第 8 章 ２項分布 63
17.4 時系列の回帰分析
150 第17章 回帰分析 までは回帰分析を行うことはできない．そこで，このデータを45×12 = 540行 1列に 変換したものを，シート”data” に載せる．
始めに折れ線グラフを描いてみる．これを見ると明らかに，CO2 濃度は一年周期で 変化している，ことがわかる（5月頃に濃度が高く，10月頃に濃度が低くなる傾向があ る．これは植物の光合成の影響である）．周期変動を除いた長期的な変化のことトレン ドと呼ぶ．トレンドが１次関数であると仮定 して，回帰分析を用いてトレンドを推定し てみよう．
原時系列のデータは 1958 年 7 月から 2003 年 6 月までのものであるが，この時点 t の指定の仕方（年と月を文字列で指定している）では回帰分析を行うことはできない．
時点t を数値化されている必要がある．そこで，たとえば 1958 年 1月 15日をt = 0，
1959年 1 月 15日を t= 1 と決めることにする（観測データは毎月の 15 日のものであ ることを思い起こそう）．すると，たとえば 1958 年の 2 月 15 日，7 月 15 日，12 月 15日はそれぞれ t= 1/12,6/12,11/12 のように数値化され，また1960年 7 月 15日は
t = 2 + 6/12 等のように数値化される．そこで回帰分析を行う前に，次のようにして，
B 列に時点 t を数値化しておく．
1. セル B2 に数値 0 を入力 2. セル B3 に式=B2+1/12 を入力 3. セル B3 をセル B4:B541にコピー 次に回帰分析を行う．
1. メニュー【ツール】【分析ツール】【回帰分析】を実行する．
2. 【入力Y範囲】をC2:C541 とし，【入力X範囲】をB2:B541 とする．
3. 出力オプションで【一覧の出力先】を選び，たとえば E1 とする．
4. 【観測値グラフの作成】のチェックをしておく．
問2 回帰分析を行うために，トレンドが１次関数であると仮定した．この仮定は正し かった，と判断できるだろうか？
17.4.3 日本の国内総生産 GDP の変化
内閣府が発表している，平成10年度『国民経済計算』の中に，昭和30年第 2四半期 から平成11年第 1四半期までの国内総生産 GDP （国内で生産された付加価値額の合 計）の時系列データがある．実は，より新しい平成20年度『国民経済計算』も発表さ れていて，こちらには昭和55 年第 1 四半期から平成21年第 1四半期までの GDP の 時系列データがあるのだが，今回は日本経済の高度成長期（ふつう昭和30 年から昭和 48年までの期間とされている）に目を向けたいので，旧いデータを用いることにした．
17.4. 時系列の回帰分析 151 GDPの時系列データを折れ線グラフに描く．グラフを見ると，高度成長期の期間，ト レンドは直線（１次関数）ではない事を読み取ることができる．（なお，周期変動の振幅 も増大している事も読み取ることができるが，この観察結果については，しばらく考察 しないでおく．）ではトレンドはどのような関数となっているだろうか？
ところで経済とは別の事柄であるが，ネズミの集団において個体の生存に環境からの 制約が全くない場合（たとえば食糧の獲得に不自由しない等），ネズミの数は指数関数 的に増加する（和算の「鼠算」の問題）．同様に，個々の企業の活動に何ら制約がない 場合（たとえば新しい市場の開拓に不自由しない等），GDP は指数関数的に増加する と考えられる．だから，高度成長期におけるGDPも指数関数的に増加する，と考えら れる．
さて GDP のトレンドは指数関数的に増加すると仮定する とき，GDP の対数の時系 列は直線的（１次関数）に増加する．すなわち
GDP のトレンド = 10at+b であると仮定すると，
log10(GDPのトレンド) =at+b
である．そこで，GDP の対数の時系列に対して回帰分析を行ってみよう．
原時系列のデータは1955 年第 2 四半期から 1966 年第 1四半期までのものであるの で，たとえば 1955 年第 1 四半期を t = 0，1956 年第 1 四半期を t = 1 とする．する と，たとえば 1955 年第 2 四半期は t = 1/4，1966 年第 3 四半期は t = 10 + 2/4 のよ うに数値化される．
すると次の手順で回帰分析を行うことができる．A 列に時点が，B 列に GDPデータ が入力されているとする．
• C 列に時点 t を数値化した数列を作る．そのためには，
1. セルC1 に数値0 を入力 2. セルC2 に式=C1+1/4 を入力 3. セルC2 をセルC3:C44 にコピー
• D 列にGDP の対数を計算する．そのためには，
1. セルD1 に式 =LOG10(B1) を入力 2. セルD1 をセル D2:D44 にコピー
• 回帰分析を行う．やり方は前節と同様である．計算結果の【係数】の列において，
【切片】の欄（セル F17）が b の値，【X値1】の欄（セル F18）がa の値である．
• GDP の対数の時系列のトレンドの値を計算する．そのためには，
152 第17章 回帰分析 1. セルE1 に式=F$18 * C1 + F$17 を入力
2. セルE1 をセル E2:E44 にコピー
• 原時系列とトレンド（１次関数）のグラフを描く．
問3 高度成長が昭和 48年（1973 年）以降，2000 年度まで続いた仮定する．このとき 2000 年度のGDP は何兆円となると予測できるか？