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定理の逆は成立しません．

反例f(t)=t3とするとf'(t)=3t2なのでf'(0)=0からt=0は

fの停留点である．任意の(I>0に対して

‑6<t<0→f(t)<0=f(0)

であるので

−5<t<J今f(t)≧f(0)=0

を満たす正数6>0は存在しません．従ってfはt=0で極小で はありません．

他方，任意の6>0に対して

0<t<(i→f(0)=0<f(t)

であるので

‑6<t<(i→f(t)≦f(0)=0

を満たす正数6＞0は存在しません．従ってfはt=0で極大で

はありません．

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ならばfはt三毛で極小;(resp:麺犬韮とな灘ます＆

この定理も最終的には証明します． 、叫具ck…Iﾝ

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R2の開集合(ﾉ上の関数

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f: U→R ×

がUの各点PEUでx,yについて偏微分できると仮定します．

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&(a,b)蕊ｳ(a,b)ixQ (1)

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fは極大でも極小でもないことが分かり ます．

から(0,0)で

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October04, 2017

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月(≠5)に垂直な平面αを考えます． αの任意の点P

−→

一→

点lゾ0を通り

に対して ↓︑ P。？

が成立します. Poの座標が(>Q,yO,zo), l=)の座標が(x,y,z),

一へ

キマ fもP （ ,L−p(P そ−−莚。 3．−3。

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であるとき，上の条件は座標を用いると

p(x‑xo)+9(y‑yO)+r(z‑zO)=0

となります

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曙母嚥母唱･;｡:｡:｡:‑誰｡:｡:｡:.:.:.:.:.:.:‑r･;.:.:身･謁一:.:.E‑9f･昌一詫今託‑E‑Eo詩.:

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2変数関数

z=f(x,y)

に対してxの関数

F(x) :=f(x)b)

を考えて, (a,b)におけるxに関する 偏微分係数

毛八筐h耐

f(a,b)=F'(a)

を定義します．

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の(a,b,f(a,b))における接平面を求め

ます．そのために

z=A(x‑a)+B(y‑b)+f(a,b) (1)

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の係数A,Bを求めます．

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接平面と切断面y=bとの交わりは，切断面の上ではz=F(x) のX=aにおける接線となります． さらに(1)にy=bを代入し て切断面y=b上に制限すると

z=A(x‑a)+f(a;b)

となります． これからこの直線の傾きがAであることが分かり，

A=F'(a)=

であることが分かります．同様に

f(a,b)

4(a,b)

B=

となりますから，結局，接平面は方程式

z=&(a)b)(x‑a)+@(a,b)(y‑b)+f(a,b)

で表されます．

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関数

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を(x,y)=(a,b)=(104,625)の周りで考えます．関数fの偏導関

数は

f(x,y)=3x‑;yi, 4(x,y)=x:y‑:

となりますから，偏微分係数は

f<(104,625)=1.5, 5,(104,625)=8

と計算されます．従って(x,y)=(104,625)における接平面は z=1.5(x̲104)+8(y‑625)+2.0×104

であることが分かります．

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