問題
x2 + ax + 2a = a
（ただし a は正の実数）
が異なる実数解を、ちょうど 2 個もつような a の値の範囲を求めなさい。
y = x2 + ax + 2a とおくと y = x + a2 2
− a42 + 2a となるので、グラフは
−a2
− a42 + 2a
または
−a2
− a42 + 2a
| x2 + ax + 2a | = a が異なる 2 個の実数解 だから y = x2 + ax + 2a のグラフは
−a2
a2
4 −2a または
−a2
− a42 + 2a
問題に絶対値が付くので、頂点の y 座標が
< 0, > 0, = 0 で事情がかわるから場合分け！
−a2
− a42 + 2a
または
−a2
− a42 + 2a
− a42 + 2a < 0 のとき
( a > 8 )
−a2
− a42 + 2a
− a42 + 2a < 0
a2
4 − 2a > 0 a2 − 8a > 0 a(a − 8) > 0 a < 0, 8 < a
となるが、
問題の条件に「a は正の実数」と書か れているので a > 8 となる。
−a2
− a42 + 2a
− a42 + 2a < 0
a2
4 − 2a > 0 a2 − 8a > 0 a(a − 8) > 0 a < 0, 8 < a
となるが、問題の条件に「a は正の実数」と書か れているので a > 8 となる。
− a42 + 2a < 0 のとき ( a > 8 )
−a2
a2 4 −2a
y =a
このとき y = |x2 + ax + 2a| のグラフは図のようになる。
−a2
a2 4 −2a
y =a
y = a との交点が 2 個になるに は、左のようになればよい。
− a42 + 2a < 0 のとき ( a > 8 )
−a2
a2 4 −2a
y =a
よって a2
4 − 2a < a なら OK
−a2
a2 4 −2a
y =a
よって a2
4 − 2a < a なら OK a2 − 8a < 4a
a2 − 12a < 0 a(a − 12) < 0 0 < a < 12
− a42 + 2a < 0 のとき ( a > 8 ) a > 8 と 0 < a < 12 より
0 8 12
まとめると 8 < a < 12 ……①
− a42 + 2a > 0 のとき
−a2
− a42 + 2a
y =a
− a42 + 2a > 0
a2
4 − 2a < 0 a2 − 8a < 0 a(a − 8) < 0 0 < a < 8
− a42 + 2a > 0 のとき ( 0 < a < 8 )
−a2
− a42 + 2a
y =a
− a42 + 2a > 0 のとき ( 0 < a < 8 )
−a2
− a42 + 2a
このとき y = |x2 + ax+ 2a| のグラフは図のようになる。
− a42 + 2a > 0 のとき ( 0 < a < 8 )
−a2
− a42 + 2a y =a
だから y = a との交点が 2 個 になるには、左のようになれば よい。
−a2
− a42 + 2a y =a
よって − a42 + 2a < a なら OK
− a42 + 2a > 0 のとき ( 0 < a < 8 )
−a2
− a42 + 2a y =a
よって − a42 + 2a < a なら OK a2
4 − 2a > −a a2 − 8a > −4a a2 − 4a > 0 a (a − 4) > 0 a < 0, 4 < a
0 < a < 8 と a < 0, 4 < a より
0
0 4 8
まとめると 4 < a < 8 ……②
− a42 + 2a = 0 のとき
( a = 8 )
− a42 + 2a = 0 a2 − 8a = 0 a (a − 8) = 0
a = 0, 8
問題に「a は正の実数」とかいてあるので a = 8 のときということになる。
− a42 + 2a = 0 a2 − 8a = 0 a (a − 8) = 0
a = 0, 8
問題に「a は正の実数」とかいてあるので a = 8 のときということになる。
− a42 + 2a = 0 のとき ( a = 8 )
−4
y = 8 16
y = x2 + ax + 2a y = x2 + 8x + 16
y = (x + 4)2
y = (x + 4)2 交点が 2 個になるので
の場合も ……③
8 < a < 12 ……① 4 < a < 8 ……②
a = 8 ……③
① , ② , ③を合わせて
4 < a < 12
