採点基準 数学（文系）

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2022 年度第 1 回京大本番レベル模試

採点基準 数学（文系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（150点満点）

第1問 (30点満点)

 {S }_n の階差をとって考える方針に5点

 a_{n 1+} -a₁ =n a( _{n 1+} -a_n) (n=1 2 3, , ,)を導いて 5点

 上記の式の左辺を{a_n}の階差の和として表して5点

 {a_n}の階差数列が定数数列となることを示し，証明を完了して15点

第2問 (30点満点)





OG

を

  

a, ,b c

で表して3点





OP =p a

 

,OQ =q b

 

,OR =r c



のような設定の下で，

  

GP ,GQ ,GR

を

  

a, ,b c で表 して6点(各2点)





NM ^



GP

からpの値を求めて5点





NM ^



GQ

からqの値を求めて5点





NM ^



GR

からrの値を求めて5点

 残りの計算と答えに6点

第3問 (30点満点)

 2023ⁿ =17ⁿ⋅(7ⁿ⋅17ⁿ)を導いて2点

 自然数xと2023ⁿの最大公約数が17ⁿであるための条件を述べて5点

 Nが7ⁿ⋅17ⁿ以下の自然数x¢で7ⁿ⋅17ⁿと互いに素であるものの個数であることを示して7点

 上記の自然数x¢と7ⁿ⋅17ⁿが互いに素であるための条件を述べて5点

 7ⁿ⋅17ⁿ以下の自然数で，7または17で割り切れるものの個数を求めて7点

 Nを求める計算と答えに4点

2/4 第4問 (30点満点)

 Lの方程式を絶対値を外した形で示して3点(各1点)

 CとL(2つの半直線および1つの線分)が接する条件を，2次方程式の重解条件に置き換え，そ れぞれの判別式と重解の範囲の式を立てて12点(各4点)

 b=kを導いて2点

 a c, の値を求めて2点

 上記で求めたa b c, , が重解の範囲を満たすことを示して2点

 CとLの図示に3点

 面積を求める計算と答えに6点

第5問 (30点満点)

 この操作が1回目で終了する確率を求めて3点

 n (≧2)回目で終了する2つの互いに排反な場合を述べて6点

(n-1回目までに白玉のみの場合2点，白玉n-2回，青玉1回の場合4点)

 p_nを求める立式が正しくできて10点

 p_nを求め，n=1のときも成り立つことを述べて 4点

 p_{n 1+} -p_nを大小関係が比較できるまで変形できて4点

 答えに3点

3/4

【理系】（200点満点）

第1問 (30点満点) 問1 (配点15点)

 ^{dx dy dy},

,

dq dq dx^{を求めて4点} dx dy, 1 ,dy dq dq dx 2

æ ö÷

ç ÷

ç ÷

çè

^{に各 点 に 点}

ø

 Pにおける接線の方程式を求めて3点

 A,Bの座標を求めて2点(各1点)

 ( ) ( ), n 2

S S q

q q ^{- をそれぞれ求めて4点(各2点)}

 残りの証明に2点 問2 (配点15点)

 L( ), ( ) , ( ( ) )p L p i E L p i を順に求めて7点(L( ), ( )p L p iに各 点2

,

E L( ( ) )p i に3点)

 L i( ), ( ) , ( ( ) )L i i E L i i を順に求めて8点(L i( )に3点, ( )L i iに2 点, ( ( ) )E L i i に3 点₎

第2問 (30点満点)





OG

を

  

a, ,b c

で表して3点





OP =p a

 

,OQ =q b

 

,OR =r c



のような設定の下で，

  

GP ,GQ ,GR

を

  

a, ,b c で表 して6点(各2点)





NM ^



GP

からpの値を求めて5点





NM ^



GQ

からqの値を求めて5点





NM ^



GR

からrの値を求めて5点

 残りの計算と答えに6点

第3問 (35点満点)

 2023ⁿ =17ⁿ⋅(7ⁿ⋅17ⁿ)を導いて2点

 自然数xと2023ⁿの最大公約数が17ⁿであるための条件を述べて5点

 Nが7ⁿ⋅17ⁿ以下の自然数x¢_で7ⁿ⋅17ⁿと互いに素であるものの個数であることを示して7点

 上記の自然数x¢と7ⁿ⋅17ⁿが互いに素であるための条件を述べて5点

 7ⁿ⋅17ⁿ以下の自然数で，7または17で割り切れるものの個数を求めて7点

 Nを求める計算と答えに4点

 log lim

n

N n

¥ を求める計算と答えに5点

4/4 第4問 (35点満点)

(1) (配点15点)

 du

u¢ =

æ ç ç çè

dt

ö÷ ÷ ÷ ø

^{を求め，uの増減を調べて7点}

 u¢¢ >0からCが下に凸であることを示して4点

 Cの概形に4点 (2) (配点20点)

 ^x 1

= 2

e

が条件の等式を満たすことを述べて6点

 ^x 1

= 2

e

から

x

の1つの値を求めて2点

 式変形により ^x 1

= 4

e

が条件の等式を満たすことを述べて8点

 ^x 1

= 4

e

から

x

の1つの値を求めて2点

 条件を満たす

x

が上記の2つに限ることを述べて2点

第5問 (35点満点)

 球が入っている箱の個数と確率の推移を示して6点

 球が入っている箱の個数はnの偶奇によることを述べて 5点

 nが奇数のとき，p = q = 0_{n n} であることを述べて2点

 nが偶数のとき，n=2mとし，p_n,q_nをそれぞれP_m,Q_mのようにおいて，{P_m},{Q_m}に関 する漸化式を立てて6点(各3点)

 上記のP_m,Q_mに対しP Q₁,₁の値を述べて2点

 {P_m},{Q_m}の一般項を求めて12点

 答えに2点

第6問 (35点満点)



x

₁

, , x

₂

 , x

_nに正の数と負の数があることを述べて2点



x

₁

, , x

₂

 , x

_n^を0以上の項と負の項に分けて，それらの和としての表現(解答解説の①，②) に直して10点(各5点)



x

₁

, , x

₂

 , x

_n^の0以上の項の和，負の項の和が

1

2

^{となることを示して5点}



x

₁

, , x

₂

 , x

_n^の0以上の項のそれぞれの係数を含めた和の評価(解答解説の④)に6点



x

₁

, , x

₂

 , x

_nの負の項のそれぞれの係数を含めた和の評価(解答解説の⑤)に6点

 残りの証明に6点