シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る

MAT且EMATICA,HTMLお よ びJavaScriptを 用 い て

小樽商科 大学商学 部経済学科

鵜 沢 秀*

0.は じ め に

複 占 理 論(Oligopolytheory)に つ い て グ ラ フ 表 示 を 用 い る こ と は あ っ て も (Friedman[1983]),ア ニ メ ー シ ョ ン を 用 い て 学 生 に 教 え る 試 み は こ れ ま で ほ と ん ど な さ れ て こ な か っ た 。 ク ー ル ノ ー 均 衡 に つ い て 著 者 は こ れ ま で 画 像 や ア ニ メ"・・一・シ ョ ン を 用 い て い く つ か の 試 み を し て き た(鵜 沢[1998],

[2000a,b,c],[2001])。

こ の 論 文 で は,企 業1が 先 導 者 で 企 業2が 追 随 者 で あ る 場 合 の シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 に つ い て ア ニ メ ー シ ョ ン を 利 用 し て 説 明 し よ う とす る も の で あ る 。 本 論 文 の 構 成 は 以 下 の と お り で あ る 。

第1節 で は,シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク ・モ デ ル の 設 定 を ま ず 行 う 。 次 に, MATHEMATICA4.0な い し4.1を 用 い て 作 成 し た,企 業1と 企 業2の3次 元 表 示 に よ る 利 潤 曲 面 を 提 示 す る 。 第2節 で シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を 求 め る 。 最 初 に 企 業2の3次 元 表 示 の 反 応 曲 線 を 表 示 す る 。 次 に,企 業1の 利 潤 曲 面 の

*こ の 論 文 の 一 部 は 平 成14年6月15日 小 樽 商 科 大 学 に て 開 催 さ れ た 『日本 経 済 学 会2002年 度 春 季 大 会 』 「産 業 組 織 論:(空 間 的)数 量 競 争 」 の セ ッ シ ョ ンで 報 告 さ れ た も の で あ る。 討 論 者 の 西 條 辰 義 教 授(大 阪 大 学 社 会 経 済 研 究 所)と 座 長 の 清 野 一 治 教 授(早 稲 田 大 学)の コ メ ン トに 感 謝 す る 。 残 さ れ た 誤 り は す べ て 筆 者 の 責 任 で あ る 。 ま た,こ の 論 文 で 用 い られ て い る 画 像 を作 成 す る過 程 で2000 年 度 教 育 研 究 経 費(学 長 裁 量 経 費)「 シ ミュ レー シ ョ ン に よ る 金 融 お よ び 産 業 組 織 モ デ ル の 分 析 」(主 査:和 田 良 介,鵜 沢 秀,奥 田 和 重,加 地 太 一)お よ び2001 年 度 教 育 改 善 推 進 費(学 長 裁 量 経 費)「 経 済 学 教 育 改 善 プ ロ ジ ェ ク ト」(代 表 者

:船 津 秀 樹,お よ び 経 済 学 科 教 官 全 員)の 援 助 を得 た こ と を 記 して 感 謝 す る。

〔33〕

う ち,企 業2の 反 応 曲 線 を含 む垂 直 平 面(こ れ を反 応 曲 面 と呼 ぶ)で 切 断 さ れ た 画 像 を求 め,企 業1の 最 大 利 潤 を も た らす シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を表 示 す る 。 第3節 で は,シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 と クー ル ノ ー均 衡 の 比 較 をい ろ い ろ な 視 点 か らの アニ メ ー シ ョ ンを用 い て 行 う。 結 語 は 第4節 に ま とめ て あ る。

付 録 に ア ニ メー シ ョ ンを 作 成 す る場 合 の 手 順,掲 載 した 図 を描 くMATHE‑

MATICAプ ロ グ ラ ム の 一 部,画 像 を コマ 送 りす るJavaScriptとHTMLの リ ス トの 一 部 を掲 載 した 。

な お,本 文 で 述 べ た ア ニ メ ー シ ョン の ほ とん ど は,配 色 な どが 異 な る もの も あ るが,鵜 沢 のWebペ ー ジ 「寡 占 島 の2つ の 記 念碑 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 よ う ク ー ル ノ ー均 衡 と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 」 に掲 載 し て あ る。Webペ ー ジのURLは 以 下 の とお りで あ る:

http://www.otaru‑uc.ac.jp/一"uzawa/cal‑economics/mathanimhtml(日 本 語 版)

http://www.otaru‑uc.ac.jp/〜uzawa/cal‑economics/mathanim‑e.html(英 語 版)

1.シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク ・モ デ ル 1.1費 用 と 需 要 曲 線 に 関 す る 仮 定

い ま,同 一 品 質 の 生 産 物(同 質 財)を 生 産 す る2つ の 企 業 を そ れ ぞ れ,企 業 1お よ び 企 業2と 呼 ぼ う 。 議 論 を 簡 単 に す る た め に,費 用 関 数 は,2つ の 企 業 に と っ て 同 一 で あ り,

C1(q1)=ql C2(q2)=q2 と す る 。

ま た,こ の 産 業 へ の 逆 需 要 関 数(需 要 曲 線)を P==25‑(q1+q2)

と す る 。 こ こ で,q1,q2は,そ れ ぞ れ 企 業1と 企 業2の 生 産 量 を 示 し,pは,

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 35

生 産 物1単 位 の 市 場 価 格 で あ る 。

利 潤(profit)は,収 入 一 費 用 な の で,企 業1の 利 潤 π】(q1,q2)と 企 業2の

利 潤 π2(q1,q2)は, そ れ ぞ れ

π1(q1,q2)=pq1‑C1(q1) π2(q1,q2)=pq2‑C2(q2) よ り,

π1(q1,q2)={24‑(q1+q2)}q1 π2(q1,q2)={24‑(q1+q2)}q2 と な る 。

1.2企 業1と 企 業2の 利 潤 曲 面 を見 る

企 業1お よ び 企 業2の 利 潤(profit)は そ れ ぞ れ 企 業1の 生 産 量(q1)と 企 業2の 生 産 量(q2)に 依 存 して い る の で,そ れ ぞ れ の利 潤 曲面 は(q1‑q2‑profit) の3次 元 空 間 に描 か れ る こ と に な る。

最 初 に,企 業1の 利 潤 曲面 をMATHEMATICAで 描 い た画 像 を掲 載 す る(付 録2に 図1,2お よ び8を 描 くた め のMATHEMATICAプ ロ グ ラム を掲 載 し た 。MATHEMATICAプ ロ グ ラ ム に つ い て はHuangandCrooke[1997],

鵜 沢[2000a,b],Wolfram[1999]な ど を参 照 せ よ)。 た だ し,負 の 利 潤 を も た らす 生 産 量 の組 み 合 わ せ は 表 示 して い な い こ とに注 意 しよ う。 これ が 本 質 的 な制 約 で は な い こ とは2つ の 企 業 と もゼ ロ生 産 を す る こ とに よ り最 低 ゼ ロ 利 潤 を実 現 で き るか らで あ る。

図1の 企 業1の 利 潤 曲面 は,黄 緑,黄 色,赤,紫,青 の グ ラ デ ー シ ョ ン に応 じて利 潤 額 は減 少 して い る。

2口q2

ioe

prottt

o

図1利 潤 額 を色 に反映 させた企 業1の 利 潤 曲面

また,図2に は利 潤 額 に応 じて 色 合 い を よ り細 か く表 示 した場 合 の 企 業1の 利 潤 曲面 が 描 か れ て い る。 こ の 図形 は,付 録2に あ るMAT且EMATICAの プ

ロ グ ラ ム を見 て も ら う とわ か る よ う に,利 潤 額 に応 じて 色 を変 え た,企 業1の 等 利 潤 線(企 業1に 同 じ利 潤 を もた らす 企 業1の 生 産量 と企 業2の 生 産 量 の 組

み合 わ せ を示 す 曲線)145本 か ら成 っ て い る。

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∠

〔 〕9

図2利 潤 額 に応 じて色 を変 えて描 いた企 業1の 利 潤 曲面

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る 37 企 業2の 生 産 量 が 与 え られ た と き,企 業1の 利 潤 は どれ だ け 得 られ る か を示 せ る よ う に企 業2の 生 産 量 に応 じて 達 成 可 能 な企 業1の 利 潤 を グ ラ フ で 描 く と,図3な い し4が 得 られ る 。 図3お よ び4は,企 業2の 生 産 量 水 準(q2)で 切 断 した 企 業1の 利 潤 曲面 の 切 り口 を色 を変 え て 表 現 して い る。 す な わ ち,企 業2の 生 産 量 が ゼ ロか ら24に 増 加 す る と き,赤,黄 色,緑,青,紫,マ ゼ ン タ で 表 示 した 。

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P=・iicso

図3企 業2の 生 産量 に応 じて表示 色 を変 えた企 業1の 利 潤曲 面

1〔]o

pratit50

図4図3を 別 の角 度(左 奥)か ら見 た企 業1の 利潤 曲 面

図5に は 企 業1の 利潤 曲面 の 上 に企 業1の 反 応 曲 線 が 黒 い太 線 で 描 か れ て い る。

同様 に,企 業2の 利 潤 曲面 を 描 こ う。 図6に お い て,青 い太 線 は 企 業2の 反 応 曲線 を示 して い る。 反 応 曲線 の 求 め 方 は 次 節 で行 う。

protit1=O

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q2=24.

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図5企 業1の 利 潤 曲面 と3次 元 にお け る反応 曲 線

pre=Eit1=oq[1=2A・

IBB P「。fi㌔D

図6企 業2の 利 潤曲面 と3次 元 にお ける反応 曲線

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メー シ ョ ンで 見 る 39 1.3シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク ・モ デ ル を 展 開 型 ゲ ー ム で 表 現 す る

企 業1が 最 初 に生 産 量q1を 生 産 し,企 業2は こ の こ と を 知 っ て か ら生 産 量 q2を 生 産 す る,い わ ゆ る,2段 階 ゲ ー ム を考 え よ う。 シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク の 言 葉 で い え ば,企 業1が 先 導 者 で 企 業2が 追 随 者 の場 合 で あ る。

2.シ ュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡(部 分 ゲ ー ム完 全 均 衡)を 求 め る

後 ろ 向 き帰 納 法,あ るい は,後 方 か らの 帰 納 法(backwardinduction)を 用 い て 部 分 ゲ ー ム完 全 均 衡,す な わ ち,シ ュ タ ッ ケ ルベ ル ク均 衡 を 求 め よ う。 最 初 に 第2段 階 の 解 を 求 め,次 に この 結 果 を用 い て 第1段 階 の 解 を 求 め る。

2.1第2段 階 の解 企 業2の 反 応 曲 線 を 求 め る

企 業1の 任 意 の 生 産 量q1に 対 し て,企 業2の 利 潤 を最 大 に す る 企 業2の 生 産 量 を 求 め よ う。 企 業2の 利 潤 曲 面(黄 緑 色)を 企 業1の 生 産 量 水 準 を通 り,

(qrq2)平 面 に 垂 直 な平 面 で 切 断 した 切 りロ(ピ ンク色)の 中 で最 大 の 利 潤 を も た らす 生 産 量 が 企 業2の 最 適 点(bestresponsepoint)で あ る。 図7に は 最 適 反 応 点(こ れ は青 い 丸 印 で描 か れ て い る)の 軌 跡 は青 い 太 線 で 途 中 まで 描 か れ て い る 。

qZ20

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P=oEit

9■

図7企 業2の 利潤 曲 面 を企 業1の 生 産量 水準 で切 断 した切 り口 と最 適反 応点

図8に 描 か れ て い る24枚 の 図 に は,q1=0か らq1=23ま で の24通 り の 場 合 が 描 か れ て い る 。 こ の 図 を 元 に ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る こ と が で き る 。 ま た, 図8の 各 パ ネ ル に は,企 業1の 生 産 量 を 示 す 平 面(赤 紫 色),企 業1の 生 産 量 q1,企 業2の 最 適 生 産 量q2=r2(q1),そ の と き の 企 業2の 利 潤(profit)の 大

き さ も 表 示 さ れ て い る 。 こ の よ う に し て 得 ら れ た 反 応 曲 線 を 図9に 示 す 。 ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 れ ば,企 業2の 最 適 点 の 動 き を 見 る こ と が で き る1)。 最 適 点(q1,q2=r2(q1),π2(q1,q2==r2(q1)))の 軌 跡 が 企 業2の3次 元 に お け る 反 応 曲 線 で あ る2)。 画 像 を 真 上 か ら見 れ ば,教 科 書 で お な じ み の 反 応 曲 線 を 確 か め る こ とが で き る 。

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図8企 業2の 反 応 曲線 を求 め るアニ メー シ ョンの元 図

1)ほ ぼ 同 様 の ア ニ メ ー シ ョ ン は,次 のURLに ア ク セ ス す る と 見 る こ と が で き る 。

http://www.otaru‑uc.ac.jp/〜uzawa/cal‑economics/reactionTwo‑cl14(176‑200)jpg.

html

http://www.otaru‑uc.ac.jp/‑uzawa/cal‑economics/00」44reactionTwo‑s103e(18‑

42)jp9.html

http://www.otaru‑uc.ac.jp/‑uzawa/cal‑economics/reactionTwo‑s113a(60‑83)jpg.

html

2)企 業2の 利 潤 は π2(q1,q2)={24‑(q1+q2)}q2で あ る の で,変 形 す る と,π2(q1,q2)

=一{q2‑(24‑q1)/2}2+{(24‑qi)/2}2と な る 。 企 業2は そ の 生 産 量 をq2=(24一

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る

4ヱ

P=o瓢 乙".e2,

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図8企 業2の 反応 曲線 を求 め るア ニ メー シ ョンの元 図(続 き)

q1)/2と す れ ば,企 業2の 利 潤 は 最 大 と な る。 した が っ て,企 業2の 反 応 関 数 はq2

=r2(q1)=(24‑q1)/2と な る。 こ の 関 数 の2次 元 グ ラ フ が 反 応 曲線 で あ る 。

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図8企 業2の 反 応 曲 線 を 求 め る ア.ニメ ー シ ョ ン の 元 図(続 き)

ioo

P「ofit5

Xi5

10q2

〔 〕

図9企 業2の3次 元 にお け る反 応 曲線(青 い太線)

図10は,図9に 描 か れ て い る,企 業2の3次 元 に お け る反 応 曲 線(青 い太 線) を含 む,(q1‑q2)平 面 に 垂 直 な平 面(空 色)を 描 い た も の で あ る。 こ の 平 面 を企 業2の 「反 応 曲 面 」 と呼 ぶ こ と にす る。

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る

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図10企 業2の 反応 曲線 を含 む,

＼藍 齢

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﹁ q

拍O

43

企 業2の(反 応 曲線 を含 む)反 応 曲面 だ け を描 い た も の が 次 の 図11で あ る3)。

脚 注2よ り企 業1の 生 産 量 が 増 加 す る と企 業2の 最 適 生 産 量 は 減 少 す る こ とが 示 され たが,図11か ら も確 か め られ る。 同様 に,青 い太 線 で 示 され た3次 乖 に

q2 15 1〔〕

鴫蝉

図11企 業2の 反応 曲線 を含 む 「反応 曲面 」

3)企 業2の 利 潤 曲 面,反 応 曲 線 お よ び 反 応 曲 面 を 集 め たWebペ ー ジ は 以 下 のURL に あ る 。

http://www.otaru‑uc.ac.jp/〜uzawa/cal‑economics/00 ̲144reactionTwo‑st103d

(162‑164;170‑174)jpg.html

お け る 企 業2の 反 応 曲線 に 注 目す れ ば,企 業1の 生 産 量 が 増 加 す る と企 業2の 最 適 な 利 潤 は減 少 す る こ とが わ か る(図10か ら も読 み 取 る こ とが で き る)。

2.2第1段 階 の 解 企 業1の 最 適 生 産 量 を 求 め る (シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク 均 衡)

企 業1の 最 適 生 産 量 を 求 め る に は 次 の よ う に す れ ば よい 。 企 業1は 企 業2が そ の 反 応 曲線 に従 っ て企 業2に とっ て 最 適 な 生 産 量 を決 定 す る こ と を知 っ て い る の で,企 業2の 反 応 曲面 と企 業1の 利 潤 曲面 との 切 断面 の 中 で,企 業1に 最 大 の 利 潤 を もた らす 生 産 量 を求 め れ ば よい 。 この と き企 業2は 企 業2の 反 応 曲 線 上 の 生 産 量 を選 ぶ こ とで 利 潤 は最 大 に な っ て い る。 す な わ ち,こ の 点 は部 分 ゲ ー ム 完 全 均 衡(subgameperfectequilibrium),す な わ ち,企 業1が 先 導 者 で 企 業2が 追 随 者 の 場 合 の シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 で あ る4)。

図12は,企 業2の 反 応 曲線(青 い 太 線),企 業2の 反 応 曲 面(空 色)と 企 業 1の 利 潤 曲 面(黄 色,赤,青 の グ ラ デ ー シ ョ ン)を 同 時 に描 い た もの で あ る。

図13か ら15ま で に シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を求 め る途 中経 過 が 描 か れ て い る。

す な わ ち,図12か ら企 業2の 利 潤 曲面 を削 除 す る と図13が 求 め られ る 。 企 業1 の 利 潤 曲 面 の うち,企 業2の 反 応 曲面 で 切 断 さ れ た 部 分 が あ るが,そ の 部 分 を 強 調 して 赤 い 色 で 示 そ う(図14)。 こ こ で は 企 業1の 利 潤 曲 面 は 白 い 色 で 示 し て い る 。 この 赤 い 部 分 の 中 で 最 大 の利 潤 を求 め た もの を 図15に 示 した 。 なお,

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 は青 い 丸 印 で描 か れ て い る 。

4)脚 注2よ り,企 業2の 反 応 関 数 はq2=r2(q1)=(24‑q1)/2で あ る 。 こ の 式 を 企

業1の 利 潤 関 数 π1(q1,q2)={24‑(q1+q2)}q1に 代 入 し て 変 形 す る と,π1(q1, r2(q1))=一(1/2)(q1‑12)2+72と な る 。 し た が っ て,企 業1はq1・12で 利 潤 を 最 大 に し,企 業2はq2=r2(12)=(24‑12)/2=6で 利 潤 を 最 大 に す る 。 す な わ ち, 企 業1を 先 導 者,企 業2を 追 随 者 と す る シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 が 達 成 さ れ る 。 こ の と き の 利 潤 額 は π1(12,6)={24‑(12+6)}×12=72お よ び,π2(12,6)=={24

‑(12+6)}×6=36と な る 。

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 45

o

q220 10

⊥〔]0

profit5〔[

図12企 業1の 利 潤曲 面,企 業2の 利 潤 曲面 と企 業2の 反応 曲 面

q22c]

噂

襲 轟 ・ 翼 ・.

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10e

P:ofit5{〕

[〕

図13企 業1の 利 潤曲 面 と企 業2の 反 応 曲面 (図12か ら企 業2の 利 潤 曲面 を削 除)

一

/イ

10c

profit50

o

図14企 業1の 利 潤 曲面 と企業2の 反応 曲面 の共 通部 分(赤 色) (図13か ら企 業1の 利 潤 曲面 を白色 に す る)

2口q2

o

ql

1〔ID

prof■t 5〔}

図15シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡

別 の 視 点 で シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を見 て み よ う。 企 業1の 利 潤 曲面 を企 業 2の 反 応 曲 面 で 切 断 した 切 り口(赤 色)を 図16に 表 示 し よ う。 この 赤 い領 域 の 中 で 最 大 の利 潤 を もた らす 企 業1の 生 産 量 とそ れ に対 応 した,企 業2の 反 応 曲 線 上 の 生 産 量 が 部 分 ゲ ー ム完 全 均 衡(企 業1が 先 導 者 で,企 業2が 追 随 者 の 場 合 の シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡)と な る。

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メー シ ョ ンで 見 る 47

prefit

図16企 業1の 利潤 曲面 と企 業2の 反 応 曲面 の共通 部分(赤 色)

q22〔 〕

1B 15

8〔〕

6〔〕

pre±it4e

児//

lQ15

2〔〕q1

図17企 業1の 利潤 曲面 を企 業2の 反 応 曲面 で切 断 した断 面図

以 下 に そ の 画 像 の 一 部5)を 掲 載 す る。 図18に は企 業1の 利 潤 水 準 が40の と き を描 い て い る。 図19に は企 業1の 利 潤 が72で 最 大 に な っ て い る こ とが 示 さ れ て い る。 また,図20に は企 業1の 利 潤 を最 大 にす る と きの企 業1の 生 産 量12と 企 業2の 生 産 量6が 示 さ れ て い る。

5)ほ ぼ 同 様 の ア ニ メ ー シ ョ ン は,次 のURLに ア ク セ ス す る と 見 る こ と が で き る 。 http://www.otaru‑uc.ac.jp/'uzawa/cal‑economics/findStackelbergOne‑s113a

(142‑179)jpg.html

図18

pr。fit‑4。 …ミ15〔12

く 。

so 60 40prefit

霧i…iiii嚢・・

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企 業2の 反 応 曲面 を考慮 した とき に可 能 な企 業1の 利潤 水準

q22〔 〕pro±it=72

＼1… …灘

60

prof■t4e

:〔1

q1

図19企 業2の 最 大利 潤 を達成 す る

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 49

prefit斗0

図20企 業1の 最 適生 産量 が わか るよ うに補 助平 面(薄 緑 色)を 描 く

3.シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク 均 衡 と ク ー ル ノ ー 均 衡6)の 比 較

3.1シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク 均 衡 とク ー ル ノ ー均 衡 の 生 産 量 水 準 の 違 い を 見 る 図21に は,企 業1の 利 潤 曲 面(黄 色 か ら赤,紫 へ と利 潤 水 準 が 下 が っ て い く), 企 業2の 利 潤 曲 面(黄 緑 色)が 同 時 に 描 か れ て い る。 図22に は,図21に 企 業2 の 反 応 曲 面(空 色)を 追 加 した 図 を掲 載 し た。

6)ク ー ル ノ ー 均 衡 は,2つ の 企 業 の 反 応 曲 線 の 交 点 と し て 求 め ら れ る 。 企 業2の 反 応 関 数 と 同 様 に し て,企 業1の 反 応 関 数 を 求 め る とq1・ ・r1(q2)=(24‑q2)/2 が 得 ら れ る 。 脚 注2で 得 ら れ た 企 業2の 反 応 関 数 はq2=r2(q1)=(24‑q1)/2で

あ る の で,こ の2式 を 同 時 に 満 た す 生 産 量 が ク ー ル ノ ー 均 衡 で あ る 。 す な わ ち, q1=q2=24/3ニ8と な る 。 ま た,そ の と き の 利 潤 は,と も に 等 し く,π1(8,8)=

π2(8,8)={24‑(8+8)}×8=64で あ る 。

q22〔〕 10

褻

灘 樺 鑑

q1 9

図21企 業1の 利 潤曲線 と企 業2の 利 潤 曲線 を同 時 に表 示

q220

懸、 レ

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等 〜糧

10 ql D

図22図21に 企 業2の 反 応 曲面(空 色)を 追加 表 示

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る

20 q2

10

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嚢,・5。Pttoflt

燭 、。

10 ql e

図23図22か ら企 業2の 利 潤 曲 面 を 削 除

zoq2

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・難

漁 灘1。o

prof■t 5[工

噸

201D ql

図24企 業1の シ ュタ ッケルベ ル ク均衡 を表 示

図23に は,図22か ら企 業2の 利 潤 曲 面 を削 除 した 図 を描 い て い る。 また,図 24に は,企 業1の 利 潤 最 大 を もた らす,シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡(青 い 丸 印)

を表 示 した 。

図25は 図24を 別 の 角 度 か ら見 た画 像 で あ る。 企 業1の 反 応 曲 線 は赤 茶 色 の 太 線 で 描 か れ て い る 。 また,企 業?の 反 応 曲 線 は青 の 太 線 で描 か れ て い る 。2つ

u

図25図24を 右 後方 から見 た場合

の 反 応 曲線 の 交 点(黒 い 丸 印)が ク ー ル ノー 均 衡 で あ る こ と と シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 が 青 い 丸 印 で 示 さ れ て い る こ と を考 慮 す れ ば,2つ の 均 衡 の比 較 を行

う こ と は容 易 で あ る 。

図26お よび27か ら シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 と ク ー ル ノー 均 衡 の 関 係 を見 て み よ う。 企 業1の 利 潤 曲 面 は黄 色,赤,紫 の グ ラ デ ー シ ョ ンで表 示 され,企 業2 の利 潤 曲面 は 黄 緑 色 で 表 示 さ れ て い る。 また,企 業1の 反 応 曲線 は赤 い 太 線, 企 業2の 反 応 曲 線 は青 い 太 線 で 表 示 さ れ て い る。 図26に は 明確 に表 示 さ れ て い な い が,こ の2つ の 曲 線 の 交 点 が ク ー ル ノ ー 均 衡 を 示 して い る(図27に は 明 確 に 描 か れ て い る)。 企 業1に と っ て は ク ー ル ノ ー均 衡 の と き よ り も シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の 時 の ほ うが よ り多 い 利 潤 を獲 得 で きる 。 しか し,企 業2に と っ て は 逆 に,ク ー ル ノ ー均 衡 の と き よ り も シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の 時 の ほ うが

よ り 少 な い 利 潤 に な っ て い る(シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡(Stackelberg Equilibrium)を 示 す 青 い 丸 印 か ら垂 線 を 下 ろ し,そ れ が 企 業2の 利 潤 曲面 と 交 差 す る 点,す な わ ち,企 業2の 反 応 曲線 を示 す 青 い 太 線 との交 点(オ レ ン ジ 色 の 丸 印)が 示 す 利 潤 水 準 は 明 ら か に ク ー ル ノ ー 均 衡 の と きの 利 潤 よ り少 な い)。

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る 53

o

100

prokt

讐鑑細

図26企 業1の 利 潤 を最 大 に す るシ ュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡 を表 示 す る 企 業2の 利 潤 曲面(黄 緑 色),企 業2の 反応 曲線(青 い太線),企 業2の 反 応 曲 面(空 色),企 業1の 利 潤 曲面(黄 色,赤,紫 のグ ラデ ーシ ョン),お よび, 企 業1の 反応 曲線(赤 い 太線)

超{と

﹁

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灘

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図27図26を 上 方 か ら見 た 図

図28は,図26あ るい は27を ほ ぼ真 上 か ら見 た 図 で あ る。 企 業1の 反 応 曲 線、は 赤 い太 線,企 業2の 反 応 曲線 は 青 い 太 線 で 描 か れ て い る。 ク ー ル ノ ー均 衡 は 黒 い 丸 印 で示 され,シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 は 青 い丸 印 で 示 さ れ て い る。た だ し, 企 業1の 等 利 潤 線 を補 っ て表 示 して あ る。 クー ル ノ ー 均 衡 を通 る 黄 色 の線 は 企 業1の 利 潤64に 対 応 し,シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を 通 る 赤 褐 色 の線 は企 業1の 利 潤72に 対 応 して い る 。

q2

〔}510152口 protitq1

図28シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク 均 衡 と ク ー ル ノ ー 均 衡(2つ の 反 応 曲 線 の 交 点)

図29は,別 の 視 点 か ら シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡(青 い 丸 印)を 見 た もの で あ る。企 業1の 利 潤 曲 面(黄 色,赤,青 の グ ラ デ ー シ ョ ン),企 業2の 反 応 曲線(青 い太 線)は 企 業1の 利 潤 水 準72を 通 る 等 利 潤 線(青 色)に 接 し て い る 。 ま た, 赤 い太 線 は企 業1の 反 応 曲線 、,茶色 い 太 線、は企 業1の 利 潤 水 準64(ク ー ル ノ ー 均 衡(黒 丸 印)の 時 の 利 潤 水 準)を 通 る等 利 潤 線 で あ る。

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 55

o〔 〕

ユロロ pr。t± 〈50

ql 15

/

＼

詳

図29別 の 角 度 か ら 見 た シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク 均 衡 と ク ー ル ノ ー 均 衡

3.2シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 と ク ール ノ ー 均 衡 の利 潤 水 準 の 違 い を見 る 図30か ら34は,企 業1の 利 潤 水 準 を0(ゼ ロ)か ら144ま で 次 第 に 上 げ て い く画 像 の 一 部 を掲 載 した も の で あ る。 企 業1の 利 潤 曲 面 は黄 色,赤,青 へ の グ ラデ ー シ ョ ン,企 業2の 反 応 曲面 は空 色 で 表 示 さ れ て い る。 シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 と ク ー ル ノ ー 均 衡 を 寡 占 島(OligopolyIsland)の2つ の 記 念 碑 と呼 ぶ こ と に し,利 潤 水 準 を 海 水 面 と こ こで は 呼 ぶ こ とにす る 。

アニ メ ー シ ョン で見 る と企 業1の シ ュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡 とク ー ル ノ ー均 衡 の 利 潤 水 準 の 違 い を見 て 取 れ る7)。

7)本 文 と 配 色 や 表 現 が 異 な る が 類 似 の ア ニ メ ー シ ョ ン は,次 のURLに ア ク セ ス す る と 見 る こ と が で き る 。

http://www.otaru‑uc.ac.jp/〜uzawa/cal‑economics/floodOne‑c114(522‑594)jpg.

htm1

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10

pretit

図30海 水 面(利 潤 水準)が12の ときの寡 占島 の2つ の 記念碑

profi

10e

profit

図31海 水面(利 潤水 準)が48の と きの 寡 占島の2つ の記 念碑

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る

57

P=ofi

10

profiゼ

図32海 水 面(利 潤 水 準)が64の と き ク ー ル ノ ー 均 衡 の 記 念 碑 は 水 没!!

pr〔lfi

10

profit

図33海 水 面(利 潤 水準)が72の ときシ ュタ ッケル ベル ク均衡 の 記念碑 も水没!!

prof■

lo口

profit

図34海 水 面(利 潤 水準)が74の とき2つ の 記念碑 は完 全 に水没!!

さ らに,別 の 視 点 か ら企 業1の ク ー ル ノー 均 衡 と シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の 利 潤 水 準 の違 い を見 て み よ う。 図35か ら38は,企 業1の 利 潤 水 準 を144か ら次 第 に下 げ て い く画 像 の 一 部 を掲 載 した もの で あ る 。 企 業1の 利 潤 曲面 は 赤 色, 企 業2の 反 応 曲 面 は黄 色 で 表 示 され て い る。 図 に は 利 潤 水 準 で切 断 さ れ た 下 方 部 分 を表 示 して あ る 。

o[[

ゴ.〔〕O

P=otit5  ロ

ク

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図35シ ュタ ッケル ベル ク均衡 とク ール ノー均衡 の利 潤水 準 を比 べ る (利潤 水準144で 切断 した図)

シ ュ タ ッ ケ ルベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 59

oo

P=ofit fiO

40

P=ofit

図36シ ュタ ッケル ベル ク均衡 とク ール ノー均衡 の利 潤水 準 を比 べ る (利潤 水準72で 切断 した図)

図36に は企 業1の 利 潤 水 準 が72以 下 の部 分 を表 示 して い る。 企 業1に とっ て の シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 が 表 示 され る ぎ りぎ りの利 潤 水 準 で あ る が,ク ー ル ノ ー 均 衡 は まだ 十 分 表 示 さ れ て い る。 す な わ ち,企 業1に とっ て は シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の と きの ほ うが ク ー ル ノ ー均 衡 の と き よ りも利 潤 が 多 い こ とが わ か る 。 こ の こ と は 図37を 見 れ ば納 得 で きる 。 こ の と き企 業1の 利 潤 水 準 は64で あ る が,も は や シ ュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡 は 画 面 視 野 に入 って こ な い 。 図38は 企 業1の 利 潤 水 準 が40の 時 を描 い て い る。 シュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 は も ち ろ ん,

ク ー ル ノ ー均 衡 も画 面 視 野 か ら消 えて い る 。

oo

fie 4e P=ofit2

P=ofit

図37シ ュタ ッケ ルベ ル ク均衡 とクール ノ ー均衡 の場 合 の利潤 水準 を比 べ る (利潤水準64で 切 断 した図)

oe

P=ofit■o

o ⑪ 40 3 ￠

P=ofit

図38シ ュタ ッケル ベル ク均 衡 と クール ノー均 衡 の利 潤 水準 を比 べ る (利潤 水準40で 切 断 した図)

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 61 図36と37を ほ ぼ真 上 か ら見 た 図 が 図39と40で あ る 。 た だ し,企 業1の 利 潤 水 準 に 応 じて 配 色 を変 え て い る。 ピ ン ク色 か ら空 色 に 向 か っ て利 潤 額 が 増 加 して い る 。

q2

profzt

寓 ・・

5 10

ql

15 20

図39企 業1の ク ー ル ノ ー均 衡(黒 い 丸 印)と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡(青 い 丸 印) (利潤 水 準72で 切 断 し た と き を 表 示)

q2

駄

口510⊥520 P=ofztq1

図40企 業1の ク ー ル ノ ー均 衡(黒 い 丸 印) (利潤 水 準64で 切 断 し た と き を 表 示)

次 の 図41か ら43は ク ー ル ノ ー均 衡 と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 を 別 の 角 度 か ら 見 た もの の一 部 で あ る 。図 に は 明示 的 に示 して い な い が,企 業1の 反応 曲線(赤 茶 色 の 太 線)と 企 業2の 反 応 曲線(濃 紺 色 の 太 線)あ る い は企 業1の 反 応 曲面

(黄色)と の交 点 が ク ー ル ノー 均 衡 で あ る こ と を思 い起 こそ う。

口 q2

ユ[〕o profiし

図41企 業1の シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡

o

1〔[

q2

0

100 profit

[t1

図42図41を 左側 奥 か ら見 た場合 の企 業1の シュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る 63

'龍

ノ、。。

郎 、

2〔 〕 'x'

IBql

o

図43図42を や や左 か ら見 た場 合 の企 業1の シュ タ ッケル ベ ル ク均 衡

leo ptofit

孝

q2

o

図44図43を 左側 奥 か ら見 た場合 の企 業1の シ ュタ ッケ ルベ ル ク均衡

図45と46に は ク ー ル ノー 均 衡(黒 い丸 印)と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク均 衡(青 い 丸 印)の 位 置 が 示 さ れ て い る。 企 業1の 利 潤 曲 面 は赤 色 で,企 業2の 利 潤 曲 面 は 黄 緑 色 で 表 示 さ れ て い る。 図45は 利 潤 水 準72で 切 断 し,利 潤 水 準 が72以 下 の 部 分 を表 示 して い る。 図46は 利 潤 水 準64で 切 断 し,利 潤 水 準 が64以 下 の 部 分 を

表 示 して い る 。図46に は シ ュ タ ッケ ルベ ル ク 均 衡 が 表 示 され て い な い こ とか ら, 企 業1に とっ て シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 の 場 合 の ほ うが ク ー ル ノ ー均 衡 の 場 合

よ り も利 潤 が多 い こ とが わ か る。

図45シ ュ タ ッケ ルベ ル ク均衡 とクール ノ ー均 衡 を比 べ る (利潤水 準72以 下 の部分)

図46シ ュ タ ッケ ルベル ク均 衡 とク ール ノ ー均 衡 を比べ る

(利潤水 準64以 下 の部 分 を表示 したの で シュ タ ッケル ベル ク均 衡 は表示 され ない)

シ ュ タ ッ ケ ルベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 65

4.結 語

画 像 や ア ニ メ ー シ ョ ン を用 い る と シ ュ タ ッケ ルベ ル ク均 衡 や ク ー ル ノー 均 衡 の 持 つ 特 徴 が よ く理 解 で き る と思 う。 もち ろ ん,本 論 文 で 採 用 した 説 明 方 法 は 特 定 のパ ラメ ー タ に依 存 して い る が,そ の 手 法 は一 般 性 を失 っ て い な い 。 実 際 に,多 くの 基 本 的 な特 徴 を 捉 え る こ とが で き る。 特 に,MAT且EMATICAに

よ る画 像 は そ の 細 部 を 明確 に描 く こ とが 可 能 な の で 必 要 で あ れ ば そ の 点 を 中心 に し た画 像 を作 成 で き る。

ま た,イ ン タ ー ネ ッ トや ア ニ メ ー シ ョ ンを 利 用 した教 育 方 法 は従 来 の 黒 板 や OHPに よ る方 法 に比 べ て 利 点 が 多 い8)。 画 像 や ア ニ メ ー シ ョ ンの フ ァ イ ル を Webペ ー ジ に 公 開 す れ ば,学 生 は必 要 な 個 所 を好 きな 時 間 に,何 回 で も繰 り 返 して 学 習 で き る こ とが メ リ ッ トと し て上 げ られ て い る 。 も ち ろ ん 画 像 に頼 り す ぎ る の は 良 くな い が,は じめ て 経 済 学 を学 習 す る もの に と っ て は入 りや す い 方 法 の 一 つ で あ ろ う。

本 論 で 目 指 し た こ と は,CAL(ComputerAssistedLearning),CAI

(ComputerAidedInstruction),あ る い は,E‑Learningと 呼 ば れ る 方 法 を 経 済 学 に取 り入 れ よ う とす る試 みの 継 続 で あ る9)。

費 用 格 差 の あ る場 合 につ い て の 画 像 表 示 に よ る説 明 は 別 の 論 文 で扱 う。また, 他 の 多 くの経 済 モ デ ル に つ い て ア ニ メー シ ョ ン を用 い て 説 明 す る こ と を予 定 し て い る。

8)実 際,筆 者 は 平 成13年 度 か ら 「産 業 組 織 論 」の 授 業 で は プ ロ ジ ェ ク タ に コ ン ピ ュ ー タ 出 力 を 接 続 し,LAN接 続 でJavaScriptとHTMLフ ァ イ ル を 利 用 し た,ア ニ メ ー シ ョ ン フ ァ イ ル に ア ク セ 冬 し た り,パ ワ ー ポ イ ン トの ハ イ パ ー リ ン ク 機 能 を 用 い て ア ニ メ ー シ ョ ン を 見 せ,学 生 の 興 味 を 引 く こ と が で き て い る 。

9)筆 者 の 作 成 し た,ミ ク ロ 経 済 学,マ ク ロ 経 済 学,産 業 組 織 論 お よ び ゲ ー ム 理 論 に つ い て のComputerAssistedLearninginEconomicsP⑳grams14本 は 画 像 を 中 心 に し た も の で あ る が,以 下 のWebペ ー ジ に 公 開 し て い る 。 そ のURLは

http://www.otaru‑uc.ac.jp/〜uzawa/cal‑economics/cal‑win.html

で あ る 。

付 録1ア ニ メ ー シ ョ ン 作 成 の 方 法 に つ い て

1.MATHEMATICAの プ ロ グ ラ ム を 作 成 し(付 録2を 参 照),画 像 を 表 示 さ せ る 。

2.そ の 画 像 をHTML/MathML形 式 で 保 存 す る 。 任 意 の フ ォ ル ダ のimages フ ォ ル ダ 内 にindex ̲gr̲*.gifフ ァ イ ル が 作 成 さ れ る 。*に は 数 字1か ら の 通 し番 号 が 入 る 。

3.MATHEMATIcAの プ ロ グ ラ ム を 作 成 し,gifフ ォ ー マ ッ ト形 式 の 画 像 (index̲gr̲*.gif)をjpeg形 式 の 画 像(xxxx*.jpg)に 変 換 す る 。xxxx は 指 定 し た 任 意 の 文 字 列,*に は 既 定 の 数 字 の 通 し 番 号 が 入 る 。 フ ァ イ ル 名 の 一 部 を 既 定 値 の"index ̲gr̲"か ら"xxxx"に 変 え る の は 画 像 管 理 上 混 乱 を 起 こ さ な い た め の 工 夫 で あ る 。

4.HTMLとJavaScriptを 用 い て ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る(付 録3お よ び4 を 参 照)。 具 体 的 に は,画 像 を1枚1枚 コ マ 送 り す る プ ロ セ ス はJavaS‑

criptを 用 い た プ ロ グ ラ ム を 用 い る 。 こ のJavaScriptプ ロ グ ラ ム を 且TMLフ ァ イ ル に 取 り込 み,画 像 の 説 明 をHTML文 書 で 行 う 。

5.JavaScriptプ ロ グ ラ ム で 処 理 で き る 画 像 操 作 は,次 の7種 類 で あ る 。 「(既 定 値 で)ス タ ー ト(start)」,「 ス ト ッ プ(stop)」,「 一 つ 前 の 画 像 へ 戻 る (backward)」,「 一 つ 先 の 画 像 へ 移 動 す る(forward)」,「(直 前 に 設 定 し て あ る 表 示 速 度 で)再 ス タ ー ト(Restart)」,「 コ マ 送 り の 表 示 速 度 を 早 く す る(quick)」,お よ び,「 コ マ 送 り の 表 示 速 度 を 遅 く す る(slow)」 で あ る(付 録4を 参 照)。

6.InternetExplorerやNetscapeNavigatorな ど の ブ ラ ウ ザ でHTMLフ ァ イ ル を 表 示 す る と,寡 占 理 論 の ア ニ メ ー シ ョ ン を 見 る こ と が で き る 。ア ニ メ ー シ ョ ン を 利 用 す る と,企 業1と 企 業2の 利 潤 曲 面,最 適 反 応 点,そ の 軌 跡 で あ る3次 元 に お け る 反 応 曲 線,企 業2の 反 応 曲 面(反 応 曲 線 を 含 む 平 面) と 企 業1の 利 潤 曲 面 の 共 通 部 分 で 企 業1の 利 潤 を 最 大 に す る,「 企 業1が 先 導 者 の 場 合 の シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 」 を 理 解 し や す く な る 。

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る67

付 録2図1,2お よ び8を 表 示 す る た め のMATHEMATICAプ ロ グ ラ ム 以 下 の プ ロ グ ラ ム で(**)で 囲 ま れ た 部 分 は コ メ ン トで あ る 。

図1を 描 く プ ロ グ ラ ム (*企 業1の 利 潤 関 数*) ff=(aa‑cc‑(x十y))x

(*需 要 曲 線 の 切 片 と 費 用 関 数 の パ ラ メ ー タ の 設 定*) aa=25;cc=1;

(*利 潤 額 に 応 じ て 色 を 変 え る た め の 指 定*) colfunFF22[z ̲]:=Hue[‑0.35+0.8z,1,1]

(*利 潤 曲 面 を 描 く*) ffsurf22=Plot3D[

ff,{x,O,aa‑cc},{y,0,aa‑cc}, PlotPoints‑>25,

P1。tR、nge‑〉{O,((aa‑cc)/2)・2},

AxesLabel‑〉{"q1","q2","profit"}, BoxRatios→Il,1,0.6},

ClipFill‑>None,

ViewPoint‑〉{‑1,‑2,1},

ColorFunction‑>colfunFF22

]

図2を 描 く プ ロ グ ラ ム

(*等 利 潤 線 の 色,太 さ を 指 示 す る 関 数 の 設 定 プ ロ シ ー ジ ャ*) isoOneHueThick[profit ̲,hh̲,ss̲,bb̲,thk̲]:=ParametricPlot3D[

{x,aa‑cc‑x‑profit/x,profit,{Hue[hh,ss,bb],Thickness[thk]}}, {x,0.001,aa‑cc},

AxesLabel‑〉{"q1","q2","profit"},

PlotRange‑〉{{O,aa‑ccl,{0,aa‑cCl,{O,((aa‑cc)/2)^2}}, DisplayFunction‑>ldentity

]

(*色 を 変 え,太 さ は 一 定 で 等 利 潤 線 を145本 描 く*) paiOneGradation=Show[Table[

isoOne且ueThick[profit,1‑profit/160・,1,1,0.01],{profit,O,144}

コ,

PlotRange‑〉{{O,aa‑cc},{O,aa‑cc},{0,((aa‑cc)/2)^2}}, BoxRatios‑〉{1,1,0.6},

ViewPoint‑〉{‑1,‑1.5,1,2}, DisplayFunction‑〉$DisplayFunction

コ

図8を 描 く プ ロ グ ラ ム 99=(aa‑CC‑(x十y))y aa=25;cc=1;

(*企 業2の 利 潤 曲 面 を 利 潤 水 準,色 を 指 定 し て 描 く プ ロ シ ー ジ ャ*) ggsurfHue[profitTwo̲,hh̲,ss̲,bb̲]:=

Plot3D[{gg,且ue[hh,ss,bb]},{x,0,aa‑cc},{y,0,aa‑cc}, PlotPoints‑>25,

PlotRange‑〉{{0,aa‑cc},{0,aa‑cc},{O,profitTwo}}, AxesLabel‑〉{"q1","q2","profit"},

BoxRatios‑〉{1,1,0.6},

ClipFill‑>None,

ViewPoint‑〉{1,1,1},

DisplayFunction‑>ldentity

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る 69

]

(*企 業1の 生 産 量 を 通 る 平 面 を 生 産 量,利 潤 水 準,色 を 指 定 し て 描 く プ ロ シ ー ジ ヤ*)

q1Plane[qL,profit̲,hh̲,ss̲,bb̲コ:=ParametricPlot3D[

{qi,y,z,Hue[hh,ss,bb]},{y,0,aa‑cc},{z,0,profit}, Shading‑>True,

PlotRange‑〉{{0,aa‑cc},{0,aa‑cc},{0,((aa‑cc)/2)^2}}, DisplayFunction‑>Identity

]

(*企 業2の 反 応 曲 線 の 一 部 を 利 潤 水 準 の 最 小 値 と 最 大 値,色 を 指 定 し て 描 く プ ロ シ ー ジ ャ*)

reactionTwoBand[profitMin ̲,profitMax̲,hh̲,ss̲,bb̲,thk̲]:

=ParametricPlot3D[

{x,(aa‑cc‑x)/2,((aa‑cc‑x)/2)^2,{]日[ue[hh,ss,bb],Thickness [thk]}},

{x,aa‑cc‑2Sqrt[profitMax],aa‑cc‑2Sqrt[profitMin]}, BoxRatios‑〉{1,1,0.5},

AxesLabe1‑〉{"q1","q2","profit"1,

PlotRange‑〉{{0,aa‑cc},{0,aa‑cc},{0,((aa‑cc)/2)^2}1, DisplayFunction‑>ldentity

]

(*企 業2の 最 適 反 応 点 を 禾網 水 準,色 を 指 定 し て 描 く プ ロ シ ー ジ ャ*) bestResponseTwo[profit ̲,hh̲,ss̲,bb̲,sz̲]:=

Graphics3D[{Hue[hh,ss,bb],PointSize[sz],

Point[{aa‑cc‑2Sqrt[profit],(aa‑cc‑(aa‑cc‑2Sqrt[profit]))

/2,profit}]1,

PlotRange‑〉{{O,aa‑cc}

]

{0,aa‑cc},{profit‑1,profit+1}}

(*企 業2の 最 適 点 の 軌 跡,す な わ ち,3‑D空 間 に お け る 反 応 曲 線 を 導 出 す

る 画 像 を 描 く プ ロ シ ー ジ ャ*) deltaTwo=0.000001;

firmTwoReaction=Partition[Table[Show[

ggsur田ue[((aa‑cc‑x)/2)^2,0.32,0.8,1], q1Plane[x,((aa‑cc)/2)^2,0.85,0.7,1],

reactionTwoBand[((aa‑cc‑x)/2)^2,((aa‑cc)/2)^2,0.65,1,0.8, 0.01],

bestResponseTwo[((aa‑cc‑x)/2)^2,0.65,1,0.5,0.035], Graphics3D[Text["q1=",{13,16,200}]],

Graphics3D[Text[0.01*Round[(x‑deltaTwo)*100],{18,15, 212}]],

Graphics3D[Text["q2=r2(q1)=",{19,14,200}]], Graphics3D[

Text[0.01*Round[((aa‑cc‑(x‑deltaTwo))/2)*100],{26,15, 212日],

Graphics3D[Text["profit=",{‑5,5,190}]], Graphics3D[

Text[0.01*Round[((aa‑cc‑(x‑deltaTwo))/2)^2*100],{6,7.2, 202}]],

PlotRange‑〉{{0,aa‑cc+2deltaTwo},{0,aa‑cc},{O,((aa‑cc)/2)

^2}}

,

BoxRatios‑〉{1,1,0.6},

ViewPoint‑〉{1,‑1.2,1},

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る

DisplayFunction‑>ldentity ],

{x,0+deltaTwo,aa‑cc+deltaTwo}],3

刀

]

(*企 業2の 反 応 曲 線 を 導 出 す る 画 像 を 表 示 す る*) Show[

GraphicsArray[firmTwoReaction], DisplayFunction‑〉$DisplayFunction ]

付 録3JavaScriptリ ス ト

〈ScriPtLanguage=〕JavaScript1.1"〉

〈1‑

varTimeSet1=300;

varImageSetA=142;

varImageSetStart=142;

varImageSetEndニ179;

ANIMA=newArrayO;

fbr(i=lmageSetStart;i〈lmageSetEnd+1;i++){

ANIMA[i]=newImageO;

AMMA[i].src="images/s113a"+i+".jpg";

「

functionanimelO{

document.animation.src=ANIMA[lmageSetA].src;

ImageSetA++;

if(lmageSetA>ImageSetEnd){

ImageSetA=lmageSetStart;

「

timerlD=setTimeout("animelO",TimeSet1);

}

fUnctionanime20{

ImageSetA++;

if(lmageSetA>ImageSetEnd){

ImageSetA=lmageSetStart;

}

document.animation.src=ANIMA[lmageSetA].src;

}

functionanime3(){

ImageSetA‑一;

if(lmageSetA〈lmageSetStart){

ImageSetA=lmageSetEnd;

}

document.animation.src=ANIMA[lmageSetAコ.src;

}

functionstoPlO{

clearTimeout(timerlD);

「 //一 一〉

〈/Script>

付 録4HTMLリ 客 ト の 一 部

『

〈IMGSRC="images/s113a"+ImageSetStart+".jpg"Name="animation"

Alt="animation"BORDER=OWidth="288"且eight="288"Align="left"〉

〈FORM>

〈INPUTTYPE="button"VALUE="start"onClick="TimeSetl=300;

シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 る73

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参 考 文 献

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Cournotmodel,"鵜 沢 編 『コ ン ピ ュ ー タ 利 用 に よ る 経 済 学 学 習 プ ロ グ ラ ム と 実 験 経 済 学 』(平 成10・11年 度 科 学 研 究 費 補 助 金 基 盤 研 究(C(2)))(課 題 番 号:

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鵜 沢 秀[2000b]「MATHEMATICAの グ ラ フ ィ ッ ク ス 機 能 を 利 用 し て ク ー ル ノ ー 均 衡 を 見 る あ な た が ク ー ル ノ ー ・モ デ ル の パ ラ メ ー タ を 変 更 で き る 」 小 樽 商 科 大 学 情 報 処 理 セ ン タ ー 広 報11号,pp.11‑25.

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鵜 沢 秀[2001]「 寡 占 島 の2つ の 記 念 碑 を ア ニ メ ー シ ョ ン で 見 よ う ク ー ル ノ ー 均 衡 と シ ュ タ ッ ケ ル ベ ル ク 均 衡 」(2001年),Webペ ー ジ のURLは 以 下 の と お り で あ る:

http://www.otaru‑uc.ac.jp/'uzawa/cal‑economics/mathanim.html(日 本 語 版) http://www.otaru‑uc.ac.jp/nyuzawa/cal‑economics/mathanim‑e.html(英 語 版)

Wolfram,Stephen[1999】,TheM4THEM4TICAbook,4thed.MathematicaVersion

4,WolframMedia,CambridgeUniversityPress、

シ ュ タ ッケ ル ベ ル ク均 衡 を ア ニ メ ー シ ョ ンで 見 る

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Summary

ThisisnewapproachtoteachstudentsStackelbergequilibrium(andCournot equilibrium)inDuopolygameusinganimation.Weassumeconstantmarginalcost andlineardemandfunctionfortwofirms。Weconsider2stagegamewherefirm lisafirstmoverandfirm2isasecondmover.ThisiswellknownStackelberg

、duopolymodelwherefirmlisaleaderandfirm2isafollower.Followingthe establishedformula,weusebackwardinductionapproachtosolveforthisgame.

Atthesecondstage,wesolvef6rthefirm2'sbestresponsefunction(reactionfunc‑

tionorcurveintheCournotmodel)usingAnimationwhosefiguresaremadeby MATHEMATICAandrunbyJavaScriptandHTML.Youwillseesomeofthe programlistsinAppendices2‑4.Atthefirststage,wewillfindtheStackelberg equilibriumintheregionwhichconsistsofthecrosspointsoffirm.1'sprofitsur‑

faceand且rm2'sreactionplane(i.e.,thegeneralizedreactioncurveinthe3‑D space).WecomparetheStackelbergequilibriumwiththeCournotonewith severalpointsofview.Ihopeyouwillbesatisfiedwithmy.animationsinthe3‑D space.AssociatedanimationsareseenatthefollowingURLofmyWebsite:

http://www.otaru‑uc.ac.jp/弾uzawa/cal‑economics/mathanim‑e.html