PDF 1 3c･(1)=大ユキザー{=o - Keio

侭 1 3c･("1)=大ユキザー{=o

陰関数の微分

曲線cが(a,b)の近く̲ﾆ亘‑‑2凶̲堂表されていて, gj,(a,

するとします． このとき(a,b)における接線は

:"(x‑｡)+,

y=‑

となりますから，接線の傾きを考えて

や'(a)=‑

ア、 '

"=FこうLL

〃

;2 ^＝

1−工込

g)<(a,b) gy(a,b)

であることが分かります．例えば曲線(単位円)g(x,y)=x2+y2̲1=0 をb>0を満たす(3,b)で考えると，曲線は直接的には

y=<P(x)='/1‑x2

と表されますが，

＄,f＝仏)皇

"'(3)‑‑::‑‑:

3，1＝23． ／

が成立することが分かります．

ノ 〆 〆

接平面（Tｮ哩是ntPlane）

NrLI』l』'川h』 T 19／20

●

穂 昂駐＄,じくqte‑)Of‑‑｡ )十

A '3

へ‑ろ 表6

ェ ： 夷A

CW‑c､ 二？C

l

R(Lcx｢;)

'S;f

心!（ コフ甑・ 9．0、3x竃 し(cx,1ﾉー

限界代替率(MarginalRateofSubstitution(MRS))

消費者が商品A,Bをそれぞれx,y購入するときの効用が効用関数u(x,

で与えられるとします．

このとき

u(x,y)=u(a,b)

を(a,b)を通る無差別曲線(IndifFerenceCurve) と呼びます． このと (a,6)における限界代替率(MarginaIRateofSubStitution) を

華，異そ‑唖ぞ､い）

MRS=

淵e維恥､U) "

MRS=

と定義します. Aの購入量をaから微小量△xだけ効用一定の下で（無差 別曲線に沿って）増加させると,MRS×△xだけBを減少させることに なります．

）

｜ 桂平面(Thng已制tFI印e】 和JZロ 1 1当I,F dIhTQ5E

…6十｡;）^'

○入

､HRS.△入

し(ｸL(q(f)

以V(q(el

。；

一一

:,ecqe･)Qc〜c4,+;;(ci(a) (W 61･=。

2019年5月6日小テスト解答

〕

（

ｔ 二凶Ｉ邸 １−３｜へこいＵ

三１１二 １１／０４ユ−し

〆江 メー疋 七 卜

〃

１３１３０

１ｊｙｊｌ ｊｌ

鰯司１

伽 ｙ

Ｕ﹀／１Ｋ

１２９９〃

一一１−３

野︑ノ己１

〃ィ上 ９１−２１節

一一式

〃

︶

鯵Ｉ

錘９

＝ 守

仁 >

く

解答 凶−1

とすると

１−３｜へ二

ｌ

から求める方程式は

)上邪

であることが分かります．

／

￨参考問題曲線"2‑｣=0の点(',')における嬢線の方程式を求めましょう

、廷

ノ ノ

解答

9(",IJ)="l/2‑1

とすると

9麺(釘,l/)=z/2, 99(",z/)=2"@/

となります．従って

9錘(1,1)＝1， 9，(1,1)＝2

から求める方程式は

1． (釘−1)+2･ (I/‑1)=0

であることが分かります

、

／

I1以下の2次正方行列の積を計算しましよう．

(; ?)(: :) "'(: :)(淵) ")(: :)(螺 ）

(1)

(鼎)(: :) ") 辰:爵)(蓋:厩:爵）

(4)

(蓋:謡,)(蓋:謡,）

(6)

ノ

、

、

解答

18

x)

ーヘ

ユ

X=(葛を〕 ^＝巴

（ ｑｑ

Ｂも

）

×言一

(員 )e',言･P哩蓉

−一

P!

一 一

（ １２

６６

︐昨どＰ延

十十

ｑｑ ｌｌ

一一

可

一一

1

行列の積の基本性質

線型性 ^x(

緬二芽詳×す, x餌ﾆミ

」

↓ｑ↓６Ｘｊ２＋

扣布

他一一↓肋＋↓句座

頂恥いｊ

ｐｒＩｐ↓ｂ一一

面剴岬脚恥噂Ｌ 嘱聯蝿

５Ｓ″Ｈ ＬＬ

一 ⁻

I

ae IR^恥

｜

6／'5 2次正宏行列(No.1)

F･ 1肘UlbAT,悪

行列の積の基本性質(2)

線型性(2)

ﾉﾙﾏ)=Mxp +"(x3) x(入β

昂す）

L

＝入(xp)+"(x3)

2次正方行列イN⑥'1J ロ／15

￨山h型hluL‑lTn5E

=(r@)

X ^× (;R s IR､

含ひ!a,U"e ('ミュ

→

Y−旦哩ミーダ

><Y =>くげマ) =(×下×菅） 2ごえ域1執！ I

結合法則(1)

→

2次正方行列x=(3b),Y=(βす),5=

X(YE)=(>

(引に対して

／ 訓刃伽 し）

LHs=X(c'p+璽可)a,(xD)+c2(W)

電

=(XpX5)E=(XY)5

×

2戎正雷行列(ND.1) 1回/巧 fiIﾛﾋﾄﾄ｢Y杣山 T画司

×／ ､r' 2)<2 /‑ ， 〉く､く 《L》ぐ2

結合法則

結合法則(2)

→

z=(Ed)=

(魂） ^とすると

I

(XY)Z=X(YZ)

2×27〒4（

LHs=(xY)(53)=((xY)E(xY)3) 9(x(Y5)x(Y3))=x(YEY3)

=X(YZ)

品

金刈(

11／1日

2次正方行列イN回.1）

11 , ｜M』h 1

連立1次方程式と行列式

１

；；＃

メユ ａこ ｆ

︑Ⅲｌノ↓０

言二０

州趾 霧椎脂珊

諏ａａＣＸ

程Ｄ方・ 次る １え 立考連を

７つａ １︲ｄ し−

都し虻

− Ｔ

︑ 二

〃 ご 吃 ０ ９

ユ６．

ａＣ

︑一１

〃１ＩＤ

((#)=(ｻ)=ウ

、

'2/'E ￨

2次正寄行列〔N口.1）

H「1 ， ，F 1．D§

?､「cえも

IccI ）‐ （ 入c入。｛

）

連立1次方程式と行列式(2)

逆の対偶

、

／

、

これを示すために

−−

(: :)(r)‑d, (: :)(4)

(:言)(きく一員）＝ （

→

=二0^●

I

cえd〜6〔‑）

）

に注意する． ^一一

鱈ノ15 、一一

2次正方行列佃回.1）

I45L山ljhJ ・『CgE

11

○ 2

連立1次方程式と行列式(3)

(i)a≠00Rb≠0のとき

(: :)(ず)‑5AN｡ (r)

(ii)c≠OORd≠0のとき

(: :)(4)‑dAN｡ (4)

(iii)NOT(i)ANDNOT(l i)‑a=b=c=d=0

（: :)(；)=6((；)≠ウ

→

≠0

一】

(:：

{､jI1E(『、

︶私﹁︒

'4／輻

MlI LIb泥I垂 2次正方行列(N･.1)

連立1次方程式と行列式(4)

定理

｡=￨: :'ず｡ ‑ ((: :)C)‑d‑(#)=6)

A‐(") ("'1&￨

C今

邸も 2毛鰔'1T‑l(I×いシ､j( ,‐

／ FiX=XA

I載れ

￨ 工次正方行列伽d−I｝ 五J巧 I』 ｜ 山卜Ⅱb 1，$E

、

(函 ）

’

■一二= 吋 訂…蛇一＝ゴー4罰詞皇 閉一跨哩エー

単位行列(1)

棒津弓､(§),急‑(:) 竜一(;）

標準単位べ外ル ヨー(;)｡ 壷=(1)

吃＝(司壷) ＝(剛に21蕨帆謬

を用いて単位行列

が定義できます． 2列の行列A=(司動)に対して rAQ‑+｢ラHcL{/Ll

ｊｊ ｌＯ０１

１ｊ ↓魂↓鞄 １１ ↓ａ↓ａ くく

↓句↓の ＡＡ

1．司十0

二＝二

0．5，＋1．魂

二＝＝

従って

A/2=(AgiAa)=(司動)=A

ロ 卸 畠＝

■2次正方行列の逆行列･回転行列･直交射影

一︾一一︾

一一季

OqG'

7／22

NobuvukiTOSE

単位行列(2)

眼 ，更‑(茎}≦蕊 脚

ニスlモイ ャ

R2ﾖ扇‑(Z)‑"(:ル(:)

==Xl司+x2&=(gi

2次正方行列B=(b,b2)に対して 足＝《ご己弓)3)｢3

hB=I2(b,b2)=(/hb1らb2)=(b,b2)=B

から，

r3C

3局

･達 藍 ､O"G' 8／22

口 毎 一

12 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

貞 凶 △

NobuyukiTOSE

一

蕊

へ一へ一 ﹃髭再︑︑

や﹁副尺 ︵︺十

句ヤ

Ｏ﹁ａ﹁燭

十

﹁ぞ叩Ｏ○ ろ １ １ｌｒごＩＩ

一 一

︑１−ノ講二︑１Ｊ︑ｊ

一一〃！︑︑１ノＵｌＯｏｏＩｏｏｌ弓ＩＯＯｒＩＩしｒＩＩ社ＣＩＯ川１／ｆＩＩＬら︑ＩｏＯ

ｆＩＬ３１ぅ︑ノ

一一︑ノヘａＪ

﹁も

１一色罰風﹁怠

﹃・匂︐ユ﹁ｐ恥︲〆ｌゞｒ﹂ｌ ﹁︑弓ｆ壱 １一一言︽一ｒｌ ﹃ａ侭﹁ａ﹁乱﹁角三 グし３ 二３ ３８１丁 二１ ３Ｂら Ｉ

BL 33(!

〆行31

I3r3= 13

ー−−L‑− 一牽哩■ー−−−面＝トー…

余因子行列

（: ： ） ）

A=

とする．

(: :)(里 (乳ま)（

１１ ｊｊ ＣＣ ＪＤ︐︑

ＯＦ０−

ｄｌａａ

}ず）

a b

）

c d

ｃｃ ０鉢Ｏ

ｄａ

|A|

･ら

￨A￨ ･ら

：＝＝ :二二

ﾆニニ 二＝＝

Aの余因子行列をA= と定めると

A.A=A.A=￨Al./2

IAIや。

l へ』 − 1

(A ･{A)=Tir! ("A)=IAI

（A ，

IAI , '! ! $ ､ ｣ A）＝ IAI 供A)｡−1A

一

lAI I AI I(IAJ丁暮)｡"．

、言､≦＝二一三一=一〆9/22

■'次正方行列の遡行列回転

NobuyukiTOSE

／ ,

余因子行列(2)

4C

I ^直交射影

LI

,x) 1

余因子行列(2)

C,A）偽氏)㈹

公式

（｛

1‑ T

"Z"

へ 一

A,BEMi(R),入,"ERに対して

(M)B=A(")=入(AB) 入("A)=(M)A

……』竺弩 承＝…鐸…v惹…螺'…『僻 か1 ‑…戸田F1型ド野守宮錘掛… も…出戸多雨…で出血,I顧甲雨＝＆､｡紺 廷山守…鐘 企･ 凶ぺ･…碑…"… 蒋雨雰弄▲F匙郵電凸雫遡澤竺…釦茎…苦…睦玲馨勤･偽,当‑ 砲 ﾑ…, ．…、…』劃為心』 邑琶含鄙一…

を用いると 込一

￨AI=ad‑bc≠，ならばﾊ(向ﾊ)‑(向卿>A‑I@

〆‑ぃ柵, f

口 鄙 字 遙 薑 のQG'

注意

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影 10／22

NobuvukiTOSE

｜ 、

ー＝==冒古=戸一三瘡＝二一国畢空詞=＝全垂二茸＝雫一一一一一一ｰ‑‑−

0 ． ， 、

一

／ 、

(AA)5､入5)=入(A5)

、 ノ

をまず示す．

(M)b=(入司入動)b=b,(入司)+b2(入主）

＝入(燗+")､A5)

従って

(AA)B=(()IA)5,(入A)Bi)=(A()I5,)A(人屋))

=A(A5'入屍)=A(入B)

︸一言一

のαG

11／22

"塗

ロ 匂 一

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

NobuvukiTOSE

公式の証明(2)

MAB)=入(Ab,Ab2)=(入(A6,)入(Ab2))

=(A(A5,)A(人足))=A(入5,入屍）

(2)を示すには

A(入B)

:＝二

／ 、

入("5）

(入")b

、 ノ

を用います．

毒 ^一一一一一 心亀●

12／22

口 毎

2次正方行列の逆行列・回転行列。直交射影 NObuyukiTOSE

ｒ陸卜

−−−−−−−−−−雲一二一‑‑‑‑…‑‑…‑‑‑[｜

正則行列(1)‑定義 x=Gig,)

うざ竜一入（::）

正則行列

AEM2(R)が正則とは

AX=XA=h

を満たすXEM2(R)が存在するときである．

（ず甘>=O1箒LL

一 一

淵矧判哩剰唄判矧墹訓澗個個陛酷侭田剛増畑側副詞訳慰捌閃掴蘭沮司可脚倒

﹁ｂ

一

X(8)=・ヨt｡3

A=(:3)!恥団'l

一一龍 ､守屏＝a基錨で茜雪一瞥 界両−F需辿…マージ竺罫型一用蝕砺唾… 軍可､一再埜零雨料零F=甜餓雨壁鐘 注1．塾』'一…甥睡即土幽 畦で 丙一

注意（逆行列の一意性）

AX=XA=/2, AY=YA=/Z

とすると

X=X/2=X(AY)U(XA)Y=IEY=Y

とX=Yが従う．存在すれば一意的に定まるこの行列をAの逆行列と呼

んでA−'と記します． （(*)において結合則を用いています.）

一一﹃ 一一一一一

､OQG' 13／22

口 毎 一

2次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影

NbbUypkrTOSE一一一 一一1

正則行列(2)

鯉一一牛

(:3)EMb(R)とします. IA￨≠0ならばAは

ハー』一向(乳ず）

−

則で

R

︑１１秒２

望一隣﹃︒：

桐﹃︒一一二劃司り戸し１

〆７１１﹀一一諺塞

味一一︑１︐１Ｊ︑１１ノ︑ＩｌＪＡいｘｕ〃︐ｊ

︾和Ｖ閂︲１１︑Ａ通熱

Ｉ

罫一再界一屯 坪

注意

ｆ

一 Ａ

脂覇

一 一

ロ 鄙

︲Ｆ＃守仰助区

1 NobuvukiTOSE 2次正方行列の逆行列？回転行列・直交射影

2019年5月13日小テスト問題 1以下の2次正方行列Aに対して逆行列Aを求めましょう．

u'A‑(;:) @}A‑(;}) !3'"(1;)

&計凱±上

Ⅱ以下の3次正方行列Aに対してA

III ⑫｣ﾙII 』

(1)A=

）

I111 ⑥』■ :::

）

(4)A=

IIIg(cIW)="2‑1=Oを(",")=(1,1)の近くで解くと

〃=州=方

となります． や′(1)をg"(1,1),gy(1,1)で表して求めましょう．

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