観測方程式

GPS受信機が出力する観測量は，GPS衛星の発振器をもとに生成された送信信号と，受信機内 の発振器をもとに生成された複製信号間の相関処理により得られる群遅延と搬送波位相である．こ こで得られる群遅延は，衛星・アンテナ間の伝搬遅延に加え，発振器相互の誤差を含むため擬似

距離（Pseudorange）と呼ばれる．なお，擬似距離はPRN符号間の位相差にも等しい事からコー

ド位相（Code Phase）と表される事もある．

衛星kからの信号を受信機iで時刻tに受信した擬似距離P_i^kは式（3.5）で与えられる[38]． P_i^k(t) = ∥r^k(t−τ_i^k)−r_i(t)∥+I_i^k+T_i^k

+c[dti(t)−dt^k(t−τ_i^k)] +c[di(t) +d^k(t−τ_i^k)] +e^k_i (3.5) ここで，r^kは衛星の位置ベクトル，riは受信機アンテナの位置ベクトル，I_i^{kは電離層による遅延，}

T_i^kは対流圏による遅延，dt_i，dt^kは受信機，衛星のクロックオフセット，d_i，d^kは受信機，衛星 の機器内遅延，e^k_i は観測およびモデル誤差，τ_i^kは衛星，受信機間の伝搬遅延，cは光速を表す．擬 似距離の単位はmである．

同様に，搬送波位相Φ^k_i ^は式（3.6^{）で与えられる．}

Φ^k_i(t) = ∥r^k(t−τ_i^k)−ri(t)∥ −I_i^k+T_i^k+c[dti(t)−dt^k(t−τ_i^k)]

+c[δ_i(t) +δ^k(t−τ_i^k)] +λ[ϕ_i(t₀)−ϕ^k(t₀)] +λN_i^k+ε^k_i (3.6)

3.6. ^{観測方程式} 23 ここで，δi，δ^kは搬送波位相における受信機，衛星それぞれの機器内遅延，ϕi，ϕ^{kは受信機，衛} 星の初期位相，N_i^kは搬送波位相の波数不確定，ε^k_i は搬送波位相における観測およびモデル誤差，

λ^{は波長を表す．式（}3.5^）と式（3.6）の違いとして重要な点は，電離層遅延の符号が異なる事で ある．

GPS解析では，式（3.5），式（3.6）をそのままの形で使う他に，異なる局間や衛星間で差分を 取る事により，outlierの検出や，未知数を減らす事でパラメータ推定をやりやすくする工夫が行 われる．ここでは，主に時刻比較解析で使用される線形結合（Linear Combination）について説 明する．

一重位相差

２台の受信機i，j間で共通の衛星kに対する差分を取る方法を一重位相差（Single Difference） と呼ぶ．これは，供視法と同じ観測量であるが，搬送波位相を主とする解析では，測地解析に習っ て供視法ではなく一重位相差と呼ぶ事が多い．搬送波位相の一重位相差は式（3.7）で表される．

Φ^k_j(tj)−Φ^k_i(ti) = ∥r^k(tj−τ_j^k)−rj(tj)∥ − ∥r^k(ti−τ_i^k)−ri(ti)∥

−I_j^k+I_i^k+T_j^k−T_i^k

+c[dtj(tj)−dt^k(tj−τ_j^k)]−c[dti(ti)−dt^k(ti−τ_i^k)]

+c[δj(tj) +δ^k(tj−τ_j^k)]−c[δi(ti) +δ^k(ti−τ_i^k)]

+λ[ϕ_j(t₀)−ϕ^k(t₀)]−λ[ϕ_i(t₀)−ϕ^k(t₀)]

+λN_j^k+λN_i^k+ε^k_j −ε^k_i (3.7) 式（3.7）では，衛星の初期位相ϕ^k(t₀) は共通なため完全に消去できる．また，伝搬時間τ_j^kとτ_i^k の違いは小さく，その間においてはδ^k(t_j−τ_j^k)≈δ^k(t_i−τ_i^k)，およびdt^k(t_j−τ_j^k)≈dt^k(t_i−τ_i^k) とみなす事ができる．簡易表記(•)_j−(•)_i = (•)_ij を用いて式（3.7）を書き直すと式（3.8）となる．

Φ^k_ij ≈ ∥r^k−rj∥ − ∥r^k−ri∥ −I_ij^k +T_ij^k +cdtij+cδij+λϕij(t0) +λN_ij^k +ε^k_ij (3.8) 観測時刻は受信機の発振器を基準とするため，厳密にはtiとtjは等しくない．また，式（3.8^）の r^kも僅かに異なる．受信機の発振器が大きくずれていると，式（3.8）が成り立たなく恐れがある が，一般に時刻比較を行う局の受信機は原子時計に同期しており，その差は僅かなためt_i，t_j の ずれが問題となることはない．

同様に，擬似距離の一重位相差は式（3.9）で表される．

P_ij^k ≈ ∥r^k−rj∥ − ∥r^k−ri∥+I_ij^k +T_ij^k+cdtij +cdij+e^k_ij (3.9) 電離層フリー線形結合

マイクロ波が電離圏を通過する際，周波数に依存した分散が発生し，見かけ上伝搬時間に遅れ，

または進みが生じる．この遅延は近似的に周波数の2乗に反比例することから，L1帯，L2帯の周 波数を考慮した観測量は，式（3.10）〜式（3.13）と表す事ができる．

P_i,1^k = ρ^k_i +s^k_i + 1

f₁²I_i^k+D^k_i,1+e^k_i,1 (3.10)

24 ^第3^章 GPS^時刻比較 P_i,2^k = ρ^k_i +s^k_i + 1

f₂²I_i^k+D^k_i,2+e^k_i,2 (3.11) Φ^k_i,1 = ρ^k_i +s^k_i − 1

f₁²I_i^k+ ∆^k_i,1+λM_i,1^k +ε^k_i,1 (3.12) Φ^k_i,2 = ρ^k_i +s^k_i − 1

f₂²I_i^k+ ∆^k_i,2+λM_i,2^k +ε^k_i,2 (3.13) ここで，

ρ^k_i = ∥r^k−ri∥

s^k_i = c(dt_i−dt^k) +T_i^k D_i^k = c(d_i−d^k)

∆^k_i = c(δi−δ^k)

M_i^k = ϕ_i(t₀)−ϕ^k(t₀) +N_i^k

である．ここで，機器内遅延D^k_i^，∆^k_i は時間的に変化しないバイアス成分とみなし無視する．ま た，観測誤差は白色雑音と仮定し，式（3.10）と式（3.11）を使って式（3.14）と書き直すと，電 離層に起因する遅延を相殺した観測量を求める事ができる．

P₃ = f₁²

f₁²−f₂²P₁− f₂²

f₁²−f₂²P₂ (3.14)

= f₁²

f₁²−f₂²(ρ+s) + f₁² f₁²−f₂²

1

f₁²I− f₂²

f₁²−f₂²(ρ+s)− f₂² f₁²−f₂²

1 f₂²I

= ρ+s

同様に，搬送波位相は式（3.15^{）となる．}

Φ₃ = f₁²

f₁²−f₂²Φ₁− f₂²

f₁²−f₂²Φ₂ (3.15)

= ρ+s+ 1

f₁²−f₂²(f₁²λ1M1−f₂²λ2M2)

式（3.14），式（3.15）は電離層フリー線形結合（Ionosphere-Free Linear Combination）と呼ば れ，記号を用いて擬似距離はP3，搬送波位相はL3と表記される．二周波受信機を用いた時刻比 較では，P3，L3観測量を用いた解析が基本である．

Geometry-Free

Geometry-Freeは式（3.12）と式（3.13）を単純に引き算するもので式（3.16）で与えられる線 形結合である．

L4 = Φ1−Φ2 (3.16)

これはL1^帯，L2帯による電離層遅延の差分と初期位相（M）の差分のみを持つため電離層の推定 に使用される．また，サイクルスリップ検出の際にも使われる．擬似距離の差分（P4=P1−P2） も同様である．