1 0 −1 0
coshµℓ sinhµℓ cosµℓ sinµℓ coshµℓ sinhµℓ −cosµℓ −sinµℓ
c4
c3
c2
c1
=
0 0 0 0
(a)
を得る。有意な積分定数が存在するためにはこの係数行列が特異であればいいので
det(係数行列)=1×det
0 −2 0
sinhµℓ cosµℓ−coshµℓ sinµℓ sinhµℓ −cosµℓ−coshµℓ −sinµℓ
=−4 sinµℓsinhµℓ=0
が成立すればいい。したがって
sinµℓ=0 → µℓ=nπ → µn= nπ
ℓ (b)
となる。この結果を上式(a)に代入するとc1のみが不定になるので固有関数は式(9.180)になる。また式(b)の 固有値を式(9.185)に代入すれば，固有振動数は式(9.181)になる。図9.45に第1〜3次モードと振動数を列 挙した。
(3) 片持ち梁
左端が固定された片持ち梁の場合には，境界条件は式(9.176)からx = 0でwと∂w
∂x が零で，x = ℓでは
∂2w
∂x2 と∂3w
∂x3 が零なので，式(9.183)を代入するとϕ(x)の境界条件は
ϕ(0)=0, ϕ′(0)=0, ϕ′′(ℓ)=0, ϕ′′′(ℓ)=0
になる。この条件に式(9.186)の一般解を代入すると
c2+c4=0, µ(c1+c3)=0, µ2 (−c1sinµℓ−c2cosµℓ+c3sinhµℓ+c4coshµℓ)=0, µ3 (−c1cosµℓ+c2sinµℓ+c3coshµℓ+c4sinhµℓ)=0
となるので，行列表示すると
1 0 1 0
0 1 0 1
coshµℓ sinhµℓ −cosµℓ −sinµℓ sinhµℓ coshµℓ sinµℓ −cosµℓ
c4
c3
c2
c1
=
0 0 0 0
(c)
を得る。有意な積分定数が存在するためにはこの係数行列が特異であればいいので
det(係数行列)=1×det
1 0 1
sinhµℓ −cosµℓ−coshµℓ −sinµℓ coshµℓ sinµℓ−sinhµℓ −cosµℓ
=2 cosµℓcoshµℓ+2=0 が成立すればいい。したがって
cosµnℓ coshµnℓ=−1 (9.187)
を満足するµn(n=1,2,· · ·)が固有値になる。この結果を上式(c)に代入すると c2= Ξnc1, c3=−c1, c4=−Ξnc1, ただし Ξn≡ cosµnℓ+coshµnℓ
sinµnℓ−sinhµnℓ (9.188a, b, c, d) と求められる。結局，振動モードは
ϕn(x)=(sinµnx−sinhµnx)+ Ξn (cosµnx−coshµnx) (9.189) になる。式(9.187)は陽に解くことはできないので，例えば2分法34等で数値的に解くしかない。最初の三つを 列挙しておくと
µ1ℓ=1.875, ω1=3.516 ℓ2
√EI
m, µ2ℓ=4.694, ω2= 22.03 ℓ2
√EI
m, (9.190a, b, c, d) µ3ℓ=7.855, ω3= 61.70
ℓ2
√EI
m (9.190e, f)
等である。図9.46に対応する振動モードを描いた。
9.4.4 振動モードの直交性と自由振動解—モード解析法
(1) 振動モードの直交性
さて，いよいよ式(9.182)を初期条件式(9.177)に代入して積分定数を決定する方法を具体的に示そう。その ためにまず最も重要なのは振動モードが持つ直交性である。式(9.184)から第n次モードは
EIϕ′′′′n (x)−mω2nϕn(x)=0 (9.191) を満足している。そこで，第i次モードを仮想変位とするような仮想仕事を全スパンで計算すると
∫ ℓ
0
ϕi(x){
EIϕ′′′′n (x)−mω2nϕn(x)} dx=0
34第N.3.2節参照。あるいはScilabを使うといい。p.290の脚注‘16’を参照のこと。
が成立する。第1項を取り出し，それを部分積分して境界条件を考慮すると
∫ ℓ
0
EIϕi(x)ϕ′′′′n (x) dx=(
EIϕiϕ′′′n −EIϕ′iϕ′′n)ℓ0+
∫ ℓ
0
EIϕ′′i(x)ϕ′′n(x) dx=
∫ ℓ
0
EIϕ′′i(x)ϕ′′n(x) dx
となる。単純支持梁と片持ち梁ではこの境界項が零になるが，それ以外の場合も所詮零境界条件なので同じよ うになることは明らかだ。したがって，上の仮想仕事式は
∫ ℓ
0
EIϕ′′i(x)ϕ′′n(x) dx−ω2n
∫ ℓ
0
mϕi(x)ϕn(x) dx=0
と表すことができる。同じように，第i次モードの運動方程式に第n次モードを乗じて仮想仕事を算定すると
∫ ℓ
0
EIϕ′′n(x)ϕ′′i(x) dx−ω2i
∫ ℓ
0
mϕn(x)ϕi(x) dx=0 を得る。この二つの式を辺々差し引きすると第1項は同じなので消えてしまい
(ω2i −ω2n
) ∫ ℓ
0
mϕn(x)ϕi(x) dx=0
が成立する。多自由度系の振動でも説明したように，安定した構造であれば異なる二つの固有振動数は異なる 値を持つので，この式は
⟨ϕn, ϕi⟩m≡
∫ ℓ
0
mϕn(x)ϕi(x) dx=0, i,n (9.192) であることを示している。この式は重みmつきの内積を定義しており，その内積が零になることから，固有 振動モードはお互いに直交していると呼ぶ。一方，同じモード同士の内積は線形代数からの類推から固有振動 モードの「ノルム」（の2乗）と考えてもよく，それを
|ϕn|2m≡ ⟨ϕn, ϕn⟩m=
∫ ℓ
0
mϕ2n(x) dx=mn (9.193)
と記すことにする。mnは多自由度系のそれと同様一般化された質量と呼ばれる。したがって，式(9.192)と一 緒にすれば
⟨ϕn, ϕi⟩m=
∫ ℓ
0
mϕn(x)ϕi(x) dx=
0, i,n mn, i=n
(9.194) と書くことができる。式(9.192)の内積は式(5.57)の一般的な重みつき内積の定義でm =0,w =mとした特 別な場合である。
さらに式(9.191)を用いて，この式(9.194)のϕnをϕ′′′′n で置き換えると
∫ ℓ
0
mϕn(x)ϕi(x) dx=
∫ ℓ
0
EI ω2n
ϕ′′′′n (x)ϕi(x) dx となることから，もう一つの内積を次式で定義して
⟨ϕn, ϕi⟩EI≡
∫ ℓ
0
EIϕ′′′′n (x)ϕi(x) dx=
0, i,n
mnω2n, i=n
(9.195) のような直交性も成立する。あるいは，もう少しカッコよくするために2回部分積分した上で境界条件を考慮 すると，二つの関数の微係数の階数が同じになるようにできるので，さらにもう一つ別の「対称な」重み付き 内積が定義でき
⟨ϕn, ϕi⟩(symm)EI ≡
∫ ℓ
0
EIϕ′′n(x)ϕ′′i(x) dx=
0, i,n
mnω2n, i=n
(9.196) と書いてもいい。仮想仕事的にはカッコいい35が，以下では使わない。なお，式(9.196)の内積は式(5.57)の一 般的な重み付き内積の定義でm=2,w=EIとした特別な場合である。
35内積でノルムを定義することを考えると，式(9.195)よりも式(9.196)の内積の方が数学的である。
(2) 自由振動のモード解析
では再度，モード解析法の標準的なステップに沿って自由振動解を求めよう。式(9.191)と零境界条件で設定 される固有値問題を前節の単純支持梁と片持ち梁の二つの例のようにして解き，まずは固有振動数ωnと固有振 動モードϕn(x)を求める。その結果を用いて解を
w(x,t)=∑∞
n=1
qn(t)ϕn(x) (9.197)
のような級数で仮定する。qn(t)は梁の一般化された座標（変位）である。これをp(x,t)≡0とした運動方程式 (9.202)に代入すると
∑∞ n=1
{mq¨nϕn+EI qnϕ′′′′n
}=0
を得る。これと第i次モードとの内積をとるために∫ℓ
0 ϕidx×という作用を両辺にしたあと，式(9.194) (9.195) の直交条件を用いて総和の第i項を抽出すると
¨
qi(t)+ω2iqi(t)=0 という1自由度系の非減衰自由振動の運動方程式を得るので，一般解が
qn(t)=An sinωnt+Bn cosωnt と求められる。したがってたわみの解が
w(x,t)=∑∞
n=1
(An sinωnt+Bn cosωnt)ϕn(x) (9.198) と求められる。これは当然だが式(9.182)に一致する。
最後にいよいよこの未定係数を決定しよう。初期条件式(9.177)に式(9.198)を代入すると w(x,0)=∑∞
n=1
Bnϕn(x)=w0(x), ∂w
∂t (x,0)=∑∞
n=1
Anωnϕn(x)=v0(x) となる。両式とある振動モードϕi(x)との，例えば式(9.194)で定義した内積をとると
∑∞ n=1
Bn ⟨ϕn, ϕi⟩m=⟨w0, ϕi⟩m, ∑∞
n=1
Anωn ⟨ϕn, ϕi⟩m=⟨v0, ϕi⟩m
となるが，モードの直交性から総和の左辺は第i項以外はすべて零になり
Bi⟨ϕi, ϕi⟩m=⟨w0, ϕi⟩m, Aiωi ⟨ϕi, ϕi⟩m=⟨v0, ϕi⟩m
だけが残る。したがって，未定係数が Ai= 1
miωi
∫ ℓ
0
mv0(x)ϕi(x) dx, Bi= 1 mi
∫ ℓ
0
mw0(x)ϕi(x) dx (9.199a, b) と求められ，唯一の解を得ることができる。
演習問題9-7
18. 両端単純支持梁のモード(9.180)が内積(9.192)で直交していることは容易にわかるだろう。では，片持 ち梁のモード(9.189)が直交することを確かめよ。
19. 両端固定梁と片端固定・片端単純支持梁の固有振動数，あるいはそれを求める式を求めよ。
20. 左端固定・右端バネ支持梁の振動数方程式を求めよ。バネは線形で抵抗係数は定数kとする。