速度・加速度

位置ベクトル 物体の位置は原点からの距離だけでは決まらず，方向や 向きも指定しなければならない．「大阪は東京から西南西に600 kmに位置 する」という具合である．つまり物体の位置はベクトル量である．

図3.1 東京から見た大阪の位置

2次元の位置ベクトルは，2つの量で表される．デカルト（直交）座標系 では，図に示すように

r= (x, y) (3.1)

あるいは，極座標では，ベクトルの長さrと方向θという2個の量を指定 すると(図3.2参照)，

r= (r, θ) (3.2)

となる．ここで，rを動径成分，θを接線成分という．

x=rcosθ , y=rsinθ (3.3) である．

3次元の場合には，図3.3に示すように，極座標表示は3つの量(r, θ, ϕ) で表される．ここでϕはベクトルrをx-y平面に投射（射影）したときの，

図3.2 ^極座標

x軸となす角である．（この場合，ϕを方位角，θを極角とよぶ．）図を見て わかるように









x=rsinθcosϕ y=rsinθsinϕ z=rcosθ

(3.4)

である．

図3.3 3^{次元の極座標}

変位ベクトル 時刻tのときの物体の位置ベクトルをr，時刻t⁰(t⁰ > t) のときの位置ベクトルをr⁰とする．

R=r⁰−r (3.5)

を変位ベクトルという．

3.1 速度・加速度 33 t⁰とtの間隔がきわめて短く，r⁰とrがきわめて近いとき，

∆t=t⁰−t

∆r=r⁰−r (3.6)

と書く．ここで∆（デルタ）という記号は，「きわめて小さい量」というこ +^小文字のδを「きわめて 小さい量」として使う場合も 多い．

とである．

図3.4 車の移動を表す変位ベクトル

速度・加速度

v= ∆r

∆t (3.7)

で定義されるようなベクトルを速度，

α= ∆v

∆t (3.8)

で定義されるようなベクトルを加速度という．

物体がx方向のみに運動しているときは，ベクトルを考える必要はない．

速度，加速度は

v= ∆x

∆t , α= ∆v

∆t (3.9)

で定義される．この場合，xをtの関数，x(t)と考えれば，速度は曲線 x=x(t)の勾配を表す（図3.5参照）．

一般に十分小さい∆tを考えるとき，∆x

∆t , ∆r

∆t , ∆v

∆t ^{を微分という．}

微分 tの関数としてx(t)の曲線が描ければ，それから微分をつくる（” 微分する”）のは簡単である．つまり定規を使って勾配を求めればよい．代 表的な関数の微分を勉強しておこう．

1.

x(t) =t² (3.10)

図3.5 v= ∆x

∆t ^と勾配tanθ^．

x(t+ ∆t) = (t+ ∆t)²=t²+ 2t∆t+ ∆t²≒t²+ 2t∆tであるから，

v= ∆x

∆t = x(t+ ∆t)−x(t)

∆t ^≒

2t∆t

∆t = 2t (3.11) となる．

2. 一般にx(t) =tⁿ(n= 1,2,3,· · ·)の場合，x(t+ ∆t) = (t+ ∆t)ⁿ= tⁿ+ntⁿ⁻¹∆t+· · ·^≒tⁿ+ 2tⁿ⁻¹∆t であるから，

v= ∆x

∆t = x(t+ ∆t)−x(t)

∆t ^≒

ntⁿ⁻¹∆t

∆t =ntⁿ⁻¹ (3.12) という公式が得られる．逆に

x(t+ ∆t)≒x(t) + ∆x

∆t ∆t (3.13)

とも書ける．

なお，微分する関数が

x(t) =f(t)g(t) (3.14)

という積の形になっている場合，

x(t+ ∆t) =f(t+ ∆t)g(t+ ∆t)≒ (

f(t) + ∆f

∆t ∆t ) (

g(t) + ∆g

∆t ∆t )

(3.15) なので，

∆x

∆t = f(t+ ∆t)g(t+ ∆t)−f(t)g(t)

∆t ^≒

∆f

∆t g(t) +f(t)∆g

∆t (3.16) という形に書ける．さらに

x(t) =f(at) (aは定数) (3.17)

の場合，x(t+ ∆t) =f(a(t+ ∆t)) =f(at+a∆t)≒f(at) + ∆f a∆ta∆t より，T =atとして，

∆x

∆t =a∆f(T)

∆T (3.18)

3.1 速度・加速度 35 となる．より複雑なx(t) =f(g(t))の場合は，T =g(t)とおいて，

∆x

∆t = ∆g

∆t

∆f(T)

∆T (3.19)

となる．

∆t,∆x,∆f の無限小の極限を考えたものが微分である．この極限は

∆x

∆t → dx

dt ^のように∆のかわりにdを使って表す．

速度の合成・相対速度 光速に近い速度の場合を除き，通常，速度vで 運動している電車の中でミニカーを速度v⁰で動かせば，ミニカーは地上に 対し

V =v+v⁰ (3.20)

で運動していることになる．これを速度の加法則という．

図3.6 電車中のミニカーの運動．

逆に速度vで運動している物体を，速度v⁰で運動している観測者から見 ると，物体の速度は

u=v−v⁰ (3.21)

と観測される．これを相対速度という．v=v⁰なら相対速度u=0となり，

静止しているように見える．