相関係数の数学的背景

118 第15章 相関

• もしX が増加するときY は減少する傾向があるならば（「負の相関」がある場合），

– 差 x_i−µ_X が正のとき，差y_i−µ_Y は負になる傾向があり，

– 逆に，差 x_i−µ_X が負のとき，差 y_i−µ_Y は正になる傾向がある．

したがって，積 (x_i−µ_X)(y_i−µ_Y) は負の値になる傾向がある．

したがって，上の積の和（標本共分散と呼ばれる）

s_XY = 1 n

∑n i=1

(x_i−µ_X)(y_i −µ_Y) (15.2)

「正の相関」がある場合は正になりやすく，「負の相関」がある場合は負になりやすい．す なわち，量 s_XY は X, Y の相関の傾向と強さを表す，良い目安となる．

ところが，この量 sXY には，まだ欠陥がある．たとえば，マウスの体長X と尾長 Y の関係を調べたい場合，長さをmm で測定した場合の s_XY の値は，長さを cm で測定 した場合の s_XY の値の 10² = 100 倍になる．同様に，長さをインチで測定した場合の sXY の値は，長さを cm で測定した場合のsXY の値の約1/2.54² 倍になる．しかし，相 関の傾向と強さを表す量が，測定の単位に依存するのは不合理であろう．

この不合理を解消するためには，X と Y のそれぞれの散らばりを表す量である標本 標準偏差

sX = vu ut1

n

∑n i=1

(xi−µX)², sY = vu ut1

n

∑n i=1

(yi−µY)² (15.3) を利用するとよい．たとえばマウスの例の場合，長さを mm で測定したときの s_X, s_Y の値はどちらも，長さをcm で測定したときの値の10倍になる．そこで，量

r= s_XY sX ·sY

(15.4) を考えると，この量は 測定の単位に依存しない ことがわかる．この量(15.4) を相関係 数（正確には標本相関係数）と呼ぶ．

15.2.2 _{データの標準化}

相関係数 r の定義式 (15.4) は次のように書き直すことができる．

r = 1 n

∑n i=1

x_i−µ_X

s_X ·y_i−µ_Y s_Y .

15.2. 相関係数の数学的背景 119

この式に現れる「比」 x_i−µ_X

s_X およびy_i−µ_Y

s_Y たちは，単位の無い量 であることに 注意しよう．このような量は無次元であると言う．たとえば X, Y がマウスの体長と尾 長である場合，これらは「長さ」の次元を持っているが，相関係数 r は無次元である．

また，たとえばX, Y が地点の標高と年平均気温である場合，これらはそれぞれ「長さ」

と「温度」の次元を持っているが，相関係数 r はやはり無次元である．これは相関係 数が持っている非常に重要な性質で，この性質があるために，異なった種類（次元）の データ間の相関係数の大小の比較を行うことができる．

元の量 x_i から，無次元の量 x_i−µ_X

s_X を作り出す操作のことを，データの標準化と 言う．

15.2.3 _{相関係数の数学的性質}

1. 始めに，相関係数 r が性質 |r|51を満たす事を証明する．そのためには，

1 n

∑n i=1

(x_i−µ_X)(y_i −µ_Y) 5

vu ut1

n

∑n i=1

(x_i−µ_X)²× vu ut1

n

∑n i=1

(y_i−µ_Y)² を示せばよい．すなわち，両辺を2 乗して，さらに n² 倍した不等式

( _n

∑

i=1

(x_i−µ_X)(y_i−µ_Y) )2

5 ( _n

∑

i=1

(x_i−µ_X)² ) ( _n

∑

i=1

(y_i−µ_Y)² )

を示せばよい．しかし，この式はx_i−µ_X =a_i, y_i−µ_y =b_i と置いてみれば，

(a₁b₁+a₂b₂+· · ·+a_nb_n))² 5(

a²₁+a²₂+· · ·+a²_n ) (

b²₁+b²₂ +· · ·+b²_n) と書き直せるから，有名なコーシー・シュワルツの不等式にすぎない．

2. 次に，|r| = 1 であるとき，n 個の点 (x_i, y_i) は一直線の上に乗る事を証明する．

|r|= 1 であるのは，コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つ場合である．良く 知られているように，コーシー・シュワルツの不等式で等号が成り立つのは，ある定数 k が存在して，

b1 =ka1, b2 =ka2,· · ·, bn =kan

となる場合である．すなわち，すべてのi= 1,2,· · ·, n に対して，

yi−µY =k(xi−µX)

が成り立っている．これは，n 個の点 (x_i, y_i) すべてが，直線 y−µ_Y =k(x−µ_X)

120 第15章 相関

上に乗る事を意味している．

問題4（難） n 個の点(x_i, y_i)から，直線y =ax+b までの距離をl_i で表すことにす る．距離の平方の和

l²₁+l₂²+· · ·+l_n² が最小になるような a, bを求めよ．