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日本機械学会［

No.137-1

］北陸信越支部 第

50

期総会・講演会 講演論文集 [

2013.3.9

福井市]

1115

分子動力学法による異方性くさび領域接合界面の力学特性評価

Evaluation of mechanical properties for interface in anisotropic wedge joints using molecular dynamics

○ 鈴木 庸靖(長岡技科大)

正 古口 日出男(長岡技科大)

Nobuyasu SUZUKI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamioka, Nagaoka, Niigata

Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamioka, Nagaoka, Niigata Key Words: Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress, interface energy

1.

緒言

本研究では，分子動力学法を用いてナノスケールの異方 性異材接合体の表面・界面特性および界面端部の特異応力 場の特性について調べる．二つの異なる材料から成る接合 体のくさび形切欠先端近傍における原子応力の分布を調べ，

界面上の原子応力分布の特性評価および

Stroh

形式を用い た特異性オーダの解析と分子動力学法の解析との比較を行 う．

2.

分子動力学法

本研究では分子動力学法を用いて解析を行う．分子動力 学法では原子の動きを以下のようなニュートン運動方程式 により求める．

^m

!

a

^!

= F

^!

= !E

^!

!r

^!"

(1)

ここで

m

^αは原子

α

の原子質量，

a

^αは原子

α

の加速度，

F

^αは 原子

α

に加わる力，

E

^αは原子

α

のもつポテンシャルエネルギ，

r

^αβは原子

α

，

β

間の距離を表す．

本研究では式(1)のポテンシャルエネルギEにGEAMポテ ンシャル⁽¹⁾を用いた．

3. 弾性係数，界面エネルギ，界面応力，界面弾性係数

原子レベルで不連続構造体における有効な弾性係数とし て原子弾性係数

C

^α，原子応力

σ

^αがある．原子弾性係数，

原子応力はそれぞれ以下の式で表される⁽²⁾．

C

_ijkl^!

= 1

!

^!

"

²

E

_!

""

ij

""

kl

,#

ij

= 1

!

^!

"E

_!

""

ij

(2)

ここで，

Ω

^αは原子

α

に対するボロノイ多面体の体積である．

また

ε

ijは

i，j

方向のひずみである．

界面エネルギは界面ひずみ

ε

の関数で次式のように表さ れる．

^{! ( "}

^ij

^{) = !}

0

+ #

⁰

"

ij

+ 1

2 d

⁰ijkl

"

ij

"

kl

(3)

ここで，

γ

⁰，

τ

⁰，d⁰はそれぞれ無ひずみ状態における界面エ ネルギ，界面応力テンソル，界面弾性係数を表す．

原子レベルで不連続構造体における有効な原子界面応 力

τ

^α，原子界面弾性係数

d

^αを次式で求める．

!

ij

"

= a

!

^"

"#

^"

"$

_ij

, d

_ijkl^"

= a

!

^"

"

²

#

^"

"$

_ij

"$

_kl

(4)

ここで，

a

はレイヤー厚さである．

4.

界 面 特 性 を 考 慮 し た 特 異 応 力 場 の 算 出 方 法

図 1 のようなモデルの異種材料界面角部の特異応力場は 角部の特異点を原点として,特異点からの距離

r，界面に対

する角度を

θ

とすると次式で表される

.

!

ij

= K

ij

m

f

ij m

(")

m=1 n

! ^r

^"#m

(5)

ここで，

K

ijは応力集中の大きさを表す応力拡大係数であり，

λ

は特異性固有値，

f(θ)

は角度関数である．

界面特性を考慮した特異性固有値は以下のように求めら れる⁽³⁾

．K

は材料定数と角度から成る

6×6

の行列であり，

次式で求められる．

K = K

1

K

2

K

3

K

4

!

"

# #

$

%

&

&

p

^*

0 ' ( )

*) + , ) -)

= ! G

_{1 1( )}

" G

_{1 0}^.1_{( )}

p ˆ

*1

1.!

( ) "

1

^{p ˆ}

*1

.1+!

( ) "

0

⁰

0 p ˆ

*11.!

( ) "

1

^{p ˆ}

^*1.1+!

( ) ^"

⁰

!

"

# #

#

$

%

&

&

&

. A

2

A

2

B

2

B

2

!

"

# #

$

%

&

&

G

_{2 2}^.1_{( )}

p ˆ

*2

1.!

( ) "

1

^{p ˆ}

*2

.1+!

( ) "

2

⁰

0 p ˆ

*2

1.!

( ) "

1

^{p ˆ}

*2 .1+!

( ) "

2

!

"

# #

#

$

%

&

&

&

$

%

&

&

&

p

^*

0 ' ( )

*) + , ) -)

= 0 0 ' ( )

*) + , ) -)

(6)

ここで，

K

iは

3×3

の小行列，

p

^＊は変位の固有ベクトル，山 括弧<>は

3×3

の対角行列を示し，Akと

B

kは

Stroh

固有ベ クトルによって与えられる各材料の行列，

p

jは

Stroh

の固 有値，￣は共役複素数を表す⁽⁴⁾．

θ

iは図

1

のモデルにおけ る角度を表す．

G

k(s)は

6×6

の行列であり次式で定義される．

G

k s( )

= !

k

A

k

A

k

B

k

B

k

"

#

$ $

%

&

' ' ( H

10s

( H

21s

! ! )

* + ,

- .!

k

0 0

A

k

A

k

"

#

$ $

%

&

' '

(7) ここで

!

_k

=

cos! sin! 0

!sin! cos! 0

0 0 1

"

#

$ $

$

%

&

' ' '

, H

_10k

= 1

! d

1111i

k a( )

0 d

1131i k a( )

0 0 0

d

3111i

k a( )

0 d

3131i k a( )

!

"

# #

# #

$

%

&

&

&

&

, H

21k

=

d

a1111i

k a( )

0 d

a1131i

k a( )

0 !

a11i k a( )

0 d

_a1131i^{k a( )}

0 d

_a3131i^{k a( )}

!

"

# #

#

#

$

%

&

&

&

&

(8)

ここで，

!

は応力場の代表寸法である．

p

^＊が自明の解を持 たないための条件として次式を得る．

^K

³

^{= 0}

(9)

式(9)より固有値

λ

を求めることができる．

変位の角度関数

m

kと応力の角度関数

f

kを次式で表す．

m

_k

f

_k

!

"

#

$#

%

&

# '#

= A

_k

A

_k

B

_k

B

_k

( )

*

*

+

,

-

- G

_{k ( j )}

p ˆ

_!k^1"!

(" ) ˆ p

_!k^"1+!

("

2

) 0 0 p ˆ

_!k^1"!

(") ˆ p

_!k^"1+!

("

2

)

#

$

% %

%

&

' ( ( (

p

^!

0 )

* + ,+

- . + /+

(10)

Fig.1 Multi-wedge model Fig.2 Model for analysis

5.

解 析

5・ 1

解析モデル

接合体として図

2

のようなΓ_３を界面とし異材界面角部 を有するモデルを用いた.

Γ

0の外向き法線方向に

100MPa

の力を加える．Γ1とΓ２は自由表面である．また， 界面

が

[100]

になるような結晶構造を持つ．

MD

解析に用いたモ

デルは

r=7nm

とし，厚さは約

2nm

とした．開き角

ω

が

90°

から

170°

まで

10°

刻みで変え，モデル全体の原子数は

7,000

~15,000個である．計算中の温度変化は

0K

から計算を始 め，

5ps

後に

5K

まで上げ，その後

35ps

から

45ps

後までに

0K

に減少し，50psで計算を終える．

z

方向には周期境界条 件を設定した．また界面で整合界面になるようにした．

Material 1，2

はそれぞれ

Cu, Au

とした．

5・ 2

MD 法による応力分布解析

MD

法により応力分布の解析を行った．開き角

90°

から

170°

まで

20°

刻みで

z =0

面上においての応力

σ

yyの分布を図

3

に示す．図

3

より開き角

ω

が大きくなるにしたがって界 面から

65°

，

-70°

方向の応力と界面端部の応力が大きくなっ ていることがわかる．図

4

に各開き角における界面上の応 力分布を両対数で示す．図

4

より界面応力が角部に向けて 変化し，角部先端で異なる傾向が出てくることがわかる．

ω=170° ω=150°

ω=130° ω=110° ω=90°

Fig.3 Contour map of stress

Fig.4 Distribution of stress σ

yy

along the interface 5

・

3

固有値解析結果と MD 法を用いた界面応力の比較

開き角

170°

における固有値解析の結果と

λ

1を

! + !!

^!式 で近似した結果を図

5

に示す．

λ

1は角部先端に近づくにつ れ大きくなり，

λ

3も変化は小さいが

λ

1と同じ傾向を示す．

λ

2は変化せず一定の値であった．図

6

は開き角

ω=170°にお

ける界面上の応力分布であり

,

実線は固有値解析により求 められた値

λ

1より

4.8!

^!!!式を用いて決定した．

Fig. 5 A variation of the order of stress singularity

Fig. 6 Distribution of stress σ

yy

along the interface 5.

結 言

MD

法によりくさびのあるモデルの応力分布を求めた．

界面上の応力分布を

MD

法と固有値解析により求めた．

参 考 文 献

(1)

X.W.Zhou, H.N.G.Wadley, R.A.Johnson, Atomic Scale Structure of Sputtered Metal Multilayer, Acta mater., 49, pp.4005-4015, (2001).

(2) 泉 聡志,原 祥太郎, 熊谷 知久, 酒井 信介, 半導体 材料 の界面応力/弾性定数の原子レベル評価, 機械学会 講演 論文集, No03-06, (2003).

(3)

Koguchi H., Analysis for Stress Singular Fields near a Wedge Corner in 2D Joints Considering Interface Elasticity, Technical Paper(Reviewed paper), ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress & Exposition.

(4)

Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford University Press, (1996), pp.134-263.

Γ

1

Γ

2

Material 1

Material 2 Γ

3

x z

y

ω a ω

Γ _o r θ

Material 2

x1

x2

rθ Material 1

θ1 θ0

θn

6 1

2 3 4 5 6 10

atomic stress m

yy

, GPa

0.1 ^{2 3 4 5 6 7} 1 ^{2 3 4 5 6 7} 10

After subtraction 4.8

^h1 0.50

0.49 0.48 0.47

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

1 2 3

0.4993+0.000082273

6 8

1

2 4 6

10

8 2

atomic stress m

yy

, GPa

3 4 5 6 7 8 9

1

^{2 3 4 5 6 7}

, nm Angle t

160° 150°

140° 130°

120° 110°

100° 90°