PDF 8α ノ ＋十 33 - Keio

j･ :L)−ぅ (R

1， ^oEU乙、，

j $､、 テ烏LT((I、 宿（

一

)今丁火侭）二かけ(PC)=o

2019年4月15日小テスト解答

／ ^、

I関数

坤,!/) :＝z2−zI/+I/2‑8"+6!/

幸一一 の停留点を求めましょう

（

、 ノ

ＮＰｒ

３３ ８α ＋十 ｘｘ ｑＱ

P ｛

解答

６十０＋００

毛斗謝犀 ０８＋＋ ＋−１ｙ

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4‑e‑<̲.幸。キ

D=

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︽一︹一

〆Ｈ０

今

￨，

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｛

1

1 1

をクラメールの公式で解くと

2

−1 y=1‑FF 2

−1

８毛一丑２

8 −1

−6 2 匹一《

‑I JL

I

、

z＝二

=3 o

吾

う︑３ ４３

＝＝

2−−1

−1 2

となりますから, ノの停留点は(",y)=(¥,‑;)です．

注意さらに学習を進めるとノはR2上(",y)=(f,‑;)で最小値をとること， より詳しくは

沖｡鯏>'(¥｡‑;） （("'≠(¥,‑;)）

を示すことができます．

〆

ⅡI関数

f("'@/) :="2‑4"!/+6@/2+鰯‑21/

ーー の停留点を求めましょう

（

、 ^ノ

解答

十

﹂ ０＋１十０＋９

斗望毎軒

たん

すなわち

,訂 ' ｜

｛

1

2斗−16=3¥o

>o

一一

・・ −−−う

蒔雷

伶

一罪RI ,

︽私

Ｆ １

﹄

雲１も

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をクラメールの公式で解くと 升

倒 一 一 一 ８

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９割｜剴

Iう!L2−，

2

−4

−1 2

範＝＝ y=

』舌 8

２斗

となりますから, fの停留点は(",y)=(‑;,0)です．

2

Ｆ

画 極大（小）の必要条件（補足）

NobuyukiTOSE

April22! 2019

｜ 極大(小)の必要条件(補足） 1／7

fllnIｮLﾊ, ,J， T諾E

一

一 一

一

︑

一

F−

《 Q

心

，

極大・極小の十分条件(1変数の場合）

定理（復習）

各点で微分可能なf: la,bl→RがcE1a,b{で極大（または極小）ならば f'(c)=0

り

f(c)が極小値である

今ヨガ＞0が存在して

ナ(C

c‑6<t<c+6 → f(t)≧f(c)

、

t

誇少

｜ c−5c c

｜ 極大(小）の必要条件(補足） Z／7 IIdlhu塊hr I ･蹄F

定理の逆は成立するか？

定理の逆は成立しません．

灘讐夛撚剰{?縦なのでf'(0)=0から【=0I

‑5<t<0→f(t)<0=f(0)

であるので

‑6<t<6→f(t)≧f(0)=0

を満たす正数6＞0は存在しません．従ってfはt=0で極小で せん．

他方，任意のJ>0に対して

0<t<6→f(0)=0<f(t)

であるので

‑6<t<6→f(t)≦f(0)=0

を満たす正数6＞0は存在しません．従ってfはt=0で極大で せん．

ま

は

はあり

ヨノ7 」

極大（小〉の必要条件（補足）

rl l, ' 1 ,1'苧T･堅

極大・極小の十分条件

定理

f:1a,b[→Rが1a,b[の各点で微分可能, f'も]a,b[の各点で微分可能とし ます． さらにf"が]a,blの各点で連続とします・ このときt=cE]a,b{

において

f'(c)=0, f"(c)>0 (resPf"(c)<0)

ならばfはt:=Cで極小(resp.極大） となります．

f"(c)>0 (resp.極大）

この定理も最終的には証明します．

極大(小>の必要条件(補足） 4／7

rII凹酬llL 1

｜

極大点・極小点であることの必要条件（復習）

(̲r‑

R2の開集合U上の関数

f: U→R

がUの各点PEUでx,yについて偏微分できると仮定します．

。

一

Theorem

fがPo(a,b)E〃で極小（極大）ならば

f(a,b)=@(a,b)=0 (1)

が成立します．

この状況で(1)を満たす点Po(a,b)をfの停留点と呼びます．

極大(小)の必要条件(補^足） E/7

IIMqlpV,pI1 T f，

■

例一停留点であることは極大・極小の十分条件ではない

f(x,y)=x2̲y2

を考えましょう．

f<(x,y)=2x=0, り(x,y)=‑2y=0 からfの停留点は(×,y)=(0,0)です．

f(x,0)=x2, f(0,y)=̲y2

から(0,0)でfは極大でも極小でもないことが分かります．

｜ 極大(小）の必要条件(補足） 日／7

F,hIp｢曲ﾛ' '1 1

極大極小の十分条件

定理

R2の開集合(ﾉ上のC2級関数f: U→Rに対してPo(a,b)EUが停留点

であるとします．

4(Po)=4(Po)=0

(') ￨捌洲>0,fx(Po)>0(『雪pfx(Po)<0)

であるならばPoでfは極小(resp極大） となります．

(2) ￨捌洲￨<…ば'は順憾P・で'峰腫…極大でも

りません。

ー 罰 ■

今後当分の間この定理の証明をしながらいろんなことを学びます

極大(小)の必要条件(補足） ^7／7

N向Iﾄ,』 ， ￨k TCSE

ノ X

へ

／

好ぅf出1

看圃ﾐ､l‑,‑(Tﾏ､! ､

。 L

接平面(TangentPIane)

L

NobuyukiTOSE

October04,2017

接平面 (晒輻色刷1F胎竹色） ユ／zロ

F l h叩, !Ⅱ, ･ THbz

平面の方程式

点Poを通り同(≠0)に垂直な平面αを考えます.αの任意の点Pに対して

月F5f=0

が成立します. Poの座標が(xO,yO,zO), Pの座標が(x,y,z),

→

〃＝二

であるので，上の条件は座標を用いると

p(x‑xb)+9(y‑yb)+r(z‑zb)=0

接平面(ThngentPIane) 理／麺

rlInl』n0L 1 5

TheEquationofoplano

月のことを平面の法線ベクトル(normalvector)と呼びます．

→

イコ剖

｜ 接平面(1bngentPlane) 3/2n

1 1 トd, 、u T3用

具体例

x+y‑2z=2

について考えます．通る点を具体的に求めます．

(2,0,0）

(0,2,0）

(0,0,‑1）

x切片

y切片

z切片

;こと=o

え=E=O

>LごLI=。

X‑Sﾏﾚいe'へ℃

(2,0,0)を通ることから ^一

‑ 2z

− 2．0 +y

＋ 0

X

‑） 2

(×−2) +y‑ 2z =0

すなわち

(12)(xZ2)=0

接平面(ThngentPlane) ^4／20

F l I1 lfL,hllT噂唱

ｊ

Ｐｏ６ト

ー

﹃

﹄

﹁仏叩

|n

r=0の場合万はx−y平面に平行になり，平面αはx−y平面に垂直に

なります．

r=0 今 斤￨ ￨x‑y平面， a−Lx−y平面

(;）

(;）

0 >腱榊

っ〔−1平勵

ヨ／和 接平面(TangentPiane)

卜101｣， ， , 〈 TC5

偏微分（復習）

2変数関数

z=f(X,y)

に対してxの関数

F(×) :=f(×,b)

cﾊｰ｡SS‑ﾉ､冬加 ､‑、

亡ハ敵風

を考えて, (a,b)におけるxに関する

偏微分係数

f(a,b)=F'(a)

を定義します．

接平面

へ

化岨乱丁"[qie.)

（0

｢' ￨ph｢J plト ^ロ ４１︑

−I

fko,､

−−

／

／

／

〈X

〆

3

／

／

ノ

／

／

％ ^〜 6

>[−ユや

ぐq(唱岸）

１１１ 》＝も

） q｛fヘ

主

X=A −−今〉L

r/(q!f

/ さ) A

）

Z｡ j‑(x,1)

2‑ A (x‑o,）

+G(1‑e)

‑+r(q(

一一一一

一 一

〜

一

〆

一

、 〆

〆

〜

−−

／

〜 イ

〜 イ −−4

＼さ

、

、

ガニf戸

(q! -e)

辞嗣

，（〜

〜

睦h脇

：＝仏

2=h(又〜α） 十ナ｢Q, f") <迄，証

j,ハ

↑し

１１

I

α

−今

天

TangentPlane

関数f(x,y)のグラフ z=f(x,y)

の(a,6,f(a,b))における接平面を求め

ます．そのために

z=A(x‑a)+B(y‑b)+f(a,b) (1)

の係数A,Bを求めます．

接平面(TbngentPlane) 7／誼 ' 1JI．h」 ， 1.回q吾

(2)

TangentPlane

接平面と切断面y=bとの交わりは，切断面の上ではz=F(×)の×＝a における接線となります． さらに(1)にy=bを代入して切断面y=b上

に制限すると

z=A(x‑a)+f(a,b)

となります． これからこの直線の傾きがAであることが分かり，

A=F'(a)=4(a,b)

であることが分かります．同様に

B=#(a,b) となりますから，結局，接平面は方程式

z=f(a,b)(x‑a)+6(a,b)(y‑b)+f(a,b)

で表されます．

'･ ￨ ,ld"A寸口喋 接平面(ThngentPIane) =…■

鴇や心 (cireノ "ci!f､） ）ミ心｛

P (〆〜G)十:(3‑8)十卜(そ−j‑(ci,6))=O

ﾔｰ弐○ 才

菫いぞ

(二三

('[‑Mzm≦郭、=t(3TZA$ ）

−2＝

A(x‑G)+B(3−も)+j‑<c'!6)

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弘一卜Ｐ一ト

ー 〜

A=rx⑲(e)

〆−−う

(3= j‑6(Q'e)

そ＝オ漣[cII6)(>[‑e､）ヤオけ(q(f)(3‑G1 十才(q(6)

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︑ 一 八

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罐間オユがx｢tjl=Axj;G

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例

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３４

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数し 関を

一

(to<)/=cY ‑t〆−

となりますから，偏微分係数は −−

625)=1.5, 4(104,625)=8−、

(×,y)=(104,625)における接平面は ー

『−3

23 8

̲104)+8(y‑625)+2.0×104

ずﾉ

、、 ﾛ／コロ 接平面(1bngentPlane)

、

1<;‑1 . F− 一一二 1 ，F

〜 一

午

2、。×(D

一 一

夕一ｍ ０４Ｌ

一

二 一

l

限界生産物(MarginaIProduCts)

資本(Capital)の投入量がK,労働(labor)の投入量がLの生産関数 Q=f(K,L)

を考えます． このとき(K,L)=(KO,LO)の周りでQは接平面を用いて

一−5ミル<(Kb,L･)(K‑KO)十凡(Kb,Lo)(L‑Lo)+f(K6,L･）

=fk(Kb,Lo)4K+fi(KO,LO)AL+f(Kb,Lo)

︑一一

従って

Q禽増5

AQ=Q‑QO=f(K,L)‑f(kb,Lo)

‑fi<(kb,Lo)AK+li(kb,Lo)AL

… 次迩似と呼び議すル

｜ 接平面(T冒亟面Ip扉臣) 三一 と近似します

10/zO

￨ ･ l IT'ﾛ』ぐ1

｜

限界生産物(MarginalProduCts)

L

AL=0すなわちL=L0のとき

AQ=f(Kb+AK,Lo)‑f(kb,Lo)毎斤〈(Kb,Lo).AKL､。

が成立します． このとき

に ￨＜

l<D MPK=Fk(kb,Lo)

を(K,L)､kb,Lo)における資本の限界生産物(MarginalProductof Capital) (MPK)と呼びます．

接平面（Ta哩邑ntPjane） u／2p hMl．! !ⅥMT〔忠

■

限界生産物(MarginalProducts)

具体的にCobb‑Douglass型の生産関数

3 1

Q=F(K,L)=4K瓦F

を(K,L)=(Kb,Lo)=(104,625)の周りで考えます．

Fk(K,L)=44K :L:=3Kh:

FL(K,L)､K‑:L:=k‑:L:

と偏導関数を計算します。

(t")'=o4t"‑'

皿／2p

接平面(TangentPIane) 11,池,』b ， , !， ｜ 弧

ロ■

限界生産物(MarginalProducts)

(Kb,LO)における資本の限界生産物(MPK)と労働の限界生産物 aIProductofLabor) (MPL)は

MPK=F#,)‑¥='｡

） MPL=F'(Kb,L,)‑¥=@

このとき

となります． さらにQ=F(104+100,625)=20,149.813…の値の近

似を

F(104+100,625)〜F(104,625)+Fk(104,625) 100

＝20，000＋1．5×100＝20，150 と計算します．

接平面(耐刷gentPlane) ^画／コロ

1 1 卜, ! , ﾉﾛ， T酸

曲線の接線

曲線Cが2変数関数gを用いて

g(x,y)=0 と与えられているとします．例えば単位円は

g(x,y) :=x2+y2‑1=0

と表されます. C上の点Po(a,b)が与えられているときに, CのPo(a,b)

における接線を求めます．

14／和 接平面(ThngentPIane)

1』,1IbLaD山下 1t

工 い(/ <jイモコツ、

急こ良二｜

受 う患T墓言 虻,司萱乏私‑訂

くつヲ誰一(しミ内《 ろう 瓦

今

弓 繭Ｑ や

平

金ウ乳

牛 弄 る 丁ｈ在

一

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２

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乞