冬学期 全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」
レポート問題 ( その５ )
問1. n= 1,2,3,· · · に対して,
In(x) = Z x
0
dt (t2+ 1)n とする. このとき, 以下の問に答えよ.
(1) In(x) の被積分関数を,
1
(t2+ 1)n = (t)0 (t2 + 1)n
と考えて部分積分を施すことにより, n = 1,2,3,· · · に対して, 2nIn+1(x) = (2n−1)In(x) + x
(x2+ 1)n となることを示せ.
(2) I1(x), I2(x), I3(x)を求めよ.
問2. 次の関数の原始関数を求めよ.
(1) 1
x3−1 (2) 1
x4 −1 (3) x2
x4−1
(4) 1
(x+ 1)(x3+ 1) (5) x5 (x2+ 1)3
1
