第 8 章 ２項分布 63
13.2 カイ２乗検定の舞台裏
92 第13章 一様性の検定
• w <- sum((x-e)^2/e) では，少しわかりにくいかもしれないが，カイ2乗統計量 (13.1) の値を計算している．
例 13.2.1 サイコロを n = 60 回投げる実験を 1000 回行うことにする．実験結果のヒ ストグラムを描くには，次のようにすればよい．
w <- c(1:1000) for (k in 1:1000) {
w[k] <- chi2(60,6) }
hist(w)
問題 13.2.1 サイコロを n = 100 回投げる実験を 10000 回行い，実験結果のヒストグ ラムを描け．
このヒストグラムは，つぎの方法で描かれる，自由度 11 のカイ2乗分布の密度関数 のグラフにそっくりである．
t <- c(1:300)/10 f <- dchisq(t, 11) plot(t,f,type="l")
そこで，シミュレーションの結果より，つぎの関係が予想できる．
P{a5χ2 5b}=
カイ2乗分布の密度関数のグラフと t 軸，
直線t =a，直線 t=b により囲まれる部分の面積
確率の合計は1 に等しいから，曲線とt 軸に囲まれる領域の面積は 1 に等しい．
例 13.2.2 P{χ2 5 b} = 0.95 である b の値を求めるには，曲線と t 軸と直線 t =b に より囲まれる領域の面積が 0.95 に等しくなるような b を探せばよい．このためには，
つぎのようにすればよい．
qchisq(0.95,11)
この値は約 19.7である．だから，カイ2乗値 χ2 が 19.7より大きくなる確率は，0.05 に等しい．
13.2. カイ２乗検定の舞台裏 93
13.2.3 R によるカイ 2 乗検定
例 13.2.3 例 3.1.3 に戻る．仮説「サイコロ Aは正しい」をカイ2乗検定するには，つ ぎのようにするとよい．
x <- c(12,7,8,10,12,11) chisq.test(x)
すると次の結果が得られる．カイ2乗統計量の値は 2.2 であり，また p 値は 0.8208 となっている．
Chi-squared test for given probabilities data: x
X-squared = 2.2, df = 11, p-value = 0.8208
つぎに，サイコロ B の場合を調べると，結果はつぎのようになる．
Chi-squared test for given probabilities data: x
X-squared = 24.6, df = 11, p-value = 0.0001664
13.2.4 無理数の探求
問題 13.2.2 つぎの表は，円周率 π の小数第 1 位から第 10000 位までに，それぞれの 数字が現れる度数を示している．数字は一様に現れるか？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
968 1026 1021 974 1012 1046 1021 970 948 1014 問題 13.2.3 つぎの表は，√
2の小数第 1位から第 10000位までに，それぞれの数字が
現れる度数を示している．数字は一様に現れるか？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
952 1005 1004 980 1016 1001 1032 964 1027 1019
95
第 14 章 独立性の検定
14.1 いくつかの実例
14.1.1 古典的な例
エンドウ豆に関するメンデルの実験 種子が丸く子葉が黄色の品種と，種子にしわが あり子葉が緑色の品種を交配した結果，子の世代ではすべて「丸・黄」になった．これ を自花受粉させて得られた孫の世代では，それぞれの形質の組合せをもつ豆の数は，以 下のようになった．種子の形と子葉の色という２つの形質は独立に遺伝しているのであ ろうか？
黄 緑 丸 315 108 しわ 101 32
腸チフスの予防接種の効果1 予防接種の効果はあったのか？
病気にかかった者 かからなかった者
注射を受けた者 56 6759
受けなかった者 272 11396
双生児犯罪者の兄弟姉妹2 双生児の片方が犯罪者である場合に，他方も犯罪者である かどうかを調査した．一卵性双生児の場合と二卵性双生児の場合で，犯罪者になる傾向 に差があると言えるだろうか？
犯罪者 非犯罪者 一卵性 10 3 二卵性 2 15
1フィッシャー 『研究者のための統計的方法』 例10
2フィッシャー 『研究者のための統計的方法』 例13.1
96 第14章 独立性の検定
14.1.2 社会調査の例
「日本人の国民性調査」（第 12次調査，2008 年）より，宗教に関する調査結果の一 部を見てみよう．
「宗教を信じるか」
質問 宗教についておききしたいのですが，たとえば，あなたは，何か信仰とか信心と かを持っていますか？
回答 1 もっている，信じている
2 もっていない，信じていない，関心がない
結果
信じている 信じていない
男性 204 611
女性 265 649
20歳代 24 162
30歳代 52 238
40歳代 65 218
50歳代 97 262
60歳代 137 244
70歳代以上 94 136
6大都市 51 144
市人口20万以上 165 447
市人口10〜20万 66 188
市人口5〜10万 85 180 市人口5万未満 30 96
郡部 75 202
北海道 25 66
東北 34 115
関東 103 386
中部 (東) 38 110 中部 (西) 64 113
近畿 82 210
中国 37 70
四国 20 39
九州 69 148
14.1. いくつかの実例 97
「あの世」を信じるか
質問 あなたは「あの世」というものを，信じていますか？
回答
1 信じる
2 どちらともきめかねる 3 信じてはいない
4 その他［記入］
5 わからない
結果
信じる どちらとも 信じていない 男性 261 163 342 女性 402 228 220
20歳代 91 33 56
30歳代 116 67 84
40歳代 116 68 79
50歳代 129 79 129
60歳代 118 91 137
70歳代以上 83 57 74
6大都市 74 37 74
市人口20万以上 239 141 196
市人口10〜20万 91 74 76
市人口5〜10万 111 64 74 市人口5万未満 42 18 50
郡部 100 61 94
北海道 40 16 26
東北 61 37 45
関東 186 108 181 中部 (東) 64 36 38 中部 (西) 65 35 64
近畿 85 85 99
中国 41 19 39
四国 36 12 10
九州 80 50 63
98 第14章 独立性の検定