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(1)Aの固有多項式①A(A)を求めましょう．求めましょう. (2)Aの各固有値に対して固有ベクトル を求めて,Aを対角化しましょう．
、 三、。＝ ノ
3輪=了い工延‑A)(1)=さ㈲IkrL‑ I‑
解答(1)
(二○〜 〜了ご"=A(1)
①A(入)=￨
際ゴミ血､ …､ ""Ⅱ ・
からAの固有値は入＝1,6であることが分かります.T ご 入a‑qA十6 入丁2−A
(2) (i)入=1のとき
=(i:)
』イハ=/"1‑/‑1 2V"1̲5‑…‑,"−、
(;)=(;)‑(ﾖⅢ』)(;)=0−"‑2"−，
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一
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となります ， …
(ii)入=6のとき
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一一
…聯溌(紳肥(望)腱
となります。
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とすると
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からQは正則で
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１０
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となりますから
と対角化できます．
6）"‑吉(か…−，" ‑麦： （
補足β'=Vr.
1ります． さらに
AP=ぃ角A")=(pi6pb)=(両屈）
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と定めると、Pは回転行列とな
(; :）
45
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１
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に対して、α≠βが成立するとする。 このときAは対角
すなわち正則行列Pが存在してP‑1APが対角行列にな ﹁脾﹁曇榔恥
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（＆）
(FiR)
Pは正則〈二> det(P)≠0
‑k.d ̲EjZc →
‐ c 再やくし(､謬
"C,j,+C2jZ=i=,C,=C2=0を示す。
of)c,a,=6
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一 →
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…
弱題驚
2‑xr‑"c‑xQ‑海べ→
3,bER"が
訓b
を満たすときに,EERnに対してl lE−xヨー を最小化するx,yERを求める．
'6､
言
雫熟酋
a国、＝
MSF2019, LecO4, 2019年04ノ]30上I (平Iミ
蕊謹瀬塞遜輿ITQsE""EcT》蕊菱刈
ベクトルの内積とその応用 ／20…
溌騨群 鍵§まず弓上5のとき
llxr(! =Iscl 、 【irll
3̲Lbの場合を考える． 種ユメヨや,急
l lE‑x5‑y51 12=￨ ￨E￨ ￨2̲2(5,XﾖGy5)+￨ ￨x3+y51 12
=x21 131 12+y21 151 12̲2x(5,3)̲2y(E,6)+￨ ￨51 12
， ;､＞=,薊Ⅱ1(録‑剛1,,旧,,1I,‑¥
正噌､､‑早《，1 ⑳）
2Ⅲ→, ,2 （で,3)2 （で,5)2
＋' '51 12
￨ ￨訓'2 ￨ ￨bl l2
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のとき最小となる。 この意味は？
→
(5,b)
→
￨bl l2
I癖鐸戸輝;鑛謹("OSEEROJECT)/謬剰 ベクトルの内積とその応尉
灘
蕊蕊 …グラム。シュミットの直交化一綴
2
）
−1
(I): 5=(
0に対して5の5方向の直交射影は
→
a へ〜
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↓州一川
→
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１３ １３ 昼
(署） 厨､顎
5‑耐=(: ） (￨）
ここで
，向罰‑=(i)" '‑, ,61",
1は￨ ￨β￨ ￨＝￨ ￨引￨＝1， （β,可)＝0を満たし
︑１１ノ
４１ ５ １１︑
２四
１b(→ ‑"
(b−w ）
ﾆニニ{/fp+";XyER}
§
っL 冒凡
L
の正規直交基底と呼びます
MSF2019, LecO4, 2019年04I] 30fL(平旧
鶴蕊…鶴……灘己 ベクトルの内積とその応用 J／20
一子 ; : ､§ :、
： ： :
ごグラム｡シユミヅト鰯直交稔皇例
M#
(罰5）
官' 順｢j(;)
C)‑
<=＞
(β可）
から
→
x3+yb 〈β＋
りq→となりますから
L
であることが分かります．
{銅十り可; 〔,りER}
MSF2019, LecO4, 2019年04月30剛 (､17x」
I …繍驚辮騒驚辮§蕊 唖箪{； ベク}､ﾙの内積とその応用 ／20
へ
﹃ひ
楓
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'U=x莨寸
へ﹁１
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︶
息一一
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８謡し<1Wla
０
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■ Ｕ
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■■■■■も
一
xrri)3 ン〔cwU巷
2
1
gr'
x茂州な＝§菅･祝
(1)ぐ‑ぅ(冤）
§ 審謹群舞蕊舞
グラム ．シ1
シ}、の直交化一例
ヘヘ︑
ヨ
ミ
このとき(#)のと診 Ⅲご‑xa‑tj訓1
￨ ￨で−銅一りう' '2＝(ビー(で,β))2＋(7ノー(で,5))2+￨ ￨E￨ ￨2̲(E,5)2̲(E,5)2
から最小になるのは
ゞ=剛=圭, Ⅷ‑剛一志
= llc−副11
であることが分かります．
問以 上の計算から￨ ￨で−xヨ
＼化するyERを求めましよう．
1 −へ
=‑伽､冤糸《 ' ㈹
口 一《α ０
−凧
ｉX,
ｆ﹁ＤＩＩ一喝
−ヘ 今
天。,‑t1,6‐
一一
へし
一一MSF2019, LeCO4,2019年04j1 30上I (平腸
蕊 い戸瀬信之(汀○SEpROJEに了)"" ベクトルの内積とその応用 ： :尋: ､ ／20
x《V夏莱 u一等心
⁝⁝
購
グラム ・シユ 弓、‐〜今、
ヅトの直交化一例
恥＝(で,β)β＋(で,う)可と定めると
（で一町β)＝(で,β)−(で,β)￨ ￨β' '2−(で,可)(可,β）
＝(で,β)−(で,β)＝0
(8‑wb,9)=に,可)−(で,5)(p,5)‑(5,5)￨ ￨31 12
＝(で,可)−(で,可)＝0
から
5−恥̲LL
が分かります． 0をでのLへの直交射影と呼びます．
MSF2019, LecO4, 2019年04"30 11 (‑､''1
際4職鍾瀬揮繧蕊撫窪索窪｡』E毎》鍵錘； べｸﾄﾙの内積とその応尉 ／20
