3  平行平板コンデンサの電気容量

ガウスの法則を用いて，平行平板コンデンサの電気容量が，

C= ₀S

d (13.29)

であることを示せ．（Sは平板の面積，dは平板の距離である．） また，S= 1cm²，d= 1mmのときのCを求めよ．

金属表面の電荷密度σと電場の関係は式(12.30)で与えられる．（式(13.16)の 導出も参照．）

E= σ 20

(13.30) 上の極板と下の極板，両方から電場は生じるので，その2倍が極板間にかかってい る電場である．

E= σ 0

(13.31) σ=Q/S^，V =Ed^より，

V d = Q

0S ∴Q= 0S

d V (13.32)

S= 1 cm²，d= 1mmを代入すると，C≒0.9×10⁻¹²F =0.9 pF（ピコファラッ ド）となる．

13.5 ^{静電エネルギー}

仕事と静電エネルギー 原点に点電荷Q₁があり，無限遠から点電荷Q₂ を近づけ，2つの距離がRとなったとしよう．移動に必要な仕事W は

W =−

∫ R

∞

d rF(r) =−

∫ R

∞

dr 1 4π₀

Q1Q2

r² = Q1Q2

4π₀R (13.33) となる．F(r)は電荷Q2に働く力である．この仕事はエネルギーとして蓄 えられる．これを静電エネルギーU とよぶ．静電エネルギーは

U = Q1Q2

4π0R (13.34)

である．

クーロン相互作用している粒子系の静電エネルギーUは U = 1

2

∑N j=1

∑N i=1,i6=j

QiQj

4π₀R_ij (13.35)

で得られる． 1/2と い う 因 子 は ，2重 カ ウントを補正するためであ る．たとえば，i = 1, j = 2 ^とi = 2, j = 1 ^{の 項} はそれぞれQ1Q2/4π0R12， Q2Q1/4π0R21で，同じも のを2回数えている．

Φ_iをi番目の粒子の位置でのポテンシャル，Q_iをその電荷として，(12.12) 式と組み合わせると，

U = 1 2

∑N i

QiΦi (13.36)

で与えられる．

逆にQ1, Q2がRだけ離れていたとする．電荷の符号は同符号だとする と，2つは斥力をおよぼし合う．一方（たとえばQ1）を固定し，もう一方 (Q2)を動けるようにすると，この斥力によりQ2は加速する．無限まで行っ たとき，Q₂の運動エネルギーKは，エネルギーの保存則より

K= mv²

2 = Q1Q2

4π₀R (13.37)

となる．

静電場のエネルギー 静電エネルギーを電場から求めてみよう．平行平 板コンデンサの静電エネルギーは，電荷をQからQ+ ∆Qに増やすために

∆Q×V の仕事を電池がすることから求められる．

U =

∫ Q 0

dQ V =

∫ Q 0

dQ Q C = Q²

2C (13.38)

ここでコンデンサ間の電場E= σ 0

= Q

0S^，C= 0S

d ^{を使って，}C, Q +^式(13.29)

を消去すると

U =S×d× 0E²

2 (13.39)

となる．これは単位体積あたり

u= 0E²

2 (13.40)

のエネルギーが存在していることを意味している．このように静電エネル ギーを静電場のもっているエネルギーと解釈することが可能である．

演習問題13

A 1. 1次元イオン結晶の静電エネルギー

N個の+eの電荷とN個の−eの電荷が，aだけ離れて交互に直線 上に配置されている．Nが十分大きいとき，中心の電荷の静電エネ ルギーは

U =− e²

4π0a ×2 ln 2 となることを示せ．

13.5 静電エネルギー 197 2. 地球の静電容量

地球を金属球と見なすと，その静電容量はいくらか．

3. 微小なコンデンサー

大きさが1µm，間隔が0.1µmの平行平板コンデンサに素電荷eを ためると，何Jのエネルギーになるか?

4. 帯電した球の静電エネルギー

接地されていない半径Rの球殻を考える．これに電荷Qを与える．

球殻の内部の電場は0である．

(a) このとき，球殻のまわりの電場を求めよ．

(b) 球殻のもつ静電エネルギーを，電荷を無限から移動する仕事を 計算することで求めよ．

(c) 球殻のもつ静電エネルギーを，球殻のまわりの電場を計算する ことで求めよ．