等速度・等加速度運動

等速度運動 速度vで運動し始めた物体は，これに力が加わることがな ければ，そのままvで運動を続ける．すなわち，

v =一定 (3.30)

である．これを等速度運動，あるいは等速直線運動という．

これに反して，vの大きさ（つまり速さ，スピード）vは一定であるが，

方向がどんどん変化していく運動もある．

{

v=一定

v6=一定 (3.31)

の場合，これは等速運動であるが，等速度運動ではない．

図3.13(b)に示すような等速円運動は，速さvは一定であるが，速度の方 向は変化している．

t= 0での速度，速さを初速度，初速といい，v0, v0と書くことが多い．

t0 後の物体の位置は，初速度の方向をx方向として

x=v0t0 (3.32)

となる．これが等速直線運動の移動距離である．

上の式はx-tの図を描けば，勾配tanθ = v0の直線となる．一方，v-t 図というものを考えることもできる．v-t図では，tの値にかかわらず，

v=v0=一定 という直線になる．この直線とt=t0の直線で囲まれた面 積はv₀t₀となるから，「移動距離はv-t図の面積」ということがわかる．

3.3 等速度・等加速度運動 41

図3.13 (a)等速度運動（等速直線運動）と(b)^{等速円運動}

図3.14 (a)^{等速直線運動の}x-t^図と(b)^{等速直線運動の}v-t^図

等加速度運動 加速度αについて，

α=一定 (3.33)

であるような運動を等加速度運動という．等加速度で方向が変化しない運 動を等加速直線運動という．

注意しなければならないのは，負の加速度（すなわち減速度）というも のも， 加速度”という言葉を用いることである．正の加速度，負の加速度 とは，それぞれ加速度が進行方向を向いている場合と進行方向と逆を向い ている場合を指す．

たとえば，地上で物体から静かに手を離すと，物体は落下する．これを自 由落下という．重力による自由落下の加速度は，gと記し，

α=g= 9.81m/s² (3.34)

である．この加速度を重力加速度という。 +gの正確な値は式(2.2)を この加速度は，乗り物のような人工的なものの加速度と比べて大きい． 参照．

オートバイや高性能車の加速度はおよそ3[m/s²] であり，大型ジェット機

は2[m/s²]ぐらいで，意外と小さい．新幹線は加速度を小さくすることで 乗り心地をよくしている．その加速度は自転車並み，およそ0.4[m/s²]で ある．これらに比べて，スペースシャトルの打ち上げ時の加速度はgの3 倍にも達する．

図3.15 ^{加速度比べ}

さて等加速直線運動（鉛直下向きの自由落下もこの場合に相当する）で は，時間tの間に，速さvはαtだけ増加する．したがって，初速をv₀と すると，

v=v₀+αt (3.35)

となることがわかる．この式を図示すると図3.16のようになる．

前にやったように面積を計算すると初速をv0とすると，

x=v₀t+ 1

2αt² (3.36)

という関数となることが予想できる．確かにこれを微分すると，d(v₀t)

dt =v0， d(αt²)

dt = 2αtなので，

dx

dt =v=v0+αt (3.37)

となっている．

これらの式からxとvの関係を求めてみよう．

t= v−v0

α より，x(t)は

x(t) =v0t+ 1

2αt²=v0

v−v₀

α + 1

2α

(v−v₀ α

)2

となる．整理して

2αx=v²−v²₀ (3.38)

3.3 等速度・等加速度運動 43 となる．

たとえば自由落下のとき，v0 = 0，α = g，落下距離をhとすると，

2gh=v²なので

v=√

2gh (3.39)

となる．

図3.16 等加速直線運動のv-t図

演習問題3

A 1. 合成関数の微分

x(t) =a(sint)²を微分せよ．