7 万有引力と惑星
例題 7. 1 地球の質量
7.3 惑星の運動
図7.10 フィギュアスケートのスピン
ら，これらは等しい．上の関係を使うと，
mrAvA = mrBvB
mrA2ωA = mrB2ωB r2AωA = r2BωB
∴ ωB ωA
= r2A r2B
(7.44)
つまり，手を縮めると，回転速度（角速度）は大きくなることがわかる．
地球，その他の惑星，太陽は自転しており，何十億年もの間，スピンをし つづけている．一方，ミクロの世界でもスピンが存在する．すなわち，電 子や原子核，原子核をつくっているクォークも自転しているのである．特に 電子は大きさがないと思われているのに，スピンをもっているというのが 興味深い．これはいままで述べたことと矛盾している．角運動量は回転軸 +電子が大きさをもたない
ことは，実験的にもかなりの 精度で確認されている．
からの距離と速さの積なので，大きさがないものは速さ無限大で回転して いない限り，スピンはもてないからだ．ミクロの世界は古典力学と違う法則 が支配しているという典型的な例である．
7.3 惑星の運動 107 となる．最後の不等号は運動エネルギーが常に正であることからきている．
つまり惑星の運動範囲は E+
( GmM
r )
(≥0) (7.47)
を満たす領域でのみ可能である．そこでrを横軸に，V(r)を縦軸にプロッ トしてみよう（図7.11）．この場合，E >0とE <0ではようすが異なる．
われわれの惑星についていえば，すべての惑星についてE <0である．そ れは以下のようにしてわかる．
上の不等式はE−V >0のことであるから，y軸の値がEをとる，x軸 に平行な直線を描くと，この直線がV(r)よりも上のところにある領域が，
運動の可能な領域である(可動域)．E >0の場合，これはあらゆるrの領域 が可動域である．一方，図7.11をみてかわるように，E <0では，r≦rm
の範囲でのみ，惑星の運動が可能である．これはわれわれの惑星が無限遠
に飛んでいかないことを意味している． +太陽に近づくと，角運動量 の保存則から，vが大きくな り，遠心力が働く．これによ り惑星は太陽に衝突しない．
太陽に一度近づいて，その後，無限に飛び出してしまう星もある．これ らはE≧0となっている．
図7.11 E−V ≧0の範囲．
軌道方程式 万有引力のもとで，運動をする星々の軌道を表すのが，軌 道方程式である．軌道方程式は，通常のx, y座標でなく，角度θと中心か らの距離rで表すと便利である．これを極座標とよぶ（図7.12）．このと き，惑星の軌道方程式は
r= `
1 +cosθ (≥0) (7.48)
と表せる．これは <1の場合，楕円である．角運動量LとエネルギーE +このとき，原点（太陽の位 置）は楕円の焦点である．楕 円の中心でないことに注意．
を用いると，`, は
`= L2
GM m2 (7.49)
=
√
1 + 2L2E
G2M2m3 (7.50)
と定義される．は離心率とよばれるが，その意味はすぐ後で述べる．
図7.12 極座標．
ところで−1≤cosθ≤1であるから，軌道のようすはが1を境に大き く変わることがわかる． <1の場合，太陽からの距離rは
r=rmax = `
1− (7.51)
r=rmin = `
1 + (7.52)
よって惑星は太陽から有限の距離にとどまる．rmin,rmaxはそれぞれ近日 点，遠日点にあたる．一方，= 1, >1はそれぞれ放物線軌道，楕円軌道 となる（図7.13参照）．
の意味をもう少し考察しよう．= 0に対応するのは円軌道である．式 (7.51)から
rmax
rmin = 1 +
1− (7.53)
となり，は楕円の円からの「ゆがみ」，つまり「いびつさの程度」を表す ことがわかる．離心率の“心”とは円のことで，は円軌道からどれだけず れているかを表している．
第1，第2宇宙速度 できる限り地表に近く，円軌道で地球を周回する人 工衛星を打ち上げるのには，どのくらいの速度が必要であろうか．答えは 水平方向にv1=7.9 km/sである（図7.14）．この速さを第1宇宙速度とい う．この速さをさらに増やして，ついに初速がv2=11.2 km/sに達すると，
ロケットは地球の引力圏を離れて宇宙の彼方に飛んでいく．このとき軌道 は放物線となる．この速さを第2宇宙速度という．
第1宇宙速度を導出しよう．人工衛星は地表近くにあるので，円運動の
7.3 惑星の運動 109
図7.13 楕円軌道，放物軌道，双曲線軌道
半径はR= 6400 kmである．遠心力と重力がつり合うとすると
mv12
R = mg
∴v1 = √ gR
(7.54) 一方，第2宇宙速度は以下のようにして求められる．地表での力学的エ ネルギーEは
E= m 2 v22+
(
−GmM R
)
(7.55) 一方，無限遠にぎりぎり到達するとすると，その場合，速さは0になり，運 動エネルギーは0，無限なのでポテンシャルエネルギーも0なので，E= 0 である．力学的エネルギーの保存則を用いると，
0 = m 2 v22+
(
−GmM R
)
(7.56) となり，
v2=
√2GM
R (7.57)
となる．式(7.13)から
v2=√
2gR=√
2v1 (7.58)
g=9.8 m/s2, R = 6.4×106 mを代入して，v1 = 7.9×103 m/s ,v2 =
1.1×104 m/sを得る． +これはあくまで地球の引
力圏を脱出する速度である．
太陽系を脱出するにはさらに 大きな速度が必要となる．
気象衛星，放送，通信用の衛星は地表に対して止まっていなければ不便 である．これらは静止衛星とよばれる（図7.15）．
+一方，スパイ衛星は地表 近くを何度も周回するように 打ち上げる．地表近くだと地 球のまわりを第1宇宙速度で 回ることで何周もできて，1 日に何周もでき，また地球の 自転により，少しずつ違う場 所の画像もとれる．その上，
近くなので写真もより鮮明で ある．
静止衛星の地表からの距離を見積もってみよう．静止衛星の高度をh，地 球の半径をR，自転周期(24時間)をTとすると，衛星の速度vsは
vs= 2π(R+h)
T (7.59)
図7.14 第1宇宙速度と第2宇宙速度
図7.15 静止衛星とスパイ衛星の違い
遠心力と重力とのつり合いにより，
vs2
R+h = G M
(R+h)2
∴(R+h)vs2 = M G=gR2
∴R+h =
(gR2T2 4π2
)1/3
(7.60)
これからR+hは約42,000 km，hは約36,000 kmとなる．これはかなり +R = 6.4×106 m, T =
24(時間)×60(分)×60(秒) = 86400 sを代入する．なお，
一日は約105s（約10万秒），
1年は約3×107 s（約3千 万秒）と覚えておくと便利で ある．
の距離である．衛星電波を送って，相手届くのに70,000 km以上かかる．
往復で140,000 kmである．電波は光の一種で1秒間に300,000 km 進む．
7.3 惑星の運動 111 よって，相手と話すと0.5秒の返答の遅れが生じることになる．