そして、この分布関数・密度関数の上に対数項などを含めることができます。説明変数をベクトル xi とします。同様に、観測変数が 0 である確率。
Logit モデル
(マクファーデン、1974)。この確率を利用したモデルが条件付き選択モデルです（条件付きにすると、選択肢 j が選択される確率の変動は で表せます。第一項は他の選択肢 k から得られる効用が小さくなる確率です）。 。
これを aj に関して積分することで選択肢 j が選択される確率が求まるため、項選択モデルの一種とみなされることもありますが、選択肢の属性を考慮するかどうかが異なります。多項ロジットモデルの場合、選択肢属性は説明変数として含まれないため、選択肢と呼ばれます。
最近のアプリケーションでは、選択を行う人の属性も説明変数として含む、より一般的なモデルが使用されています。したがって、2 つの選択肢 j と h を選択する相対確率は P(yi=j|xi) となります。
推定の評価
これはモデルです。多項プロビットモデルは単純なプロビットモデルを単純に拡張したもののように見えますが、J次の多変量正規分布に基づく確率関数は高次の積分を含むため複雑であり、実際に実装するのは非常に困難です。従来の最尤推定法では、5つ以上の選択肢による推定は事実上不可能と言われています。確率的選択モデルは使用価値を潜在変数として受け入れるため、経済的厚生を評価することが可能です。ある選択肢の特性が変化した場合、それに伴う選択肢の変化を考慮することで経済的厚生を評価することが理論的には可能であり、補償された変動がよく用いられます。言い換えれば、オプションの性質が変化した後、変化前の最大効用レベルに達するために必要な収入額を計算することができる。もちろん、オプションの性質の変化だけでなく、収入の変化も選択肢を変え、最大化される効用のレベルを変えるため、評価は必ずしも容易ではありません。 。
最尤推定は、尤度関数が正しく指定されていれば一貫性がありますが、そうでない場合は推定結果が疑わしいものになります。推定結果に疑問を与える要因は、最小二乗法の場合とほぼ同様です。ここで考えられる問題をいくつか見てみましょう。 Stock と Watson (2006) は、最小二乗推定値が矛盾する (内部) 状況を考慮しています。ここで考慮されるモデルでは、誤差項が独立して同じ分布に従うと仮定して、最尤推定が実行されます。
以下の条件を使用します。この条件は E(ui|xi) = 0 を意味するため、誤差項と説明変数の相関関係が問題になります。したがって、離散選択モデルであっても、説明変数と誤差項（潜在変数に関係する）との相関関係に注意する必要があり、問題となりやすい状況は最小二乗推定の場合と大きく変わりません。最小二乗推定で直交性条件が満たされず、内部妥当性がない場合、解決策は適切な操作変数を見つけて 2 ステップの最小二乗法を実行することです。離散選択モデルでは、2 段階最小二乗法をそのまま適用することはできず、原因に応じて異なる方法が提案されています。これらの方法の中には、見落とされた原因を数学的に明示的に表現し、最尤推定を使用して追加のパラメーターを推定するものもあります。たとえば、省略された変数がある場合、無視された不均一性を表す誤差項にそれを追加し、不均一性の分布を考慮してパラメータを推定する方法があります。
Stata code
(妥当性がない状況) として、変数の省略、関数形式の指定の誤り、変数の誤り、サンプルの選択、および同時因果関係が挙げられました。どちらの場合も、誤差項と説明変数の間に相関関係があり、一貫性が失われます。 Wooldridge 2002、ch 15.7.1)。説明変数に逆の因果関係がある場合には、連立方程式を明示的に考慮して尤度関数を構築することで問題を解決できる可能性があります (Wooldridge 2002, ch. 15.7.2-3)。操作変数法を応用した推定手法も提案されており、サンプルがパネル構造であれば個別効果を考慮した推定手法も可能です。尤度関数が複雑になりすぎる場合には、シミュレーションによる推定（最大シミュレート尤度）も使用されます。 。
Tobit モデル
- Tobit モデルの使いみち
- Type I Tobit
- 打ち切りデータ
- サンプル・セレクション・モデル
- Stata code
標準 Tobit モデルによって推定される係数 β は、説明変数 xi のうち対応する変数が 1 単位増加したときの潜在変数 y∗i の期待値の増加を表します。通常の最小二乗推定では、これは被説明変数 yi の期待値の増分ですが、Tobit モデルではそうではありません。 。
2もちろん、潜在変数の期待値は E[yi∗|xi] =xiβ です。標準の Tobit モデルと同様に、係数 β は、潜在変数 yi∗ の動きを特徴付けるパラメーターです。はいと言いましょう。ここでパターンの選択が行われ、選択変数は です。
これは問題であると言えます。 λ(ziγ) は変数として観測されませんが、正規分布に従う場合、プロビット推定ではヘックマンの 2 段階推定の第 2 段階で従属変数の観測値が使用されます。
Heckman の 2 段階推定器はプロビット推定と最小二乗推定を組み合わせたものですが、選択した変数には誤差項が含まれます。
