1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S 食料消費、食料価格、消費者所得の指数(1957-59=100)
年次 1人当たり食料消費 食料価格 消費者所得 lnq lnp lny 回帰分析
1927 88.9 91.7 57.7 1.95 1.96 1.76 概要
1928 88.9 92.0 59.3 1.95 1.96 1.77
1929 89.1 93.1 62.0 1.95 1.97 1.79 回帰統計
1930 88.7 90.9 56.3 1.95 1.96 1.75 重相関 R 0.9865 =決定係数の平方根 0.9865 1931 88.0 82.3 52.7 1.94 1.92 1.72 重決定 R2 0.9731 =決定係数 0.9731 =L14/L16 1932 85.9 76.3 44.4 1.93 1.88 1.65 補正 R2 0.9711 =自由度調整済み決定係数 0.9711 =1-(L15/27)/(L16/29)
1933 86.0 78.3 43.8 1.93 1.89 1.64 標準誤差 0.0045 =SQRT(残差平方和/自由度) 0.004477 =SQRT(L15/K15)
1934 87.1 84.3 47.8 1.94 1.93 1.68 観測数 30 =オブザベーション数
1935 85.4 88.1 52.1 1.93 1.94 1.72 F分子の自由度、分母の自由度 に従う 0.000
1936 88.5 88.0 58.0 1.95 1.94 1.76 分散分析表(ANOVA) Pr (x >= F ) の値=FDIST(N14,K14,K15) 1937 88.4 88.4 59.8 1.95 1.95 1.78 自由度 変動 分散 観測された分散比 有意 F
1938 88.6 83.5 55.9 1.95 1.92 1.75 回帰 2 0.0196 0.0098 488.3 0.000 ESS
1939 91.7 82.4 60.3 1.96 1.92 1.78 残差 27 0.0005 0.0000 RSS 制約検定で使う
1940 93.3 83.0 64.1 1.97 1.92 1.81 合計 29 0.0201 TSS
1941 95.1 86.2 73.7 1.98 1.94 1.87
1948 96.7 105.3 82.1 1.99 2.02 1.91 係数 標準誤差 t P-値 下限 95% 上限 95% 下限 95.0% 上限 95.0%
1949 96.7 102.0 83.1 1.99 2.01 1.92 切片 1.7577 0.0591 29.8 0.000 1.6365 1.8789 1.6365 1.8789
1950 98.0 102.4 88.6 1.99 2.01 1.95 lnp -0.1189 0.0404 -2.9 0.007 -0.2017 -0.0361 -0.2017 -0.0361
1951 96.1 105.4 88.3 1.98 2.02 1.95 lny 0.2412 0.0134 17.9 0.000 0.2136 0.2687 0.2136 0.2687
1952 98.1 105.0 89.1 1.99 2.02 1.95
1953 99.1 102.6 92.1 2.00 2.01 1.96 重複部分は削除！
1954 99.1 101.9 91.7 2.00 2.01 1.96
1955 99.8 100.8 96.5 2.00 2.00 1.98
1956 101.5 100.0 99.8 2.01 2.00 2.00
1957 99.9 99.8 99.9 2.00 2.00 2.00
1958 99.1 101.2 98.4 2.00 2.01 1.99
1959 101.0 98.8 101.8 2.00 1.99 2.01
1960 100.7 98.4 101.8 2.00 1.99 2.01
1961 100.8 98.8 103.1 2.00 1.99 2.01
1962 101.0 98.4 105.5 2.00 1.99 2.02
最小二乗法による係数の推計
y
x
x
1 1 1
2
,
2,
2n n n
x x y y
x x y y
x y
x x y y
2
( 1, 2, , ) ,
- ( )
i i i
i
i i i
y x i n
y x
y y x x y x
y x
を最小化するように を決める。
を辺々から引いて纏めると
の「長さ」を最小にするように を決める。
は
から求める。
( ) ( ) 0
(( ) ( ))( ) 0
( )( )
( )( )
i i i
i i yx
i i xx
x y x x y x x
y y x x x x
x x y y S x x x x S
直交
最小二乗法による係数の推計
y
x z
x z
x 1
x 2
x 3
直交
( )
( )
x y x z x
z y x z z
( )
( )
xx zx xy
zx zz yz
S S S
y x z x
S S S
y x z z
2
,
2zz xy zx yz xx yz zx xy
xx zz zx xx zz zx
S S S S S S S S
S S S S S S
と で張られる「超」平面
x z
Waugh の定理
• 重回帰分析での β の値 (1) ：
• y から z の影響を除いたもの (2) ：
• x から z の影響を除いたもの (3) ：
• (3) で (2) を説明する回帰式の係数：
2
zz xy zx yz
xx zz zx
S S S S S S S
{ }
yz z
zz
y y S z
S
{ }
zx z
xx
x x S z
S
2 2
2
'
2
yz yz xz yz
xz xz
i i i i xy yz xz zz
xy zz xz yz
zz zz zz zz zz zz
xz xz xx zz xz
xz xz
xx zx zz
i i i i
zz zz
zz zz
S S S S
S S
x z y z S S S S
S S S S
S S S S S S
S S S S S
S S
S S S
x z x z
S S
S S
{ } { }
{ } { }
'
z zZ z
x y
x x
S
S
Waugh's Theorem
Aggregated production function of U.S.A. 1929-1967
Year Q L1 L2 K1 K2 ln(Q) ln(L1) ln(K1) t ln(Q)_t ln(L)_t ln(K)_t 概要 lnQ_t = a+b lnL_t +c lnK_t
1929 189.8 173.3 44.2 87.8 888.9 5.25 5.16 4.48 1 0.309 0.147 0.271
1930 172.1 165.4 41.9 87.8 904.0 5.15 5.11 4.48 2 0.172 0.082 0.239 回帰統計
1931 159.1 158.2 36.9 84.0 900.2 5.07 5.06 4.43 3 0.054 0.019 0.163 重相関 R 0.9471
1932 135.6 141.7 35.7 78.3 883.6 4.91 4.95 4.36 4 -0.146 -0.110 0.060 重決定 R2 0.8969
1933 132.0 141.6 35.5 76.6 851.4 4.88 4.95 4.34 5 -0.212 -0.129 0.006 補正 R2 0.8912
1934 141.8 148.0 37.9 76.0 823.7 4.95 5.00 4.33 6 -0.180 -0.103 -0.035 標準誤差 0.0323
1935 153.9 154.4 39.0 77.7 805.3 5.04 5.04 4.35 7 -0.138 -0.079 -0.045 観測数 39
1936 171.5 163.5 40.8 79.1 800.4 5.14 5.10 4.37 8 -0.069 -0.041 -0.059
1937 183.0 172.0 42.5 80.0 805.5 5.21 5.15 4.38 9 -0.043 -0.009 -0.081 分散分析表
1938 173.2 161.5 40.0 77.6 817.6 5.15 5.08 4.35 10 -0.138 -0.090 -0.143 自由度 変動 分散 観測された分散比有意 F
1939 188.5 168.6 41.4 81.4 809.8 5.24 5.13 4.40 11 -0.093 -0.066 -0.128 回帰 2 0.33 0.16 156.62 0.000
1940 205.5 176.5 43.1 87.0 814.1 5.33 5.17 4.47 12 -0.046 -0.038 -0.094 残差 36 0.04 0.00
1941 236.0 192.4 46.6 96.2 830.3 5.46 5.26 4.57 13 0.053 0.029 -0.026 合計 38 0.36
1942 257.8 205.1 49.0 104.4 857.9 5.55 5.32 4.65 14 0.102 0.075 0.024
1943 277.5 210.1 49.7 110.0 851.4 5.63 5.35 4.70 15 0.136 0.080 0.044 係数 標準誤差 t P-値 下限 95% 上限 95%
1944 291.1 208.8 48.7 107.8 834.6 5.67 5.34 4.68 16 0.144 0.056 -0.009 切片 0.000 0.005 0.000 1.000 -0.010 0.010
1945 284.5 202.1 47.1 102.1 819.3 5.65 5.31 4.63 17 0.082 0.005 -0.096 ln(L)_t 1.341 0.090 14.886 0.000 1.159 1.524
1946 274.0 213.4 50.0 97.2 812.3 5.61 5.36 4.58 18 0.005 0.041 -0.177 ln(K)_t 0.292 0.059 4.955 0.000 0.173 0.412
1947 279.9 223.6 52.4 105.9 851.3 5.63 5.41 4.66 19 -0.014 0.069 -0.124
1948 297.6 228.2 53.3 113.0 888.3 5.70 5.43 4.73 20 0.008 0.071 -0.091
1949 297.7 221.3 51.5 114.9 934.6 5.70 5.40 4.74 21 -0.031 0.021 -0.107 概要 lnQ_t = a+b lnL + c lnK +d t
1950 328.9 228.8 53.0 124.1 964.6 5.80 5.43 4.82 22 0.029 0.036 -0.062
1951 351.4 239.0 55.1 134.5 1021.4 5.86 5.48 4.90 23 0.056 0.061 -0.014 回帰統計
1952 360.4 241.7 55.4 139.7 1068.5 5.89 5.49 4.94 24 0.042 0.054 -0.009 重相関 R 0.9977
1953 378.9 245.2 56.2 147.4 1100.3 5.94 5.50 4.99 25 0.052 0.050 0.013 重決定 R2 0.9954
1954 375.8 237.4 54.4 148.9 1134.6 5.93 5.47 5.00 26 0.005 -0.001 -0.010 補正 R2 0.9950
1955 406.7 245.9 55.7 158.6 1163.2 6.01 5.50 5.07 27 0.044 0.016 0.021 標準誤差 0.0327
1956 416.3 251.6 56.8 167.1 1213.9 6.03 5.53 5.12 28 0.028 0.020 0.041 観測数 39
1957 422.8 251.5 56.8 171.9 1255.5 6.05 5.53 5.15 29 0.004 0.001 0.037
1958 418.4 245.1 55.0 173.1 1287.9 6.04 5.50 5.15 30 -0.046 -0.043 0.011 分散分析表
1959 445.7 254.9 56.2 182.5 1305.8 6.10 5.54 5.21 31 -0.022 -0.022 0.032 自由度 変動 分散 観測された分散比有意 F
1960 457.3 259.6 56.7 189.0 1341.4 6.13 5.56 5.24 32 -0.036 -0.023 0.035 回帰 3 8.04 2.68 2498.73 0.000
1961 466.3 258.1 56.2 194.1 1373.9 6.14 5.55 5.27 33 -0.056 -0.047 0.029 残差 35 0.04 0.00
1962 495.3 264.6 57.1 202.3 1399.1 6.21 5.58 5.31 34 -0.035 -0.041 0.038 合計 38 8.07
1963 515.5 268.5 57.5 205.4 1436.7 6.25 5.59 5.32 35 -0.035 -0.044 0.021
1964 544.1 275.4 58.5 215.9 1477.8 6.30 5.62 5.37 36 -0.020 -0.038 0.038 係数 標準誤差 t P-値 下限 95% 上限 95%
1965 579.2 285.3 60.1 225.0 1524.4 6.36 5.65 5.42 37 0.003 -0.021 0.047 切片 -3.015 0.454 -6.647 0.000 -3.936 -2.094
1966 615.6 297.4 62.1 236.2 1582.2 6.42 5.70 5.46 38 0.024 0.002 0.063 ln(L1) 1.341 0.091 14.677 0.000 1.156 1.527
1967 631.1 305.0 63.2 247.9 1645.3 6.45 5.72 5.51 39 0.009 0.009 0.079 ln(K1) 0.292 0.060 4.886 0.000 0.171 0.414
Source: Christensen and Jorgenson, "US Real Product and Real factor Input 1929-67", Review of Income and Wealth, 1970. t 0.005 0.002 2.337 0.025 0.001 0.010
