第３章 多目的遺伝的アルゴリズム
3.5 パレート解の評価方法
目的関数 f1 と f2がバランスした解がパレート解であるならば弓形の面積(斜線の部分)が 大きいほどより良いパレート解と言える。しかし、相 互に競合関係がない（パレート解でない）場合は、1.0 となる。
一般に最適設計では，設計の許容範囲が定められて いる場合が多い，この範囲を評価範囲として定数で指 定する。たとえば，不稼働率ならば，0.0～0.1 と指定 する。
次にパレート解の弓形領域の面積を計算する手順を示 す。
Step 1 パレート解の比較する測定範囲を定める。
例：コストは 81,800,000 から 85,000,000，不稼働率は 0.0 から 0.1 Step 2 測定範囲の解の目的関数値を0.0から1.0に正規化する。
例：81,800,000 から 85,000,000 は 0.0 から 1.0，0.0 から 0.1 は 0.0 から 1.0
Step 3 弓形領域の面積を計算する。測定範囲を最小幅0.01で台形に分割し，範囲の
先頭位置から台形公式を用いて面積を計算する。この面積に２を掛けた値が弓形面積 である。なお，斜め線の左下側の直角三角形の面積は，1.0 とする。
3.5.2 被覆率（cover rate）[25][36]
被覆率はパレート解がある範囲内に均等に求められているか,解のバラツキを測る指標 である。たとえば，解（個体）が偏って分布していても精度から見ると良いと判断される 場合もある。複数の偏りのない設計案を提示するためにも均等なパレート解が有用である。
被覆率の求め方を説明する。①ある測定範囲 を n 等分にして，各領域に解があるか否かを 調べる。あれば１，なければ０とする。②こ の操作をすべての目的関数ごとに行い,この数 を累積する。この値をNとする。③ Nをn×
qで割る。この値が被覆率である。qは目的関 数の数である。被覆率の取り得る値は，0.0か ら1.0である。
2 目的の場合（図 3-10）を例にして被覆率 を計算する。各目的は５等分に分割する。な お,実際の等分数は50～100程度が良いようである。
f2
upper
f1
lower upper lower
Fig.3-9 Arch area 図 3-9 弓形領域の面積
f2
f1
Pareto solution
Fig.3-10 Compute Cover rate 図3-10 被覆率の計算
8 . 2 0 5
4 ) 4
(
1 =
×
= +
=
∑
×=
q
q
i
分割数
等分領域に解がある数 被覆率
3.5.3 パレート解の数(numbers of Pareto solution)
パレート解の数は，基本的に多いほど良い。多ければ，偏りがあっても全体を補えるこ とができるので良い結果となる。しかし，偏りがあると同じような解が多くなり，パレー ト解の更新処理やシェアリング計算などで効率が悪くなる。
パレート解の数は，他の指標と組み合わせて，探索の終了条件にも使用される。提案の 多目的GAでは，ランキングのランク１の累積数をひとつの指標としている。ランク１の 解の集合はパレート解である。
3.5.4 MDI法(Method of Displaced Ideal)により選択した解の精度
MDI 法[35]のメトリックに，3.4.4 で求めた重み係数βtを解の評価値に掛けることで定量 的な距離を測る。ただし，重み係数βtの計算式は評価関数と同じ（式 3-7）であるが，各 目的関数の最大値Zt*(gen)と最小値Zt−(gen)はパレート解から求めた値を使用する。最終世代 のパレート解の数をparetoSizeとすると，MDI法による最良妥協解は次式で求められる。
（詳細は第６章の6.3.1を参照）
paretoSize k
r
q z t
z z L z
paretoSize k
r
z z
z L z
gen t gen t
gen t kt t t
rk q r
t
r
gen t gen t
gen t kt t rk
, , 2 , 1 ,
, , 2 , 1
| max
, , 2 , 1 , 2 , 1
) (
* ) (
) (
*
1
1
) (
* ) (
) (
*
L
L L
=
∞
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ =
−
⋅ −
=
=
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
⋅ −
=
−
= −
∑
β β
paretoSize p
p L L L
e p p p p
p
, , 2 , 1
}
| )
( { min
arg 1 2
*
= L
∀ + +
=
= v ∞
v v
ここで，v*はMDI値である。e(vp)は下に凸となる鍋底形の関数である。argminのarg は argument の省略形であり，評価関数e(vp)の最小値 minに当たるパレート最適解を最 良妥協解として採用することを意味する。
3.5.5 正規化したパレート解の図示
目的ごとに評価範囲を定めておき，この範囲を０から１に正規化する。この範囲のパレ
･･････ (3-15)
････････ (3-14)
ート解を，目的関数で整列して，ある解と次の解の間隔が一定距離 d（例：0.01）以内な ら次の解を無視し，その次の解と比較する。つまり，一定距離間隔以上，離れている解の みを選び出して，グラフで表示する。この利点は，解のばらつき度が目視できることであ る。集中化している解は消去されるので，見やすいグラフが作成できる。
次に示す例は，第2章の図2-8の通信システムModel-3のパレート解の例である。この ような正規化で，解の分布状態とパレート解の比較が容易になる。
条件等： パレート解の表示指定範囲を0.0から１.0に正規化して表示する。
コストの範囲： 212,900,000～216,000,000 不稼働率の範囲： 0.0～0.1
右側のグラフがパレート解で，左側のグラフはその一部分を正規化表現で拡大表示した ものである。このようなグラフ表示で，解は必ずしもきれいに分布していない事が良くわ かる。あるいは，解に探索に抜けている部分があるかもしれないなどを目視できる。
gen=8000,pm=0.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
unavailibility
cost
gen=8000,pm=0.6
212000000 212500000 213000000 213500000 214000000 214500000 215000000 215500000 216000000 216500000 217000000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
unavailibility
cost
gen=8000,pm=0.6
Fig. 3--11 Pareto solution of standard range 図3-11 パレート解の正規化表示
Fig. 3-12 Pareto solution of Model-3
図3-12 Model3のパレート解（8000世代，pm=0.6）