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―教科書の課題学習の活用から― 北海道札幌東陵高等学校 川嶋 哲典 要  約  新課程の高等学校数学には「データの分析」が新たな単元として加わった．この学習を通じて，生徒には 「統計的な見方・考え方」を身につけさせたい．しかしながら，現状の教科書「データの分析」の章の記述だ けでは不十分であると感じられる．そのため， 「数学 I 」の教科書全 16 点の「課題学習」に掲げられたデータの 分析に関する課題を整理し，生徒が「統計的な見方・考え方」を養えるような課題とはどういうものであるべ きか考える．

6 結びにかえて  上記の分析結果から，教科書の課題学習のペー ジには「数学的な見方や考え方」を問う活動が多 く掲載されており，筆者としては嬉しい限りであ る．統計学習においては，様々な統計概念や作図 の方法，統計数字の算出法を学習することはもと より，それらの数字や図表の示す意味を正確に把 握できる能力の育成こそが本質であると考えてい るからである．一昨年度の実験授業 (川嶋 2012)， および昨年度の数学 I の授業において，そのこと を意識して授業構成をしてきたつもりである．  ただし，ここで言う「数学的な見方や考え方」 は，筆者はあくまでも評価の観点としての用語と して用いていることをここで断っておく．  筆者は，高校数学に「データの分析」が導入さ れたことは，高校数学の学習指導法を見直す契機 であると考える．景山 (2011) が指摘しているよう に， 「統計学の本質は，帰納的推論の中に演繹的 推論の過程を導入することにより科学的な結論を 導く点にある」のであって，数学 I の「データの 分析」にあってもこのことを意識した指導法を心 がけなければならないと考えている．数学的な見 方・考え方と統計 (学) 的な見方・考え方の相違点 と類似点を高校教員がきちんと理解しておかなけ ればならない．その意味で，教材研究をより深く 行い，各教科書の課題学習に掲げられた事例を適 切なタイミングで活用することは大変有意義であ ると考える．指導する側の教員が上手に取捨選択 をし，あるいは課題の設定を行い，確かな理解の うえで授業を構成していくと，統計学習はもっと 豊かになるのではないだろうか．

 このような状況を考えたとき，冒頭に述べたよ うな現行の高等学校統計カリキュラム，すなわち 記述統計は必履修だが推測統計が選択科目 (項目) である現状は極めて貧弱であると筆者は考える． 統計的方法を利活用したり，その有用性を実感で きるようにするためには推測統計の基礎は必須で ある．また，この他にも統計を研究ないし実務に 応用する際，記述統計だけで充分であることは稀 であり，推測統計の必要性は高い．そして高校数 学の統計学習においても，その有用性を実感でき るような教材を配することが重要であると考える．  高校数学における統計の位置づけは，これまで 様々に変わってきた．昭和 53 年告示の学習指導

X c∈C max n 0, q τ(ˆ c s) − |ν l τ(ˆ s) (c) \ {ˆ s}| o holds for any step l in the cycle, at any school c which ˆ s is admitted, q τ(ˆ c s) = |ν l τ(ˆ s) (c)| holds for any step l in the cycle. Hence, ˆ s’s rejected status for any school which ˆ s once proposed to cannot change to the non-rejected status by reproposal conditions (i) or (iii). Moreover, since a student s such that s ∈ S τ(ˆ s) and f (ˆ s) < f (s) cannot be assigned to a school which ˆ s prefers to her own assignment, reproposal condition (ii) does not apply to ˆ s. Therefore, ˆ s is always assigned to the same school in the cycle. Now we can separate the set of students who are always unfree because they do not change their assignments in the cycle. With the set of students who are always free in the cycle, only the reproposal condition (iii) could apply and it is when there was a reproposal before step t ′ . But a reproposal based on (iii) gives

Find (all) pure‐strategy Nash equilibrium if it exists.  iii.[r]

payoff) while M gives 1 irrespective of player 1’s strategy.   Therefore, M is eliminated by mixing L and R .   After eliminating M , we can further eliminate D (step 2) and L (step 3), eventually picks up ( U , R ) as a unique outcome.

Prisoners’ Dilemma: Analysis (3)
  (Silent, Silent) looks mutually beneficial outcomes, though    Playing Confess is optimal regardless of other player’s choice!   Acting optimally ( Confess , Confess ) rends up realizing!!

Prisoners’ Dilemma: Analysis
   ( Silent , Silent ) looks mutually beneficial outcomes, though    Playing Confess is optimal regardless of other player’s choice!    Acting optimally ( Confess , Confess ) rends up realizing!!

3(a - e)/4, is greater than aggregate quantity in the Nash equilib- rium of the Cournot game, 2(a - e)/3, so the market-clearing price is lower in the Stackelberg game.. Thus, i[r]

   If the stage game has a unique NE, then for any T , the finitely repeated game has a unique SPNE: the NE of the stage game is played in every stage irrespective of the histor[r]

(a) If an agent is risk averse, her risk premium is ALWAYS positive. (b) When every player has a (strictly) dominant strategy, the strategy profile that consists of each player’s dominant strategy MUST be a Nash equilibrium. (c) If there are two Nash equilibria in pure-strategy, they can ALWAYS be Pareto

(c) Solve for the total saving S by all types who save and the total borrowing B.. by all types who borrow.[r]

    5. Bayesian Nash Equilibrium (12 points)  There are three different bills, $5, $10, and $20. Two individuals randomly receive one  bill each. The (ex ante) probability of an individual receiving each bill is therefore 1/3.  Each  individual  knows  only  her  own  bill,  and  is  simultaneously  given  the  option  of  exchanging her bill for the other individual’s bill. The bills will be exchanged if and only  if  both  individuals  wish  to  do  so;  otherwise  no  exchange  occurs.  That  is,  each  individuals can choose either exchange (E) or not (N), and exchange occurs only when  both  choose  E.  We  assume  that  individuals’  objective  is  to  maximize  their  expected  monetary payoff ($). 

e z . The prices of the three goods are given by (p, q, 1) and the consumer’s wealth is given by ω. (a) Formulate the utility maximization problem of this consumer. (b) Note that this consumer’s preference can be expressed in the form of U (x, y, z) = V (x, y) + z. Derive V (x, y).

elimination of strictly dominated strategies can never be selected (with positive probability) in a mixed-strategy Nash equilibrium.[r]

elimination of strictly dominated strategies can never be selected (with positive probability) in a mixed-strategy Nash equilibrium.[r]

Combination of dominant strategies is Nash equilibrium. There are many games where no dominant strategy exists[r]

Prove that if a firm exhibits increasing returns to scale then average cost must strictly decrease with output. 4.[r]

(a) The intersection of any pair of open sets is an open set. (b) The union of any (possibly infinite) collection of open sets is open. (c) The intersection of any (possibly infinite) collection of closed sets is closed. (You can use (b) and De Morgan’s Law without proofs.)

Solve the following problems in Snyder and Nicholson (11th):. 1.[r]