数 学
第 1 問 解答番号 1 ～ 8 に当てはまるものを, それぞれ 3 ページのａ～ｅのうちか ら一つずつ選べ。
( 1 ) U ＝{x | x は 7 ＜ ＜ 8 を満たす自然数 } を全体集合とし，その部分集合 A ＝{x | x ∈ U かつ x は素数 } を考える。
(ⅰ) A の要素の個数は 1 である。
(ⅱ) B ＝{x | x ∈ U かつ x は 3 の倍数 }，C ＝{x | x ∈ U かつ x は 4 の倍数 } とする。 このとき，A ∩ B ∩ C の要素の個数は 2 である。
(ⅲ) A の要素をデータとみなすとき，A の要素の第 3 四分位数は 3 ，四分 位偏差は 4 である。
( 2 ) 3 つのクラスで実施した小テストの成績について，度数分布を調べ，それぞ れ，次のヒストグラムＡ，Ｂ，Ｃを作成した。
(ⅰ) 分散について，次の記述ａ～ｅのうち，正しいものは 5 である。
ａ 分散が最も小さいデータはヒストグラムＡである。
ｂ 分散が最も大きいデータはヒストグラムＡである。
ｃ 分散が最も小さいデータはヒストグラムＢである。
ｄ 分散が最も大きいデータはヒストグラムＢである。
√─x
0 2 4 6 8 10 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数
得点 ヒストグラム A
0 2 4 6 8 10 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数
得点 ヒストグラム B
0 2 4 6 8 10 12 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数
得点 ヒストグラム C
(ⅱ) 中央値について，次の記述ａ～ｅのうち，正しいものは 6 である。
ａ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＡである。
ｂ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＢである。
ｃ 中央値が最も小さいデータはヒストグラムＢである。
ｄ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＣである。
ｅ 中央値が最も小さいデータはヒストグラムＣである。
( 3 ) ある疾患について，30 名の患者のある検査値から度数分布を調べ，下のヒス トグラムを作成した。
相対度数が 0.1 以上の階級は 7 個ある。さらに, このデータによる箱ひげ図は，
次の箱ひげ図Ａ～Ｅのうち 8 である。
番号 1 [ ａ 0 ｂ 1 ｃ 2 ｄ 3 ｅ 4 ] 番号 2 [ ａ 0 ｂ 1 ｃ 3 ｄ 5 ｅ 8 ] 番号 3 [ ａ 57 ｂ 58 ｃ 60 ｄ 62 ｅ 63 ] 番号 4 [ ａ 4 ｂ 6 ｃ 8 ｄ 10 ｅ 12 ] 番号 5 ａ 分散が最も小さいデータはヒストグラムＡである。
ｂ 分散が最も大きいデータはヒストグラムＡである。
ｃ 分散が最も小さいデータはヒストグラムＢである。
ｄ 分散が最も大きいデータはヒストグラムＢである。
ｅ 分散が最も小さいデータはヒストグラムＣである。
番号 6 ａ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＡである。
ｂ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＢである。
ｃ 中央値が最も小さいデータはヒストグラムＢである。
ｄ 中央値が最も大きいデータはヒストグラムＣである。
ｅ 中央値が最も小さいデータはヒストグラムＣである。
番号 7 [ ａ 1 ｂ 2 ｃ 3 ｄ 4 ｅ 5 ] 番号 8 ａ 箱ひげ図Ａ ｂ 箱ひげ図Ｂ ｃ 箱ひげ図Ｃ
ｄ 箱ひげ図Ｄ ｅ 箱ひげ図Ｅ
第 2 問 解答番号 9 ～ 24 に当てはまるものを，それぞれ 5 ページのａ～ｅのうちか ら一つずつ選べ。
( 1 ) a を定数とし，f (x)＝ x2 − 4ax ＋ 4a とする。
(ⅰ) y ＝ f (x) のグラフの頂点の x 座標は 9 である。
(ⅱ) f (x) の最小値が正となる a の値の範囲は 10 ＜ a ＜ 11 である。
(ⅲ) a ＜ 0 のとき，0 ≦ x ≦ 1 の範囲における f (x) の最小値は 12 である。
(ⅳ) f (x) が x ＞ 1 の範囲で最小値をとるような a の値の範囲は a ＞ 13 であ る。このとき，0 ≦ x ≦ 1 の範囲における f (x) の最小値は 14 である。
(ⅴ) 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で常に f (x)＞ 0 となるような a の値の範囲は 15 である。
( 2 ) 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD を底面とする，高さが 3 の 直方体 ABCD-EFGH がある。辺 BF 上に点Ｐ，辺 DH 上に点 Ｑをとる。PB ＝ x ，QD ＝ y とおく。ただし，Ｐ＝Ｂのとき
x ＝ 0 ，Ｑ＝Ｄのとき y ＝ 0 とする。
(ⅰ) 直方体 ABCD-EFGH の体積は 16 である。また，DB ＝ 17 である。
(ⅱ) x ＝ 0 ，y ＝ 3 のとき，AQ ＝ 18 ，PQ ＝ 19 ，∠PAQ ＝ 20 である。
(ⅲ) x ＝ y ＝ 1 のとき，∠PAQ ＝ 21 である。
(ⅳ) ∠BAP ＝ 45°，∠DAQ ＝ 60°のとき，x ＝ 22 ，y ＝ 23 ，PQ2 ＝ 24 が 成り立つ。
番号 9 [ ａ 0 ｂ −a ｃ −2a ｄ a ｅ 2a ] 番号 10 [ ａ −1 ｂ 0 ｃ ｄ 1 ｅ 2 ] 番号 11 [ ａ 0 ｂ ｃ 1 ｄ 2 ｅ ] 番号 12 ａ −4a2 ＋ 4a ｂ 4a ｃ 1
ｄ 4a2 − 4a ｅ −4a
番号 13 [ ａ −1 ｂ 0 ｃ ｄ 1 ｅ 2 ] 番号 14 ａ −4a2 ＋ 4a ｂ 4a ｃ 1
ｄ 4a2 − 4a ｅ −4a
番号 15 ａ a ＜ 0 ｂ 0 ＜ a ｃ 0 ＜ a ＜ ｄ 0 ＜ a ＜ 1 ｅ 0 ＜ a ＜ 2
番号 16 [ ａ 1 ｂ 2 ｃ 3 ｄ 4 ｅ 6 ] 番号 17 [ ａ 3 ｂ ｃ ｄ 2 ｅ 3 ] 番号 18 [ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ] 番号 19 [ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ] 番号 20 [ ａ 30° ｂ 45° ｃ 60° ｄ 90° ｅ 120° ] 番号 21 [ ａ 30° ｂ 45° ｃ 60° ｄ 90° ｅ 120° ] 番号 22 [ ａ 1 ｂ 2 ｃ ｄ ｅ 2 ] 番号 23 [ ａ 1 ｂ 2 ｃ ｄ ｅ 2 ] 番号 24 ａ 2 ｂ 3 ｃ
ｄ 6 − 2 ｅ 3 − 12
12 5
2
12
12
√─2 √─3 √─3 √─2
√─2 √─3 √─5 √─10 √─11
√─2 √─3 √─5 √─10 √─11
√─2 √─3 √─2
√─2 √─3 √─2
√─3 √─3
√─3 √─2
第 3 問 三角形 ABC において，
AB ＝ 6 ，AC ＝ 5 ，cos∠BAC ＝
である。解答番号 25 ～ 39 に当てはまるものを，それぞれ 7 ページのａ～ｅのう ちから一つずつ選べ。
( 1 ) BC ＝ 25 ，sin∠BAC ＝ であり，三角形 ABC の外接円の半径は で
ある。また，sin∠ACB ＝ である。
( 2 ) 線分 AC の点 Ｃ 側の延長上に点 Ｄ を BD ＝ 2 となるようにとる。この とき，CD ＝ 32 であり，三角形 CBD の外接円の半径は である。また，
三角形 ABC の外接円の中心を O1 ，三角形 CBD の外接円の中心を O2 とする とき，O1O2 ＝ であり，cos∠CO1O2 ＝ である。したがって，∠CO1O2 の 大きさは 39 である。
34
26 27
28 29 30
31
√─7
33 34
35 36
37 38
番号 25 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ ｅ ] 番号 26 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ ｅ ] 番号 27 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 28 [ ａ 4 ｂ 5 ｃ 2 ｄ 5 ｅ 8 ] 番号 29 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 30 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ ｄ 3 ｅ ] 番号 31 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 32 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ ｄ 3 ｅ ] 番号 33 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 34 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 35 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 11 ｄ 32 ｅ 19 ] 番号 36 [ ａ 2 ｂ 4 ｃ 5 ｄ 15 ｅ 21 ] 番号 37 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 38 [ ａ 2 ｂ 3 ｃ 4 ｄ 7 ｅ 8 ] 番号 39 ａ 0 °より大きく30°以下
ｂ 30°より大きく45°以下 ｃ 45°より大きく60°以下 ｄ 60°より大きく90°以下 ｅ 90°より大きく135°以下
√─3 √─7
√─3 √─7
√─3 √─3 √─7
√─3 √─7 √─14
√─3 √─7 √─14
√─3 √─7 √─14
