数 学
第 1 問 解答番号
1
～10
に当てはまるものを，それぞれ 3 ページのａ～ｅのうちか ら一つずつ選べ。（ 1 ） U ＝
{
x | x は 30 以下の自然数}
を全体集合とし，その部分集合 A ＝{
x | x ∈ U かつ x は素数}
を考える。（ⅰ） A の要素の個数は
1
である。（ⅱ） B ＝
{
x | x ∈ U かつ x は偶数}
，C ＝{
x | x ∈ U かつ x は奇数}
，D ＝
{
x | x ∈ U かつ x は 5 の倍数}
とする。このとき，A ∩ B，A ∩ C，A ∩ D，それぞれの要素の個数の合計は
2
である。（ⅲ） A の要素をデータとみなすとき，範囲は
3
，中央値は4
，第 1 四分 位数は5
，四分位範囲は6
である。（ 2 ） ある塾の 20 人のクラスで数学と社会の試験をしたところ，数学の平均点が 78.1点，社会の平均点が 76.3点であった。ところが，社会の点数では，ひとりの 採点に誤りがあったため，訂正をして計算しなおしたところ，平均点がちょうど 77点になった。また，数学の点数の分散は 104.6，訂正後の社会の点数の分散は 89.6 であった。
（ⅰ） 数学の点数の標準偏差の値に最も近い値は
7
である。（ⅱ） 社会の点数を訂正した生徒の訂正後の点数は，訂正前の点数より
8
点 高い。― 2 ―
（ⅲ） 社会の点数の 2 乗の合計は，訂正後が訂正前より 2240 大きかった。この ことから，次のａ～ｅのうち
9
であることがわかる。ａ 社会の点数の四分位範囲は，訂正前と訂正後で等しい。
ｂ 社会の点数の範囲は，訂正前より訂正後の方が大きい。
ｃ 社会の点数の範囲は，訂正前より訂正後の方が小さい。
ｄ 社会の点数の分散は，訂正前より訂正後の方が大きい。
ｅ 社会の点数の分散は，訂正前より訂正後の方が小さい。
（ⅳ） 数学と訂正後の社会の点数の共分散は－67.6 であった。数学と訂正後の社 会の点数の散布図が次の散布図Ａ～Ｅのうちの一つであるとすると，数学 と訂正後の社会の点数の散布図は
10
である。ただし，共分散は， 2 つ の変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め，偏差の積の平均値と して定義される。50 60 70 80 90 100
50 60 70 80 90 100 社会
数学 散布図 A
50 60 70 80 90 100
50 60 70 80 90 100 社会
数学 散布図 B
50 60 70 80 90 100
50 60 70 80 90 100 社会
数学 散布図 C
50 60 70 80 90 100
50 60 70 80 90 100 社会
数学 散布図 D
50 60 70 80 90 100
50 60 70 80 90 100 社会
数学 散布図 E
番号 1
[ ａ 7ｂ 8 ｃ 9 ｄ 10 ｅ 11
]番号 2
[ ａ 7ｂ 8 ｃ 9 ｄ 10 ｅ 11
]番号 3
[ ａ 25ｂ 26 ｃ 27 ｄ 28 ｅ 29
]番号 4
[ ａ 11ｂ 12 ｃ 13 ｄ 15 ｅ 17
]番号 5
[ ａ 5ｂ 11 ｃ 12 ｄ 13 ｅ 19
]番号 6
[ ａ 10ｂ 12 ｃ 14 ｄ 16 ｅ 18
]番号 7
[ ａ 1ｂ 2 ｃ 5 ｄ 10 ｅ 2000 ] 番号 8
[ ａ 3ｂ 6 ｃ 9 ｄ 10 ｅ 14
]番号 9
ａ 社会の点数の四分位範囲は，訂正前と訂正後で等しい。ｂ 社会の点数の範囲は，訂正前より訂正後の方が大きい。
ｃ 社会の点数の範囲は，訂正前より訂正後の方が小さい。
ｄ 社会の点数の分散は，訂正前より訂正後の方が大きい。
ｅ 社会の点数の分散は，訂正前より訂正後の方が小さい。
番号 10
ａ 散布図Ａｂ 散布図Ｂ ｃ 散布図Ｃ
ｄ 散布図Ｄ ｅ 散布図Ｅ
― 4 ―
第 2 問 解答番号
11
～28
に当てはまるものを，それぞれ 6 ～ 7 ページのａ～ｅのう ちから一つずつ選べ。（ 1 ） a を定数とする。f （x）＝ ax2 － 4x とし， 0 ≦ x ≦ 1 における f （x） の最小値 をmとする。
（ⅰ） a ＝ 0 のとき， m ＝ 11 である。
（ⅱ） a ≠ 0 のとき，y ＝ f （x） のグラフの頂点の座標は， ， である。
（ⅲ） a ＜ 0 のとき，y ＝ f （x） のグラフの頂点の座標について
16
が成り立ち，m ＝ 17 である。
（ⅳ） a ＞ 0 のとき，y ＝ f （x） のグラフの頂点の座標について
18
が成り立ち，0 ＜ a ＜ 2 のとき m ＝ 19
a ≧ 2 のとき m ＝
20
である。（ 2 ） x の 2 次関数
y ＝－x2 ＋ 2x ＋ 2
のグラフを G とし，G と x 軸との 2 つの共有点の x 座標をα，β（α＜β）と する。
（ⅰ） α＝ 21 ，β＝ 22 である。
12 13
14
15
（ⅱ） p，q，r，s を実数として 4 つの点Ａ（p，q），Ｂ（r，s），Ｃ（r，0），
Ｄ（p，0）を考える。2 点Ａ，Ｂは G 上にあり，四角形 ABCD は長方形で，
α＜ p ＜ r ＜βを満たすとする。このとき，r ＝ 23
であるから，長方形 ABCDの周の長さと面積を p を用いて表すと，周の長さは
24
p2 ＋25
面積は 26 p3 －27
p2 ＋28
となる。
― 6 ―
番号 11
[ ａ 0ｂ －1 ｃ －2 ｄ －3 ｅ －4 ] 番号 12
[ ａ －4ｂ －2 ｃ －1 ｄ 1 ｅ 2
]番号 13
[ ａ aｂ a
2ｃ ， ｄ 2 ｅ 4
]番号 14
[ ａ 1ｂ －1 ｃ －2 ｄ －3 ｅ －4 ] 番号 15
[ ａ aｂ a
2ｃ ， ｄ 2 ｅ 4
]番号 16
ａ x 座標，y 座標のどちらも 0ｂ x 座標は正，かつ，y 座標は正 ｃ x 座標は負，かつ，y 座標は正 ｄ x 座標は負，かつ，y 座標は負 ｅ x 座標は正，かつ，y 座標は負
番号 17
[ ａ 0ｂ － ｃ － ｄ ｅ a － 4 ] 番号 18
ａ x 座標，y 座標のどちらも 0ｂ x 座標は正，かつ，y 座標は正 ｃ x 座標は負，かつ，y 座標は正 ｄ x 座標は負，かつ，y 座標は負 ｅ x 座標は正，かつ，y 座標は負
番号 19
[ ａ 0ｂ － ｃ － ｄ ｅ a － 4 ] 番号 20
[ ａ 0ｂ － ｃ － ｄ ｅ a － 4 ] 番号 21
[ ａ 1 －ｂ 2 － ｃ －1 ｄ 1 ｅ 2
]番号 22
[ ａ 1 ＋ｂ 2 ＋ ｃ 2 ｄ 3 ｅ 4
]番号 23
[ ａ －p － 1ｂ －p ＋ 1 ｃ －p － 2 ｄ －p ＋ 2 ｅ p － 2 ]
番号 24
[ ａ －2ｂ －4 ｃ ｄ 2 ｅ 4
]√─2
√─2
1a 4
a 4
a
1a 4
a 4
a
1a 4
a 4
a
√─3 √─3
√─3 √─3
12
番号 25
[ ａｂ 2 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 8
]番号 26
[ ａｂ 2 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 8
]番号 27
[ ａｂ 2 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 8
]番号 28
[ ａｂ 2 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 8
]12 12 12 12
― 8 ―
第 3 問 三角形 ABC があり，AB ＝ 8 ，BC ＝ 7 ，AC ＝ 3 とする。解答番号
29
～42
に当てはまるものを，それぞれ 9 ページのａ～ｅのうちから一つずつ選べ。（ 1 ） ∠CAB ＝ 29 であり，三角形 ABC の外接円の半径は である。また，
三角形 ABC の面積は
32
である。（ 2 ） 線分 AB ，線分 AC および，三角形 ABC の外接円の弧で点Ａを含まない方の 弧 BC で囲まれる図形の面積は ＋ πである。
（ 3 ） 点Ｃから線分 AB に垂線を引き，三角形 ABC の外接円との交点のうち，点 ＣでないものをＤとする。線分 AB と線分 CD の交点をＥとする。このとき，
AE ＝ ，BD ＝ である。また，点Ｃから線分 BD に下ろした垂線と 線分 BD の交点をＦとしたとき，EF ＝ である。
30 31
33 34
35 36
37 38
39
40 41
42
番号 29
[ ａ 30°ｂ 45° ｃ 60° ｄ 90° ｅ 120° ] 番号 30
[ ａ 7ｂ 2 ｃ 3 ｄ 6 ｅ 7
]番号 31
[ ａ 7ｂ 2 ｃ 3 ｄ 6 ｅ 7
]番号 32
[ ａ 7ｂ 2 ｃ 3 ｄ 6 ｅ 7
]番号 33
[ ａ 23ｂ 8 ｃ 3 ｄ 17 ｅ 13 ] 番号 34
[ ａ 6ｂ 7 ｃ 9 ｄ 12 ｅ 14
]番号 35
[ ａ 12ｂ 18 ｃ 34 ｄ 42 ｅ 49
]番号 36
[ ａ 6ｂ 7 ｃ 9 ｄ 12 ｅ 14
]番号 37
[ ａ 7ｂ 2 ｃ 3 ｄ 6 ｅ 7
]番号 38
[ ａ 7ｂ 2 ｃ 3 ｄ 6 ｅ 7
]番号 39
[ ａ 23ｂ 8 ｃ 3 ｄ 17 ｅ 13 ] 番号 40
[ ａ 2ｂ 3 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 7
]番号 41
[ ａ 2ｂ 3 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 7
]番号 42
[ ａ 2ｂ 3 ｃ 4 ｄ 6 ｅ 7
]√─3 √─3
√─3 √─3
√─3 √─3
√─3 √─2 √─3
√─3 √─3
√─3 √─3
√─3 √─2 √─3
