プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）

(1)

方程式を解く x+ 5 = 8

x = 8−5 x = 3

自然数 1, 2,3, 4, …… が使われ始めた？

（20 万年前の人類誕生の頃？）

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(2)

方程式を解く x+ 5 = 8

x = 8−5

x = 3

自然数 1, 2,3, 4, …… が使われ始めた？

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(3)

方程式を解く x+ 5 = 8

x = 8−5 x = 3

自然数 1, 2,3, 4, …… が使われ始めた？

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(4)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = ^{答えなしでは困るので} x = 3−7

x = −4

マイナスの数字を考え出した

（7 ^{世紀頃のインド）}

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(5)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = ^答えなし

では困るので x = 3−7

x = −4

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(6)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = ^{答えなしでは困るので}

x = 3−7 x = −4

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(7)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = −4

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(8)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = −4

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(9)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 7 = 3

x = −4

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(10)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = 0

0 ^{を考え出した（}7 ^{世紀頃のインド）}

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(11)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = ^答えなし

では困るので x = 6−6

x = 0

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(12)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = 6−6 x = 0

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(13)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = 0

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(14)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = 0

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(15)

自然数 ( 1, 2, 3,4, ^…… ) だけだと x+ 6 = 6

x = 0

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(16)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

x = ^{答えなしでは困るので} 2x

2 = 3 2 x = 3

2 (1.5 ^でも OK) 有理数（分数や小数）を考え出した

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(17)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

x = ^答えなし

では困るので 2x

2 = 3 2 x = 3

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(18)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

2x

2 = 3 2 x = 3

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(19)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

2 = 3 2

x = 3

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(20)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

2 = 3 2 x = 3

2 (1.5 ^でも OK)

有理数（分数や小数）を考え出した

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(21)

整数 ( … , −2, −1, 0,1, 2, ^… ) だけだと 2x = 3

2 = 3 2 x = 3

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(22)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

√x² = +

−√ 5 x = +−√

5 ルートの数字 √

2 , √

5 ^や

π= 3.14…… を考え出した（無理数）

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(23)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

x = ^答えなし

では困るので

√x² = +

−√ 5 x = +−√

2 , √

5 ^や

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(24)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

√x² = +

−√ 5 x = +−√

2 , √

5 ^や

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(25)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

√x² = +

−√ 5

x = +−√ 5 ルートの数字 √

2 , √

5 ^や

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(26)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

√x² = +

−√ 5 x = +−√

5

ルートの数字 √

2 , √

5 ^や

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(27)

有理数 ( ¹₂ ^, ¹₃^, ²₃^, ³₇^, ^0.3, ^9.7 など)だけだと x² = 5

√x² = +

−√ 5 x = +−√

2 , √

5 ^や

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(28)

ピタゴラスの「三平方の定理」a²+b²=c²

2 + 3 = ^結婚 , √

2 = ^抹殺… !?

悪魔の数学カルト組織「ピタゴラス教団」の狂気!! ^web

第 16 話ピタゴラス弟子殺害事件無理数 ^web

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(29)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

√x² = +

−√

−2 x = +

−√ 2 i

i²=−1 となる数字を考えだした 虚数 ( imaginary number )

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(30)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

x = ^答えなし

では困るので

√x² = +

−√

−2 x = +

−√ 2 i

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(31)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

√x² = +

−√

−2 x = +

−√ 2 i

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(32)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

√x² = +

−√

−2

x = +

−√ 2 i

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(33)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

√x² = +

−√

−2 x = +

−√ 2 i

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(34)

実数 ( =^有理数+^無理数) だけだと x² = −2

√x² = +

−√

−2 x = +

−√ 2 i

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(35)

数の世界

複素数 実数

虚数

i , 2i , −5i 8−4i , 12 + 7i

など

1 有理数

2, 1 3, 2

3, 7

12,0.72,−12.7 など

√ 無理数 2, √

3, 6√

5, 2 +√

7 など 超越数

π= 3.1415……

e= 2.7182…… など

整数

0,−1,−2,−3,……

自然数

1,2,3,4,……

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(36)

実数は 1 ^次元

O 5

−5

π= 4 3.14^……

− 5

2 √

2

前進、後退しかできない列車と同じ（1 ^次元）

（レールを外れることはできない）

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(37)

複素数は 2 ^次元

O i

−5 5

2

3

3 + 2i

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(38)

(3 + 2i) + (−1 + 2i) = 2 + 4i ^の意味

O i

−5 5

3 + 2i

−1 + 2i

−1 + 2i 2 + 4i

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(39)

(3 + 2i) + (−1 + 2i) = 2 + 4i ^の意味

O i

−5 5

3 + 2i

−1 + 2i

2 + 4i

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(40)

(3 + 2i) + (−1 + 2i) = 2 + 4i ^の意味

O i

−5 5

3 + 2i

−1 + 2i

−1 + 2i 2 + 4i

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(41)

×i ^{の意味とは}

i をかけ算するということは

i (3 + 2i) = 3i+ 2 i²

= 3i+ 2×(−1)

= 3i −2

= −2 + 3i

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(42)

O i

−5 ⁻² 5

3

90^◦

3 + 2i

−2 + 3i

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(43)

O i

−5 ⁻² 5

3

90^◦

3 + 2i

−2 + 3i

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(44)

つまり i をかけ算するということは、複素数平面 上で 90^◦ 回転させるということを意味している。

前進・後退しかできない列車から、前進・後退・ 左折・右折できる自動車になったようなもので、 自由度が UP ^します。

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(45)

つまり i をかけ算するということは、複素数平面 上で 90^◦ 回転させるということを意味している。

前進・後退しかできない列車から、前進・後退・

左折・右折できる自動車になったようなもので、

自由度が UP ^します。

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(46)

×(1 +i) ^{の意味とは} じゃあ ×(1 +i) ^{はどういうこと？}

(3 + 2i)(1 +i) = 3 + 3i+ 2i+ 2i²

= 3 + 5i + 2×(−1)

= 3 + 5i −2

= 1 + 5i

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(47)

×(1 +i) ^{の意味とは}

O i

偏角 45^◦ 長さ √

2

1 +i

長さを √

2 ^倍して 45^◦ ^{回転させる}

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(48)

(3 + 2i)(1 +i) ^{の意味とは}

O i

−5 5

3 + 2i

長さ √ 2 ^倍

1 + 5i

長さ √ 2 ^倍

45^◦

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(49)

(3 + 2i)(1 +i) ^{の意味とは}

O i

−5 5

3 + 2i

長さ √ 2 ^倍

1 + 5i

長さ √ 2 ^倍

45^◦

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(50)

(3 + 2i)(1 +i) ^{の意味とは}

O i

−5 5

3 + 2i

長さ √ 2 ^倍

1 + 5i

長さ √ 2 ^倍

45^◦

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(51)

工学部・理学部では複素数が重要

電気・電子工学、電磁波や物理分野では、複素数 の概念が重要になってくるので、そうした分野に 就職したい人はきちんと理解しておく必要があり ます。

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(52)

数をもっと拡張すると…

5 + 2i+ 7j + 4k ^{のように表される}

し

四

^げん元 ^すう数

（クォータニオン）というものもあります。

3D グラフィクスやゲームプログラミングで利用 されます。

［STAND BY ME ^{ドラえもん］}3DCG ^{メイキング} (YouTube)

『シン・ゴジラ』白組による CG ^{メイキング映像} (YouTube)

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(53)

四元数は 3 ^{次元の回転が得意}

実数は 1 ^{次元の数で、}

複素数は 2 ^{次元の数で、}

四元数は 3 次元の回転を効率よく計算できる数で す（3 次元の数はうまく定義することはできないようです）

製作スタッフが使用しているソフトウェア 3ds Max の中では四元数が活躍している ^web のです。

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(54)

まだまだ拡張するぞ…

さらに拡張すると八元数 ^web 、十六元数 ^web なん てものもあるそうです。

素粒子物理学、超弦理論で使われるらしいので、

将来ノーベル賞を取りたい人は調べてみると良い でしょう。

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(55)

参考 URL

ゲーム会社では四元数の学習が必要なようです。

https://techblog.sega.jp/entry/2021/06/

15/100000 ^web

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2 + 3 = 結婚 , √

2 = 抹殺… !?

2 + 3 = ^結婚 , √

2 = ^抹殺… !?