第 4 章 社会統計に登場する期待値たち 21
4.2 平均余命
4.2 平均余命
平均余命（life expectancy）とは，ある年齢の人が，その後何年生きられるかという 期待値のことで，生命表を用いて計算することができる．
4.2.1 生命表
生命表は次のような形態をしている．
年齢 x 死亡率qx 生存数lx 死亡数dx 平均余命 e◦x
0 q0 l0 d0 e◦0
1 q1 l1 d1
e◦1
2 q2 l2 d2 e◦2
... ... ... ... ...
死亡率 qx 年齢 x の集団の死亡率とは，年齢 x の個体が年齢 x+ 1 になるまでに死 亡する確率のことである．
生命表において，実際の調査から求められるデータは，死亡率だけである．（詳し い求め方は後述する．）
生存数 lx 年齢x に達するまで生きていると期待される人数．
死亡数 dx x 歳における生存数 lx のうち，x+ 1 になる前に死亡する人数．
平均余命 e◦x x歳における生存数lx 人の集団から，無作為に選ばれた一人が以後生きる ことのできる年数を Yx で表すとき，確率変数 Yx の期待値 E(Yx) のことを，年 齢 xの集団の平均余命と呼ぶ．
単純な数値を用いた例
年齢 死亡率 生存数 死亡数 平均余命 0 0.4 100000 40000 1.49 1 0.5 60000 30000
2 0.7 30000 21000
3 1.0 9000 9000
死亡率がわかると，生存数と死亡数が容易に計算できる．
1. 年齢 0の集団の個体数は，たとえば 100000であるとする．
26 第4章 社会統計に登場する期待値たち 2. 年齢 0の集団の死亡率は0.4であるから，1歳になるまでに100000×0.4 = 40000
の個体が死亡し，したがって年齢 1 の生存数は 60000 となる．
3. 年齢 1の集団の死亡率は 0.5であるから，2歳になるまでに 60000×0.5 = 30000 の個体が死亡し，したがって年齢 2 の生存数は 30000 となる．
4. 年齢 2の集団の死亡率は 0.7であるから，3歳になるまでに 30000×0.7 = 21000 の個体が死亡し，したがって年齢 3 の生存数は 9000 となる．
年齢 0 の集団の平均余命（たんに平均寿命とも言う）e◦0 は，つぎのようにして計算 できる．
1. 最初の集団の個体数は 100000である．
2. 1歳になるまでに40000の個体が死亡するが，無作為に選ばれた個体がこの1年間 のいつ死亡したかは不明なので，この個体の寿命は 0と 1 の中央値0.5歳である と考える．言い換えれば，個体の寿命が 0.5歳である確率は40000/100000 = 0.40 である．
3. つぎの 1年間に 30000 の個体が死亡するが，無作為に選ばれた個体の寿命は1 と
2 の中央値 1.5 歳であると考える．言い換えれば，個体の寿命が 1.5 歳である確 率は 30000/100000 = 0.30 である．
4. つぎの 1年間に 21000 の個体が死亡するが，無作為に選ばれた個体の寿命は2 と
3 の中央値 2.5 歳であると考える．言い換えれば，個体の寿命が 2.5 歳である確 率は 21000/100000 = 0.21 である．
5. 最後の 1 年間に 9000 の個体が死亡するが，無作為に選ばれた個体の寿命は 3 と 4 の中央値 3.5 歳であると考える．言い換えれば，個体の寿命が 3.5 歳である確 率は 9000/100000 = 0.09である．
だから，確率変数 X の確率分布は，
値 0.5 1.5 2.5 3.5 確率 0.40 0.30 0.21 0.09 したがって，
E(Y0) = 0.5×0.40 + 1.5×0.30 + 2.5×0.21 + 3.5×0.09 = 1.49 となる．
4.2. 平均余命 27 問 1 年齢 1 の集団，年齢 2の集団，および年齢 3の集団について，それぞれの平均 余命を計算せよ．
一般に，年齢x の集団の平均余命 ◦ex=E(Yx) は，次のようにして求めることができ る．はじめに，確率変数Yx の確率分布は
値 1 2
3 2
5
2 · · · 確率 dx
lx
dx+1 lx
dx+2 lx · · · したがって，
E(Yx) = 1 2 ·dx
lx + 3 2· dx+1
lx +5 2 · dx+2
lx +· · ·
= 1 lx
[1
2dx+3
2dx+1+5
2dx+2+· · · ]
(4.1)
= 1 lx
[1
2(lx−lx+1) + 3
2(lx+1−lx+2) + 5
2(lx+2−lx+3) +· · · ]
= 1 lx
[1
2lx+lx+1+lx+2+lx+3+· · · ]
(4.2) これらの式のうち，(4.1) または(4.2) を用いて計算すればよい．
4.2.2 平均余命の数学的性質
平成16年簡易生命表（男性）によれば、0 歳児の死亡率は 0.00301 であり、また 1 歳児の平均余命は 77.87 である。たとえば 0 歳児が 100000 人いるとしたとき、その うち 301 人が 1 歳になる前に死亡するから、この児たちの寿命は 0.5 歳であり、残り 100000−301 = 99699 人の平均寿命は 77.87 + 1 + 78.87 歳である。したがって、0 歳 児の平均寿命は
0.5× 301
100000 + 78.87× 99699
100000 = 78.63
歳となるはずである。これは簡易生命表の結果と一致している（小数第2位が異なって いるのは、1歳児の平均余命 77.87が不正確なため。）
問2 もし0 歳児の死亡率を現在の約半分0.00195 に下げることができるならば、0 歳 児の平均寿命は何歳になるか。
問3 現在夫は30歳、妻は25歳である。この夫婦がそろって妻の還暦（満 60歳）を 祝うことができる確率を求めよ。
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