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接平 （ ）

Part ⁰2

接

限界 生産

新 泉

Z⁼J^は、_{y )}

← ^ca、e、JC⁹した)

とも 接 平面

thine

の 程式

を通り~(6=~)に垂直な ↵を考えます．↵の 意の に対して

~ · !

=

が成 します． の座 が( , , )^{， の座 が}( , , )

~ = 0

@ 1

A であるとき != 0

@

1 A

であるので，上の条件は座 を いると

( ) + ( ) + ( ) =

が

法線 孳 ピ

𦥯

ー

い

→ 、

いくo.ge_、 ^Z。) ^{は 三}

者

~のことを の 線ベクトル と呼びます．

← c

が

( 別

ト= 0

n」

が ! pi

z . ^の上 ^で_y

平面

.

具体

+ =

について考えます．通る を具体的に求めます．

切 切 切 ( , , )^{を通ることから}

+ =

) + · =

( ) + =

すなわち ⇣ ⌘

·⇣ ⌘

=

t t

←

答 言

一 _-

ヽ

y⁼ Z^{= 0} 3

, 1 ^-2 2

姿 まで に 」

、

米

江線 。

姚興 で 醼

=

= の場合~は に 行になり， ↵は に垂直に なります．

= ) ~ k , ↵?

nnu

は ) 懴 _ iiii

（ 習）

数関数

= ( , ) に対して の関数

( ) := ( , )

を考えて，( , )^{における に関する} 偏微分係数

( , ) = ⁰( )

を定義します． y=b

uoss.seで^の 切断面

化

配置 品

に ない

国 :

ix. た

t.

、

職 濹

関数 ( , )のグラフ

= ( , )

の( , , ( , ))^{における接 を求め} ます．そのために

= ( ) + ( ) + ( , ) の係数 を求めます．

y=b

Z⁼Acta)^t

Bffgt

)

- べ

g^{B を} 求め

/

恵 かまい

ばなら

-

0 SD

r ^{= o は im}

possible

Opera

)

z^{= 一}

〇 も

〇 もし

接 と切断 = との交わりは，切断 の上では = ( ) の = における接線となります．さらに に = を代 して切断 = 上 に制限すると

= ( ) + ( , )

となります．これからこの直線の傾きが であることが かり，

= ⁰( ) = ( , ) であることが かります． に

= ( , ) となりますから，結局，接 は 程式

= ( , )( ) + ( , )( ) + ( , ) で されます．

T.ie

関数

= ( , ) =

を( , ) = ( , ) = ( , )の周りで考えます．関数 の 関数は ( , ) = , ( , ) =

となりますから， 係数は

( , ) = . , ( , ) =

と計算されます．従って( , ) = ( , )^{における接 は}

= . ( ) + ( ) + . ⇥

であることが かります．

コブ ダグラス 型

生産

右

P

c.

定数

.tt?=l

な^{4 = G}25.

Mine

=4

本

が

、

璡 [

に

4.tt

i

= 3^.志 ^{.5 = 103 . 53 = 23}

-

JC^し04,54)⁼

q.io?5= だけ

限界生産 （ ）

資 の が の が の生産関数

= ( , )

を考えます．このとき( , ) = ( , )^{の周りで は接 を いて}

⇡ ( , )( ) + ( , )( ) + ( , )

= ( , ) + ( , ) + ( , )

従って

= = ( , ) ( , )

⇡ ( , ) + ( , ) と近似します（これを 次近似と呼びます）．

き

た 殲

で は

災い -_-

で

古 増 が

限界生産 （ ）

= すなわち = のとき

= ( + , ) ( , )⇡ ( , )· が成 します．このとき

= ( , )

を( , ) = ( , )における資 の限界生産物（

） と呼びます．

△ん

ー

! と 選 TA

△k⁼ 0 k ⁼k。

_

と "に

警 𧑉 た 産物

0の ^二 F_、 (ko.co^{) ・OL}

限界生産 （ ）

具体的に 型の生産関数

= ( , ) =

を( , ) = ( , ) = ( , )^{の周りで考えます．}

( , ) = · =

( , ) = · =

と 関数を計算します．

◆ ⇣

( ^↵)⁰ =↵ ^↵

✓ ⌘

限界生産 （ ）

このとき( , )における資 の限界生産 と 働の限界生産物

（ ） は

= ( , ) = ·

= .

= ( , ) = =

となります．さらに = ( + , ) = , . . . . ^の値の近 似を

( + , )⇡ ( , ) + ( , )·

= , + . ⇥ = ,

と計算します．

K。 = 104

, Lo

た

0

o 煕

し ) 電卓 ○

では ?

曲線の接線

曲線 が 数関数 を いて

( , ) = と えられているとします． えば単位円は

( , ) := + =

と されます． 上の ( , )が えられているときに， の ( , ) における接線を求めます．

f

?

な、 災 にも \ .

8^{x =2つく ?}

gy^{= 2} y

dte^た

15992

い ない と が

○

歯 \ 状 啠

いっいい ^や

曲線の接線 次元的には

曲

= ( , ) の接 を( , , )で考えると

= ( , )·( ) + ( , )·( ) となります．

接 と の交わりは 座 では

( , )·( ) + ( , )·( ) = となります．これは接線の 程式となります．

a.to

e

匪 国聞 は

に

いく

s

( しな た ? )

しな し た

程式 は 積を いて

✓ ( , ) ( , )

◆

·

✓ ◆

=

と されます．

これからベクトル

r( )( , ) :=

✓ ( , ) ( , )

◆

が接線に垂直であることが かります．r( )( , )^{を の}( , )^における 勾配ベクトル（ ）と呼びます．

、

m _{_}

t.hn

O

その向きは？

高

低

勾 ベクトルは が大きくなる 向に向いています． っていくときに 最もきつい 向です．

iii. ご で 間

.in

iiidii Lea

単位円 ( , ) := + = について考えます． の 関数は

= , =

ですから，したがって単位円上の ( , )^の接線は

( ) + ( ) =

となります．

陰関数の

曲線 が( , )の近くで ='( )と されていて， ( , )6= が成 するとします．このとき( , )における接線は

= ( , )

( , )( ) + となりますから，接線の傾きを考えて

'⁰( ) = ( , ) ( , )

であることが かります． えば曲線（単位円） ( , ) = + = を > を たす( , )で考えると，曲線は直接的には

='( ) =p と されますが，

'⁰( ) = = が成 することが かります．

本

また 劄 孚 荘

※ ○ 選

g^北二29

gy^{=2e -)に}

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) で

創

い っにt y^2-1=0 G^'(a_,

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限界代替 （ ）

消 者が商 をそれぞれ 購 するときの効 が効 関数 ( , ) で えられるとします．

このとき

( , ) = ( , )

を( , )^{を通る 差別曲線（} ）と呼びます．このとき ( , )^{における限界代替 （ ）を}

= ( , ) ( , ).

と定義します． の購 を から 小 だけ効 一定の下で（ 差 曲線に沿って）増加させると， ⇥ ^{だけ を減少させることに} なります．

コブ ダグラス^.

f 単位

P

Uしていy⁾

焦り ※ たい

少量 fys

※

器 炎

無し

接線 も 点 (