sin x を微分せよ (sin x)′ を求めよ
(sin x)′ = cos x
暗記すれば受験は突破できるけど、定義を使って 計算してみるぞ！
sin x を微分せよ (sin x)′ を求めよ
結論からかくと
(sin x)′ = cos x
暗記すれば受験は突破できるけど、定義を使って 計算してみるぞ！
公式 lim
x→0
sin x
x = 1 は使ってよいとする。
導関数の定義を復習しよう。
f ′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x) h
sin x を微分しなさい 当てはめると
(sin x)′ = lim
h→0
sin(x+h)−sin x h
一旦 停止
ここで加法定理
sin(●+− ▲) = sin ●cos ▲−+ cos ●sin ▲ から sin(x+h) = sinx cosh+ cos x sin h
当てはめると
(sin x)′ = lim
h→0
sin(x+h)−sin x h
一旦 停止
ここで加法定理
sin(●+− ▲) = sin ●cos ▲−+ cos ●sin ▲ から sin(x+h) = sinx cosh+ cos x sin h
sin x を微分しなさい (sin x)′= lim
h→0
sin(x+h)−sin x h
= lim
h→0
sinx cosh+ cos x sin h−sin x h
= lim
h→0
sinx cosh−sinx+ cosx sin h h
= lim
h→0
sin x(cos h−1) + cosx sin h h
= lim
h→0
sin x(cos h−1) + cos x sinh h
= lim
h→0
(sinx(cos h−1)
h + cos x sin h h
)
= lim
h→0
sin x(cos h−1)
h + lim
h→0
cos x sin h h
sin x を微分しなさい
= lim
h→0
sin x(cos h−1)
h + lim
h→0
cosx sin h h
= sin x lim
h→0
cos h−1
h + cosxlim
h→0
sinh h
一旦 停止
hlim→0
sinh
h = 1 なので cos xlim
h→0
sin h
h = cosx と なる。
次に lim
h→0
cosh−1
h を計算する。
h→ 0 のとき 1−1
0 = 0
0 で不定形になるので 工夫をする必要がある。
hlim→0
cosh−1
h を求める
(cos h−1)(cos h+ 1) h(cos h+ 1)
= cos2 h−12
h(cos h+ 1) sin
2h+cos2h=1 を使う
= − sin2 h·h
h(cos h+ 1)h hlim→0
sinh
h =1 を使いたい
= − sin2 h·h h(cos h+ 1)h
= − sin2 h·h h2(cos h+ 1)
= −h
cos h+ 1
(sin h h
)2
一旦 停止
hlim→0
cosh−1
h を求める
だから lim
h→0
cosh−1 h
= lim
h→0
−h cosh+ 1
(sin h h
)2
= −0 1 + 1
( 1
)2
= 0 一旦停止
全部をまとめると (sin x)′
= sin x lim
h→0
cos h−1
h + cosx lim
h→0
sinh h
= sin x ×0 + cosx ×1
= cosx
sin x を微分しなさい
高校数学の学習内容を総動員する必要があるのが 理解できましたか？
でも自分も高校生の頃は理解できずに暗記してい ただけだから、能力の高い人以外は、深入りしない 方がいいのかも…
