第 8 章 ２項分布 63
12.3 標本比率の確率分布：数学的説明
84 第12章 母集団比率の推定
12.3. 標本比率の確率分布：数学的説明 85 と見なして，解いてみる．すなわち，2 次不等式
( 1 + z2
n )
p2−2 (
ˆ p+ z2
2n )
+ ˆp2 50 を解く．判別式は
D =
( ˆ p+ z2
2n )2
− (
1 + z2 n
)
·pˆ2
= z2 ·p(1ˆ −p)ˆ n + z4
4n2
となる．ここで，標本数 n は十分に大きい 場合を考えていることを思い出すと，右辺 第 2項は第 1 項と比較して無視できる．そこで，
D=約 z2· p(1ˆ −p)ˆ n すなわち，記号を簡単にするために，
ˆ s =
√p(1ˆ −p)ˆ
n (12.1)
と書くことにすると，√
D=約 zsˆである．したがって，2 次不等式の解 (
ˆ p+ z2n2
)−√ D
1 + zn2 5p5 (
ˆ p+2nz2
) +√
D 1 + zn2 は簡単化できて，次のようになる．
ˆ
p−zˆs5p5pˆ+zsˆ (12.2) 出発点の 2 次不等式は確率1−α(z) で成立しているのだから，その解である不等式
(12.2)も同じ確率で成立している．したがって，つぎの結果を得ることができた．
確率1−α(z) で，未知の母集団比率p はpˆ−zsˆ以上，ˆp−zsˆ以下である．
ただし sˆ=
√p(1ˆ −p)ˆ n
12.3.1 標本数の決定
例5 政党 A の支持率を調査するとき，支持率の95% 信頼区間の幅を 2% 以下にする ためには，標本数をいくつ以上にしなければいけないか？
86 第12章 母集団比率の推定
（解） 信頼区間は [ˆp−zs,pˆ+zs] であるから，その幅は 2zs である．幅を w%以下 にしたいのすれば，2zs5w とすればよい．だから
s 5 w 2z とすればよい．すなわち
ˆ
p(1−p)ˆ
n 5(w
2z )2
とすればよい．数I の知識「2次関数 f(x) = x(1−x)の最大値は 14 である」を思い起 こす．すると，上の不等式を成り立たせるためには，
1
4n 5(w 2z
)2
, すなわち n =(z
w )2
(12.3) とすればよい．
95% 信頼区間を考えているから z = 1.96 であり，また幅を 2% 以下にしたいのだか ら w= 0.02と置く．すると，公式 (12.3) を用いて，n=9604 が得られる．
問 4 ある市では，糖尿病患者の割合を知るために，集団検診を実施する予定である．
糖尿病患者の割合の95% 信頼区間の幅を 1% 以下にするためには，標本数をいくらに したらよいか？
87
第 13 章 一様性の検定
13.1 一様性の検定の処方箋
13.1.1 正しいサイコロか？
例 13.1.1 つぎの表は平成 21 年度の名瀬市の月別出生数(男子と女子の計)を示してい る．1
１月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
48 45 48 46 53 44 56 51 57 62 42 61
出生数は月に無関係であるか？ すなわち，一人の新生児が生まれる確率はどの月も 1 に等しいか？ 12
例 13.1.2 つぎの表は平成 21 年度の鹿児島市の曜日別火災発生件数を示している．2 日 月 火 水 木 金 土
39 31 32 35 41 31 39
火災発生件数は曜日に無関係であるか？ すなわち，一件の火災が発生する確率はどの 曜日も 1
7 に等しいか？
上の二つの問題のように，いくつかの場合が起きる可能性があって，それぞれの場合 が起きる確率がたがいに等しいかどうかを調べる問題は，現実の世界にしばしば現れる．
これらの問題は，つぎの『賭博場』で現れる問題と，じつは全く同じ種類の問題である．
例 13.1.3 つぎの表は，サイコロを 60 回投げたときに，それぞれの目が出た回数を示 している（架空の例）．
１の目 ２の目 ３の目 ４の目 ５の目 ６の目 サイコロ A 12 7 8 10 12 11 サイコロ B 7 10 7 6 6 24
1『人口動態統計調査』http://www.pref.kagoshima.jp/tokei/bunya/jinko/jinkodotai/H21jinnkoudoutai.html
2『消防年報』http://www.kagoshima-fd.jp/pdfs/nenpou/h22nenpou.pdf
88 第13章 一様性の検定 二つのサイコロA, B は正しいサイコロであるか？ すなわち，それぞれの目が出る確率 はどの目も 1
6 に等しいか？
いくつかの場合が起きる可能性があって，それぞれの場合が起きる確率がたがいに等 しいかどうかを調べるテスト方法，すなわち確率が『一様』であるかどうかを調べるテ スト方法を，一様性の検定と言う．
13.1.2 一様性の検定の基本的アイデア
正しいサイコロを 60 回投げたとき，それぞれの目が出る回数は『ほぼ』 10 回ずつ になるだろう．だから例3.1.3で，サイコロ A のような結果が現れても，誰も不思議に 思わない．しかし，サイコロB のような結果が現れたとしたら，誰もが「6の目が出す ぎているので，このサイコロは正しくない」，と判断するであろう．
一般に，ある偶然現象では k 種類の結果が起きる可能性があり，実際に調査（または 観察）したところ，それぞれの結果が起きた度数が
X1, X2,· · ·, Xk であったとする．このとき仮説
それぞれの結果が起きる確率は 1k である が正しいかどうかを，データに基づいて判断したい．
仮説が正しいとき，それぞれの結果が起きる期待度数は n× 1
k = n k
ずつである（ただし n は度数の合計n =X1+X2+· · ·+Xk である）．このとき
• もし実際の度数と期待度数の差 X1− n
k, X2− n
k,· · ·, Xk−n k がすべて小さいならば，「仮説は正しい」と判断する．
• 逆に，実際の度数と期待度数の差が，ある結果に対して大きすぎるならば，「仮説 は正しくない」と判断する．
この基本的アイデアにしたがって，一様性の検定を行うことができる．この検定方法 は，統計学においてカイ２乗検定と呼ばれている．3
3「カイ」はギリシャ文字のχを表す．「カイ２乗検定」の名称は，この方法を最初に考案した カール・
ピアソンによるが，検定方法の中身はギリシャ文字のχとは何の関係もない．
13.1. 一様性の検定の処方箋 89
13.1.3 表計算ソフトを用いたカイ２乗検定の実際
例3.1.3のサイコロ A のデータに対して，Excel を用いてカイ２乗検定を行うには，
つぎのようにすればよい．
1. 真偽を検討したい仮説は「サイコロは正しい」である．
2. 観察度数（データ）を A 列に入力し，期待度数を B 列に入力する．
A B
1 12 10
2 7 10
3 8 10
4 10 10
5 12 10
6 11 10
3. セル D1 に式 =CHITEST(A1:A6,B1:B6) を入力する．すると，その場所にp 値が 計算される．今の例の場合，p値 = 0.8208 である．
4. p 値は仮説が正しい確率と解釈してよい．今の例の場合，p 値は大きいので，「仮 説は正しい」と判断できる．
サイコロ B のデータに対して同様のことを行うと，つぎのようになる．
1. 真偽を検討したい仮説は「サイコロは正しい」である．
2. 観察度数（データ）を A 列に入力し，期待度数を B 列に入力する．
A B
1 7 10
2 10 10
3 7 10
4 6 10
5 6 10
6 24 10
3. セル D1 に式 =CHITEST(A1:A6,B1:B6)を入力する．すると p値 = 0.0001664 と なる．
4. p 値は小さいので「仮説は正しくない」と判断できる．
90 第13章 一様性の検定
13.1.4 検定の論理
注意１ 前節では，p値が 0.8208 であるときは「大きい」と見なし，0.0001664である ときは「小さい」と見なした．では，たとえばp値が 0.02であるときや，0.07である ときは，どのように見なしたらよいだろうか？
慣例では，p 値が 0.05 未満のときは「小さい」と見なし，
0.05 以上のときは「大きい」と見なしている．
ここで，仮説検定のような合理的な思考の場面で，「慣例」が用いられることは，奇妙 だと思うかもしれない．しかし，仮説検定の結果を述べる際，「仮説を棄却した」または
「しなかった」という結論だけを述べることはせず，必ず p値を記す．A 氏が「仮説検 定を行って，仮説を棄却しました」と述べたときに，もし p値を述べ忘れたとしても，
それを聞いた B 氏は「p 値が 0.05 より小さいので，仮説は棄却されたのだな」と推測 できる．このように，この「慣例」が，誤った推論，意見の相違をうむことは無い．
注意２ 仮説検定の論理の流れを図示すると次のようになるだろう．
仮説が正しいとしたら・・・ ⇒ p値の計算
⇓
p値が小さい
⇐ 仮説を棄却
これは，次の背理法の論理の流れとよく似ている．
仮定が正しいとしたら・・・ ⇒ 推論
⇓
⇐ 矛盾 仮定を棄却
ただ一つの，しかし大きな相違点は，背理法において矛盾が起きたとき，仮定は絶対 的に誤りであるのに対し，仮説検定においてp値が小さいとき，慣例にしたがって仮説 を棄却するが，じつは仮説が正しい可能性もある事である．
注意３ 仮説検定において仮説が果たす役割は，背理法における仮定の役割と同じであ ることがわかった．ところで，背理法における仮定は，それが誤りを示す目的で置かれ たものである．同様に，仮説検定における仮説も，じつは，それが誤りを示す目的で置 く．この意味で，仮説検定における仮説は帰無仮説と呼ばれている．