次の問いに答えなさい
A O B P
T
1 cm 2 cm
PT
は接線問い
⑴
∠ OTP, ∠ ATB
の大きさをそれぞれ求めな さい。⑵
PT
の長さを求めなさい。⑶
△ ATP ∽ △ TBP
を証明しなさい。⑷
AT
の長さを求めなさい。⑴
∠ OTP, ∠ ATB
の大きさ？PT
は接線なので∠ OTP = 90
◦AB
は直径なので∠ ATB = 90
◦A O B P
T
1 cm
2 cm
⑴
∠ OTP, ∠ ATB
の大きさ？PT
は接線なので∠ OTP = 90
◦AB
は直径なので∠ ATB = 90
◦A O B P
T
1 cm
2 cm
⑴
∠ OTP, ∠ ATB
の大きさ？PT
は接線なので∠ OTP = 90
◦AB
は直径なので∠ ATB = 90
◦A O B P
T
1 cm
2 cm
⑵
PT
の長さを求めなさいOT
は半径なので1 cm
だから、 三平方の定理を使って1
2+ PT
2= 3
2PT
2= 8
PT>0 より
PT = √ 8 PT = 2 √
2
A O B P
T
1 cm
2 cm 1 cm
⑵
PT
の長さを求めなさいOT
は半径なので1 cm
だから、三平方の定理を使って
1
2+ PT
2= 3
2PT
2= 8
PT>0 より
PT = √ 8 PT = 2 √
2
A O B P
T
1 cm
2 cm 1 cm
⑶
△ ATP ∽ △ TBP
を証明しなさい⑴
,
⑵,
⑶,
… のような問題は⑴を使って⑵を解く
⑵を使って⑶を解く
A O B P
T
1 cm4 cm
2 cm 2√
2 cm
場合があるので、⑵で
PT = 2 √
2
を答えさせた ことを考えると、三角形の相似条件 web の2
組の辺の比が等しく、その間の角度が等しい が使えそう。⑶
△ ATP ∽ △ TBP
を証明しなさい△ATP と △TBP で TP:BP= 2√
2 : 2 =√
2 : 1 一旦停止 AP:TP= 4 : 2√
2 = 2 :√ 2
=√
22 :√
2 =√
2 : 1 一旦停止 よって TP:BP=AP:TP …①
A O B P
T
1 cm4 cm
2 cm 2√
2 cm
⑶
△ ATP ∽ △ TBP
を証明しなさい△ATP と △TBP で TP:BP= 2√
2 : 2 =√
2 : 1 一旦停止 AP:TP= 4 : 2√
2 = 2 :√ 2
=√
22 :√
2 =√
2 : 1 一旦停止 よって TP:BP=AP:TP …①
A O B P
T
1 cm4 cm
2 cm 2√
2 cm
共通な角だから ∠APT=∠TPB …②
①, ②より、2 組の辺の比が等しく、その間の角度が等しい ので △ATP∽△TBP
⑶
△ ATP ∽ △ TBP
の証明（別解）△ATP と △TBP で
∠OTA+∠OTB = 90◦
∠PTB+∠OTB = 90◦ よって ∠OTA=∠PTB …①
A O B P
T
1 cm
2 cm
△OTA は二等辺三角形だから ∠OTA=∠OAT …②
①, ②より ∠OAT=∠PTB …③
⑶
△ ATP ∽ △ TBP
の証明（別解）共通な角だから
∠APT=∠TPB …④
A O B P
T
1 cm
2 cm
③, ④より 2 組の角がそれぞれ等しいので
△ATP∽△TBP 【証明終わり】
⑷
AT
の長さを求めなさい△ATP と △TBP の相似比は √ 2 : 1 なので BT=x とすると AT=√
2x となって三平方の定理より
(√
2x)2+x2 = 22 2x2 +x2 = 4
3x2 = 4
x2 = 4
A O B P
T
1 cm
2 cm 2√
2 cm
⑷
AT
の長さを求めなさいx2 = 4 3
【x >0 より 】
x =
√ 4 3 =
√4
√3 = 2
√3 x = 2×√
√ 3
3×√ 3
x = 2√ 3 3
一旦 停止
A O B P
T
1 cm
2 cm 2√
2 cm
⑷
AT
の長さを求めなさいAT=√
2BT=√
2x だったので
AT=√
2× 2√ 3
3 = 2√ 6 3
A O B P
T
1 cm
2 cm 2√
2 cm
