折り紙の作図可能性について
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(2) 1. 目 次 は じめに. 6. 基 礎 概 念 と ユ ー ク リ ッ ド作 図 6. 第1章. 3. 作 図 に つ い て...... 1.2. 体 の 拡 大........ 1.3. ユ ー ク リ ッ ド 作 図 可 能 性.. 1.4. ギ リ シ ャ の 作 図 不 可 能 問 題... 2 1. 1.1. 6 1. 6 2 6 2. 折 リ紙 作 図 折 り紙 作 図 手 順04,05に. 2.3. 折 り紙 作 図 と ユ ー ク リ ッ ド作 図.. 2.4. 折 り紙 で 方 程 式 を 解 く. 2.5. 折 り紙 作 図 と体 の 拡 大_..... つ いて. 4 5. 2.2. 0 7 4 4. 折 り紙 に つ い て..... 6 3. 2.1. 第3章. 2 9自. 第2章. ガ ロア 理論 と作 図 可 能 性. 68. 3.1. 同 型 写 像 と 不 変 体... 68. 3.2. 正 規 拡 大 とガ ロ ア理論 の 基 本 定 理. 79. 3.3. 分 解 体 と 正 規 拡 大...... 88. 3.4. 準[n]次. 96. 3.5. 3次 方 程 式 の 解 法...。....。. 100. 3.6. 可 解 群....._....... 109. 正 多角 形 の 作 図. 119. 第4章. 拡 大.. 4.1. 円分多項式. 119. 4.2. 正n角. 形 の 作 図 可 能 性.. 127. 4.3. 正n角. 形 の 作 図_... 132. 4.3.1正7角 4.3.2正13角. 形 の 作 図.. 135. 形 の作 図. 139.
(3) 2 4.3.3正17角. 付 録A基. 形 の作 図. 144. 礎知識. 151. A.1体. と多 項 式. 151. A.2ベ. ク トル 空 間. 155. A.3連. 立方程式. 157. A.4群. 参考文献. 160 167.
(4) 3. は じめ に. 折 り紙 は,日 本 に 古 くか ら伝 わ る 遊 び 道 具 で あ り,誰 も が 一 度 は 鶴 や 手 裏 剣 な ど を 折 っ て 遊 ん だ こ と が あ る だ ろ う.近 年 で は,そ の 芸 術 性 が 評 価 さ れ,海 外 で も 「origami」 と呼 ば れ て 親 し ま れ て い る. 一方 で ,作 図 と い え ば,誰 も が 想 像 す る の は,定 規 と コ ン パ ス に よ る ユ ー ク リ ッ ドの 作 図 で あ ろ う.1796年,ガ. ウ ス が,定 規 と コ ン パ ス の み で,正17. 角 形 が 作 図 可 能 で あ る こ と を 示 し た こ と は,有 名 な 話 で あ る.ま た,ユ ー ク リ ッ ド作 図 で 得 ら れ る数(長 さ)は,1次. 方 程 式 や2次. 方 程 式 を 繰 り返 し. 解 く こ と で 得 ら れ る 数 で あ る と知 られ て お り,「 角 の3等. 分 」 や 「あ る 立. 方 体 の 倍 の 体 積 を 持 つ 立 方 体 」 が ユ ー ク リ ッ ド作 図 不 可 能 で あ る こ と は, ギ リ シ ャ の 作 図 不 可 能 問 題 と して 知 ら れ て い る.. このギ リシ ャの作 図不 可能 問題 の うち,「 角 の3等 分 は折 り紙で作 図可 能 で あ る」 と知 った こ とが本研究 を始 め るきっかけ とな った.本 論 文 は, 折 り紙の作 図可能性 について研究 した もので あ り,折 り紙 によって作 図で き る数 や 図形 には,ど の ような特 徴 があ るの かをま とめ た もので ある. ユー ク リッ ド作 図で は,コ ンパ ス によって 円が作 図で きる。 ところが, 紙 を折 った ときに生 じる折 り目は直線 であ り,折 り目と折 り目の交点 か ら 点 が指定 され るので,円 周上 の有 限個 の点 を 作 図す るこ とができて も,円 その ものを折 り紙 に よって作 図す るこ とは不可 能で ある。よって,一 見 す れば,ユ ー ク リッ ド作 図の方 が,折 り紙 作図 よ りも,有 効 な作 図方 法 であ るか の よ うに見 える.し か し実際に は,よ りた くさんの長 さを作 図 できる とい う意味 で,折 り紙 作図の方が,ユ ー ク リッ ド作 図 よ りも強 力な作 図方 法 で あ る ことが分 か っている.こ の こ とは,紙 を折 った ときに得 られ る折 り目の幾何学 的な性質 が関係 して い る. 本 論文 では,「 紙を折 る」 ことを 「ある図形 を別の図形 に重ね合 わせ る」 こ とと考 え る.こ の よ うに考 えた とき,折 り紙作 図 におい て,点 を直線 に 重 ね る よ うに折 る折 り方 には,あ る特 徴的 な性質が ある.そ れ は,点Pと 直線Zが 与 え られてい る とき,Pをaに. 重ね る折 り目が,Pを. 焦点,1を 準. 線 とす る放物線 の接 線にな ってい る とい うことで ある.こ の ことか ら,点.
(5) 4. P,Qと,あ は,Pを. る 直 線1が 与 え ら れ た と き,PがZへ,QがQへ 焦 点,」 を 準 線 と す る 放 物 線 の 点Qを. れ る.ま た,点P,Qと,あ. る直 線Z,mに. る よ う に 折 っ た と き の 折 り 目 は,Pを 焦 点,mを. 重 な る折 り 目. 通 る 接 線 で あ る こ とが 示 さ. 対 し て,PがZへ,Qがmへ. 重な. 焦 点,Zを 準 線 と す る放 物 線 と,Qを. 準 線 と す る 放 物 線 の 共 通 接 線 で あ る こ と が 示 さ れ る.そ. し て,. 図 を 描 け ば 分 か る よ う に,点 が あ る 範 囲 に あ る と き,そ の 点 を 通 る 放 物 線 の 接 線 は2本. 引 く こ と が で き,2つ. の 放 物 線 の 共 通 接 線 は3本. で き る.こ の こ と が 示 唆 す る の は,折 り紙 作 図 に よ っ て2次. 引 く こ とが. 方 程 式 や3次. 方 程 式 が 解 け る こ と で あ る.. 「 折 り紙 で方程式を解 く」 とは,適 当な直交座標 が与 え られている とき, 与 え られ た方程式 の係数 か ら,そ の方程式 の 「実数解を傾 き とす る直線を 折 る」 こ とであ る.実 際 に,あ る点 を通 る放物 線 の接 線の傾 きは,2次 方 程 式の解 と して与 え られ る.ま た,2つ の放物線 の共通 接線 の傾 きは,3次 方程 式 の解 として与 え られ る.一 方 で,ユ ー ク リッ ド作 図で作 図可能 なの は,2次 方程式 の解 までなので7折 り紙作 図は,ユ ー クリッ ド作図 によって 得 られ る全 ての図形 を作図す る ことが可能 なの であ る. 本論文 で は取 り上 げないが,高 校3年 の数学Cで,2次 曲線を学 習す る. この2次 曲線 で も特 に放物線 の身近 な例 として,物 体 の斜方 投射や,パ ラ ボ ラア ンテ ナな どが挙げ られ るが,実 は,折 り紙 とい う誰 もが慣 れ親 しん だ遊 び道 具 の中にも放物線 が潜 んでい る.先 ほ ど述べ た よ うに,折 り紙 で は,放 物線 の接線 が折 れ ることを利 用 して,2次 方程 式や,3次 方程 式を解 くこ とがで きる.こ の 「3次方 程式」 は数学IIの 複 素数 と方程 式や微分 ・ 積 分 な どで扱 う内容であ り,「接線」は数学IIの 微 分 ・積分 で扱 う内容 で あ る.ま た,折 り紙 による2次 方程式 や3次 方 程式 の解法 を考察 す る とき に は,「 判 別式」 が用 い られ る.こ れ は,複 素数 と方程 式 で扱 う内容 であ る.こ の よ うに折 り紙 作 図には高 校 で学 習す る内容が散 りばめ られて お り,高 校 で の総合 的,発 展的 な教材 としての可能性 も秘 めて い る. 以下,本 論文 の構成 につ いて,簡 単 に説 明す る. 1章 で は,ユ ー クリッ ドの作 図を例 に挙 げて,作 図に関 す る基本 的な概 念 にっ いて述べ た.ま た,定 規 とコンパスで どのよ うな数が作 図可能 であ るか を考察 す る ことか ら,ユ ー クリッ ド作 図に よって得 られ る数 の集合 が 体 を成す こと,さ らに,あ る実数が ユー ク リッ ド作 図可能 であ ることと,そ の実数 を付加 して得 られる体 との関連 につい て述 べ た. 2章 で は,折 り紙作図手順 にっい て考察 し,各 手 順 によって生 じる折 り 目の幾 何学 的な性質 を考察 した.そ して,折 り紙 作図 によって得 られ る数.
(6) 5. の集合 が体 を成す ことや,ユ ーク リッ ド作 図 と折 り紙作 図 との関係 につい て述 べ た.ま た,折 り紙 で,1次,2次,3次. 方程式 を解 くことを考 え,そ の. 結 果 を用い て,あ る実数が折 り紙作 図可能 であ る ことと,そ の実数 を付加 して得 られ る体 との関係 について考 察 した. 3章 では,E.ア ルティンの方法に倣 ってガ ロア理論 を構成 した.ア ルティ ンの論 法 で は,「 体Eが 体K上 の正 規拡大 体 であ る」 こ とを,「KがE の有 限個 の 自己同型写像 の不変体 であ る」 と定義す るこ とが特徴 的であ る.こ の定 義の も とで,正 規拡大体 の 中間体 と,体 の 自己 同型群 の部分 群 との間に,1対1の 対応 があ ることを示 した.次 に,正 規拡大 と多項式の分 解体 との 関連 につ いて述 べ た.ま た,3次 方程式 の解 法 を考 察す る こ とに よって,あ る複 素数がユー クリッ ド作 図や折 り紙作 図可能 であ るこ との必 要十分 条件 につい て考察 した. 4章 では,正 多角形 の作 図可能性 を考 えるため に,円 分多項 式 の性 質 に つ いて述 べ た.そ して,2章 や3章 で得 られ た結果 を応用 し,正 多角形 が ユー ク リッ ド作 図や折 り紙作 図可能 であ るための必要 十分条 件 につい て 考 察 した.さ らに,正7角 形 と正13角 形 につい ては,ガ ロ ア理論 を応用 し て,そ れ らを実際 に折 り紙作 図す る手順 も考察 した.正17角. 形 につい て. は,作 図を行 う代 わ りに,四 則演算 と根号 のみを用 い て … 粂. 表す方法. に つ い て 述 べ た.. なお,本 論文 を読 むにあた り必要 となる,群,体,線 形 代数等 の基 本的 な 事項 を付録 として最後 にま とめた. 本 論 文 を 書 く あ た っ て は,1章,4章 論 講 義 』 を,2章. で は 主 に,足 立 恒 雄 著rガ. ロア理. で は 主 に,ロ ベ ル ト ・ゲ レ ト シ ュ レー ガ ー 著,深 川 英 俊 訳. 『折 り紙 の 数 学 一ユ ー ク リ ッ ドの 作 図 法 を 超 え て 』 を,3章 ミ ー ル ・ア ル テ ィ ン 著,寺 田 文 行 訳. で は 主 に,エ. 『ガ ロ ア 理 論 入 門 』 を 参 考 と し た.. 最 後 にな りま したが,3年 もの間,熱 心 に ご指導 してい ただ きま した濱 中裕 明先生 に,心 か ら感謝 します.先 生 に は何 か とご迷 惑を おかけ しま し た が,先 生 の ご指導 のおかげで数学 の楽 しさや,研 究 の楽 しさを味わ うこ とがで きま した.ま た,様 々な機会 を通 して,適 切 な示 唆を与 えて くだ さっ た数 学教室 の先生 方に も感謝 いた します.そ して,3年 間の大学 院生活を 支 え て くださ った,数 学 コー スの方 々を は じめ とす る,多 くの友 人,知 人 に も感 謝 します.そ して何 よ りも,兵 庫教 育大学へ の進学の機会 を与 えて くれ た両親 に感謝 します..
(7) 6. 第1章. 基 礎 概 念 とユ ー ク リッ ド 作図. 折 り紙 による作 図 との対 比のために,ユ ー ク リッ ドの作 図を例 に挙 げて, 作 図 につい ての基 本概念 につ いて述べ る.. 1.1作. 図 につ い て. 一般 に. ,与え られ た道具を使 って,決 め られ た手順に よって,有 限 回の操 作 で図 を描 くこ とを作 図 とい う.そ して,い くつ かの図形を基 に して図形 Fを 含 む 図形 が作 図 でき る とき,図 形Fは 作 図可能 で ある とい う.し か し,こ の定義 では不 明瞭 な点 も多いの で,以 下 に作図可能 性 の定 義を詳述 す る. 一般 に作 図を考察す る際 には. ,作 図に現 れ るい くつか の基本的 な図形 の 種類 を指定 してお く必要 があるだろ う.そ こで,そ の よ うな図形の集合 を 基本図形 集合 といい,F刕と 表す ことにす る.ま た,Figの 元 を基本図形 と い うこ とにする.例 えば,定 規 とコンパス によるユー ク リッ ドの作 図では, {平 面 上の全 ての点,直 線 円}が 基本 図形集合 で あ り,点,直 線 円が基 本 図形 で あ る。また,後 に詳述す る折 り紙 での作 図では,{平 面 上の全 て の点,直 線}が 基本 図形集合 であ り,点,直 線 が基本図形 であ る. 定 義1.1.1あ る基本 図形集合Figの 元 か ら,あ らたな基 本 図形 を指定 す る方 法 を作図手順 といい,作 図手順 の有限個 の集 ま りを,記 号 を定 めて作 図 法∫,ま たは,∫ 作 図 とい う.□ 具体 的 には,各 作 図手順 は,与 え られ た図形 か らどん な図形を加 え る こ とが で きるかを記述 したもので,例 えば (1)与 え られ た2点 を通 る直線 を引 くこと (2)与 え られた点を 中心 に して,別 に与 え られた点 を通 る円を描 くこ と.
(8) 第1章. 7. 基礎 概念 とユー クリッ ド作 図. (3)与 え られた2点 を結 ぶ線分 の垂 直二等分 線 を引 くこ と な どが作 図手順 として挙 げ られ る. 以下,定 規 とコ ンパスを用いた作 図 としてFigを{平 直線,円}と. 面上の全 ての点,. す る,以 下 の5つ の作図手順. E1与. え ら れ た2点. を 通 る 直 線 を 引 く.. E2与. え られ た点 を中心 に して,別 に与 え られ た点 を通 る円を描 く. E3与. え られ た2直 線 の交 点を とる.. E4与. え られ た直線 と円の交点を とる.. E5与. え ら れ た2円. の 交 点 を と る.. を 総 称 し,作 図 法 ε と呼 ぶ こ と に す る 。た だ し,作 図 手 順E3,E4,E5に し て は,交 点 が 取 れ な い 場 合 が あ る 。ま た,作 図 手 順E4,E5で 2つ 取 れ る 場 合 も あ る.こ. 関. は,交 点 が. の よ う に,あ る 作 図 手 順 に 対 し て,常 に 基 本 図. 形 が 存 在 す る と は 限 らな い.ま た,あ る 作 図 手 順 に 対 し て,複 数(た だ し有 限 個)の 基 本 図 形 が 存 在 す る こ と も あ る 。以 下,そ の よ う な 作 図 手 順 も,1 つ の 作 図 手 順 と して 認 め る こ と に す る.. 既 に描 かれてい る図形 同士 の交点 が取 れ る ことは当 た り前 の よ うだが, 作 図法 におい ては,与 え られ る図形 と,そ こか ら得 られ る図形 が厳 密 に定 め られて い るので,論 理 的な整合 性 のため,直 線同士 の交 点 や直線 と円の 交点 を とる とい ったよ うな作 図手 順 も加 えてお く必要 があ る,そ こで,次 の よ うに作 図可能の定義 を行 う. 定 義1.1.2Al,A2,…,AmとB1,B2,…,Bnを. 基 本 図 形 集 合Figの. ∫ を 作 図 法 と す る.B1,B2,…,Bπ. か ら 始 め て,作. よ っ て 次 々 に 基 本 図 形 を 加 え て い き,最 形 が 得 ら れ る と き,Al,A2,…,砺 可 能 と い う1.ま 1離. れ た2点. Al,Az,・. た,与. か ら 始 め てAl,A2,…,.㌔. ・.Amが.F作. 一般に. え ら れ るFigの. 図法 ∫ の作 図手順 に. 終 的 にAl,AZ,…,、. はB1,B2,…,Bnか. 元,. ㌔. を含 む図. ら 始 め て,∫. 作 図. 元 が 最 も 少 な い 場 合 と し て,距. 離. が ∫ 作 図 可 能 で あ る と き,単. に. 図 可 能 で あ る と い う.□. ,ε 作 図 に お い て は,コ ン パ ス で 等 しい 長 さ を 測 る とい う手 順,っ. ま り,あ る 与 え ら れ た 点 を 中 心 に して,与 1作図手 順が複 数の基本 図形を指 定す る場合. え られ た 半 径 の 円 を描 く とい. ,そ れ らの全 てを加 え る と考 える..
(9) 第1章. 基礎 概念 とユー クリッ ド作 図. 8. う 作 図 手 順 は,当 た り前 の よ う に 行 わ れ る.と. こ ろ が,こ の 作 図 手 順 は 先. ほ ど の 作 図 法 ε に は 含 ま れ て い な い.し か し,以 下 の 命 題 に よ っ て,こ の "線 分 の 移 動"は ε作 図 可 能 で あ る こ と が 示 さ れ る . 命 題1.1.3点0と,線 し て,ABを 証明. 分ABが. 与 え ら れ た と す る.こ の と き,0を. 中心 と. 半 径 と す る 円 は ε 作 図 可 能 で あ る.. こ の 作 図 は,以 下 の よ う に し て 行 わ れ る(図1.!参. (1)点1'か. ら そ れ ぞ れoBを. れC,Dと. 照).. 半 径 と す る 円 を 描 き,そ の 交 点 を そ れ ぞ. す る.. (2)線 分CDと. 線 分0-Bの. 交 点 をEと. す る.. (3)点Eを 中 心 に し て,点Aを い 点 をFと す る.. 通 る 円 を 描 き,直 線AEと. (4)点0を. 通 る 円 を 描 け ば,こ れ が 求 め る 円 で あ る.. 中 心 と し て,点Fを. 図1.1:線. こ の こ と は,OE=EBか. つAE=EFよ. の 交 点 でAで. な. 分 の移 動. り,四 角 形/'Cが. 平 行 四辺. 形 で あ る こ と か ら 示 さ れ る.口 命 題1.1.3に. よ りrE2':与. え ら れ た 点 を 中 心 と し て,別 に 与 え られ た2点. の 距 離 と 等 し い 長 さ の 半 径 の 円 を 加 え る 」 と い う手 順 を 作 図 法 ε に 加 え て も,作 図 法 εの 作 図 可 能 性 は 変 わ ら な い こ と に な る.. 与 え られ た図形 か ら,指定 された作 図手順 を有限 回用 い て,求 めたい 図 形 を含 む図形 が作図可能 か ど うか,ま た作図可能 な場 合 は,そ の作 図手順.
(10) 第1章. 基 礎概念 とユー ク リッ ド作 図. 9. を求 め る問題 を作 図問題 とい う.一 般 に,作 図問題 はある長 さが作 図でき るか ど うかを調 べ るこ とに帰着 され る場合が多 いので,数 の作 図可能性の 定義 を以 下 のよ うに行 う. 定 義1.1.4∫. を 作 図 法 と し,基 本 図 形 集 合Figは. む と す る 。α を 実 数Aを. 平 面 上 の全 て の点 を 含. 実 数 の 部 分 集 合,線 分 ・'を 長 さ1の. る 。 こ の と き,点 の 集 合{PzIPzは. 半 直 線OP上. でloPzl∈A}U{0,-P}か. ら 始 め て,∫ の 有 限 回 の 手 順 に よ っ て 距 離 國 だ け 離 れ た2点 作 図 で き る と き,数 α がAの 合. の. 線 分 とす. を含 む 図 が. 元 か ら ∫ 作 図 可 能 で あ る と い う.Aが. 空集. と き は,単 に α が ∫ 作 図 可 能 とい う.口. ところで,ε 作図 におい て,与 え られた点Aか して垂 線を引 くとき,点Aを. ら,与 え られ た直 繍. に対. 申心 と した,適 当な長 さの半径 の円を,1と 交. わ る よ うに引 くとい う作 図手順 が使わ れ る。また,勝 手 な点 を とる とい う 作 図手順 が使われ る場合 も多い,と ころが,先 に述べ た作 図法 εにおい て は,適 当 な長 さを とる作 図手順 や,勝 手 な点を とる とい う作 図手順が認 め られてい ない. 孟 ・. 》 図1.2:適. 当な長 さ. この問題 を解決 す るため に,次 の定義を用意 する. 定 義1.1.5平 対 して,Pに. 面上の点集合xが. 稠密で ある とは,平 面上 の任 意 の点Pに. い くらで も近い点 がX内. 意 の正数 εと任意 の点Pに. 対 し,点Pを. に存在 す る ことを言 う.つ ま り,任 中心 とす る半 径 εの円 内にXの. 点 が存在 す る とい うこ とである.口 定 義1.1.6与. え られた2点 か ら,作 図法 ∫ の作 図手順 に よって得 られ る. 点 の集 合 が稠密 であ る とき,∫ は加点可能 であ る と呼 ぶ こ とにする.□ 長 さを扱 う作図問題 においては,必 ず基準 の長 さが指定 され る必要があ るの で,そ の基準の長 さを与 える2点 が指定 され ている と仮定 すれば,加.
(11) 第1章. 基礎概 念 とユー ク リッ ド作 図. 10. 点可能 な作 図法においては,作 図で きる点 の集合 が稠密 であ る。よって,ど の よ うな点 に対 して も,十 分 に近 い作 図可 能 な点 が あ る こ とに注意 す る と,勝 手 な点 を とる代わ りに,そ の近傍 の適 当な作図可能 な点 を とる とす れ ば よい.す なわち,加 点可能 な作 図法 におい ては,初 めに2点 が与 え ら れてい る限 り,指 定 した領域 内の勝手 な点 を とる とい う作 図手 順を認め て も認 めな くて も,作 図可能 性 は変わ らない.実 際 に,作 図法 εが加点 可能 であ る こ とは,次 の ように確認 できる. 補 題1.1.72点A,Bが. 与 え られ た と き,点Aを. 通 っ て 直 線!IBに. 垂直な. 直 線 は ε 作 図 可 能 で あ る. 証明. こ の 作 図 は,次 の よ う に し て,適 当 な 点 を と る こ と な く 作 図 可 能 で. あ る(図1.3参. 照).. (1)点.4を 中 心,半 径9Bの な い 点 を0と す る.. 円Aを. (2)点Bを. 円Bを. 中 心,半 径Cの. 描 き,円Aと. 描 き,点0を. 直 線ABと. の 交 点 でBで. 中 心,半 径mの. 円0を. 描 く. (3)円Bと. 円Cの. 交 点 を そ れ ぞ れD,Eと. す る と,直 線DEが. 求 め る直 線. で あ る.. 図1.3:垂. 証 明 は簡単 なので省略す る.. 線 の作 図. 日.
(12) 第1章. 基 礎 概 念 と ユ ー ク リ ッ ド作 図11. 命 題1.1.8与. え ら れ た2点0,Aに. 対 し,そ の2点. が,点0(0,0),点A(1,0). と な る よ う な 座 標 に お け る 有 理 点,つ ま り,座 標 の 成 分 が 有 理 数 と な る よ う な 点 は,全 て ε 作 図 可 能 で あ る. 証明. ま ず,与 え ら れ た2点0,Alに. A)と. 対 し,そ の2点 が 点0(0,0)と. 点Al(1,0)(=. な る よ う な 座 標 に お け る 格 子 点 を,適 当 な 点 を 取 ら ず に 作 図 す る.. (1)コ. ン パ ス に よ っ て,直 線OAI上. の 点 で,0か. ら の 距 離 が 線 分OAの. 整 数 倍 の 距 離 に あ る 点 は 明 ら か に 作 図 可 能 で あ る.そ. の よ う な点 を. Ai(i,0)(zは 整 数)と す る. (2)次. に 補 題1.1.7に. (3)点0を (4)コ. よ り,点0か. 中 心,半 径OAIの. ン パ ス に よ っ て,直,,OBI上. の と き 補 題1.1.7に. 対 し て 垂 線Zを 引 く.. 円 を 描 い て,Zと の 交 点 をB1,B_1と. 倍 の 距 離 に あ る 点Bi(o,2)(2は (5)こ. ら直 線OA1に. で 点0を 整 数)は. す る.. 基 準 と し て 線 分1:の. 整数. 明 ら か に 作 図 可 能 で あ る.. よ り,点Az,Bi(i∈Z)か. らそ れ ぞ れOA2jOBiに. 対 して垂 線を ひけば,格 子点 が作 図でき る. 次 に,先 ほ ど作 図 し た 格 子 点 か ら ⊥ の 長 さ の 線 分 を 作 図 す る.. (1)1を n. (2)比. 作 図 す る に は,点(n,1)と. 直続. 司. で あ る(図1.4参. 点(0,0)を. 通 る 直 線 んを 引 く.. との交点 をPと す る と,Pと 点(・,・)の問の長 さが 王 照).. 01n .一.1_,.._図1 .4:一. の 作. 図.
(13) 第1章. 12. 基 礎概念 とユー ク リッ ド作 図. よ っ て,命 題1.1.3に. よ り,線 分 の 移 動 が 可 能 で あ っ た か ら,任 意 の 有 理. 数 は,ε に よ り全 て 作 図 可 能 な の で,全 て の 有 理 点 は 作 図 可 能 で あ る.有 理 点 は 稠 密 な の で,ε は 加 点 可 能 で あ る 。. 1.2体. ロ. の拡 大. ε作 図問題 におい ては,作 図可 能 な数 の集合 が体 を なす ため,体 に 関す る理 論 が有効 であ る.よ って,こ こで は体 の拡大 につい て述べ る。た だ し, 作 図可能性へ の応用を 目的 とするため,複 素数体Cに ない.、 定 義1.2.1Kを0で. 含 まれ る体 しか扱 わ. な い 元 を 含 む(Cの 部 分 集 合 と す る.こ の と き,Kの. 任 意 の 元 α,βに 対 して (1)α. ± β ∈K. (2)cxﾟEK (3)ﾟ∈K(β. ≠o). が成 立す る とき,Kは こ の と き,α=β. 体 である とい う.口. と す る と,一=1か. あ る.し た が っ て,全 て の 整 数 がKに. ら1∈K,a-a=0か 含 ま れ る.さ ら に3つ. ら0∈Kで の 条 件 よ り全 て. の 有 理 数 が 含 ま れ て い る こ と が分 か る.よ っ て,有 理 数 の 集 合Qは. 最小 の. 体 で あ る 。他 に も,全 て の 実 数 全 体 の 集 合 や 複 素 数 全 体 の 集 合 も 体 を な す. 定 義1.2.2体K,Lに た は,LはKの. 対 し てK⊂Lが. 拡 大 体 で あ る とい う.ま た,B⊂K⊂Lの. 成 り立 っ て い る と き,KをBとLの 一般 に. 成 り立 つ と き,KはLの. ,体 はQや. 部 分 体,ま よ うな 関 係 が. 中 間 体 と い う.[]. 飛 の 他 に もい ろ い ろ あ る.そ の 中 で も,次 に 述 べ る,あ. る 数 が 付 加 さ れ た 体 は 特 に 重 要 で あ る. 定 義1.2.3い. く つ か の 複 素 数 α1,α2,…anと,体K⊂(Cに. 元 と α1,… απを 含 む 最 小 の 体 をK(α1ジ. ・・α。)と 表 し,Kに. 対 し て,Kの α1,… 飾 を. 付 加 し た 体 と呼 ぶ.体 と体 の 共 通 部 分 が 体 を 成 す こ と は 容 易 に 確 認 で き る か ら,K(α1,… 部 分 で あ る.[コ. αの は 「Cと α1,… α。を 含 むCの. 全 て の 部 分 体 」 の共 通.
(14) 第1章. 基 礎概念 とユー クリッ ド作 図. 13. 実 際 に,ρ が代数 的 な数 な らば,次 に示 す よ うに ρをKに. 付 加 した体. K(ρ)が どのよ うな集合 かを書 き表 す ことが でき る(あ る数 ρが代数 的 で あ る とい うこ との定義 は,定 義A.12を 命 題1.2.4Cの. 元 ρを,K上. 多 項 式!(x)の. 1:Lは. で 代 数 的 な 数,つ ま り,あ る 一 κ 上 既 約 なn次. 根 で あ る とす る.こ の と き, 五={・. と す る と,次. 参 照)。. 。+α. 、ρ+・,ρ2+…+・n-、. ρπ一11・、 ∈K}. が 成 り 立 っ.. 体 で あ り,L=K(ρ)で. あ る.. 2:Lは{1,ρ,ρ2,…,pn-1}を. 基 底 と す るK上. のn次. 元 ベ ク トル 空 間 で. あ る.. 証明. ま ず,五 が 体 で あ る こ と を 示 す.. (1)P,q∈Lに (2)Lの. 対 し てp土q∈Lは. 元 の 積 が,Lの. 明 ら か で あ る.. 元 で あ る こ と を 示 す.Lの2つ. 数 と す る 変 数 ∬のn次. 未 満 の 多 項 式p(x),g@)に. 表 す こ と が で き る.こ の と き,p(x)q(x)はKの で あ る.こ こ で,p(x)q(勾. をf(x)で. (3)qELを pPPp. いn次. あ る.よ っ て,r(④. 未 満 の 式 で 書 け る の で,Lの 示 す に はq,_=q.1よ. 未 満 の 多 項 式g(④. 元 を係 数 とす る 多項 式. が 存 在 す る(た だ し,定 数0と. 多 項 式 の 次 数 は 一。oと 定 め る).こ こ でx;ρ ず,n次. 対 し て,p(ρ),q(ρ)と. だ しdeg!@)>degr(x)). 数 の 多 項 式4@),r(勾. か らp(P)q(ρ)=r(P)で. 元 を係. 割 る,多 項 式 の 除 算 を 考 え る と,. p(x)q(x)=f(x)d(x)+r(x)(た. と な るK係. の 元 は,Kの. を 代 入 す る と,ノ(ρ)=0 はp(x),q(x)の. 元 の 積 はLの. り,1.Lを. の と き,ノ(x)は 既 約 な の で!(x)とg(x)は. 次数 に よら. 元 で あ る.. 示 せば よいま. に よ りp=g(ρ)と. なる. ず,・ で な. 表 さ れ て い る と す る.こ. 互 い に 素 と な り,命 題A⊥10. か ら ん(駕)!(x)十k(x)9(x)=1. (1.1).
(15) 第1章. 基礎 概念 とユー クリッ ド作図. と な る 多 項 式h(x),g(x)が と,κ(ρ)9(ρ)=1で. 14. 存 在 す る.そ. あ る. こ で,式(1.1)にPを. 代 入す る. よ っ て,ん(ρ)1 9(P)で. あ るゆ. え に,(2)と. 同様 の議論 によ り,双 ρ)はκ(x)の次数 に関わ らず ρのn次 未満 の式 1. で 書 け る ・ し た が っ て,爾=吻 し た が っ て,Lは. 示 す.Lの. ら か に 五 ⊂K(ρ)で. か らK(ρ)⊂Lで. 元 は,Kの. 元 とPの 四 則 演 算 で 書 か れ て い. あ る.一 方 で,Lは. あ る.し た が っ て,L=K(ρ)で. さ ら に,Lが{1,PPZ,…,pn-1}を. 体 よ り,K(ρ)の. はOで. 基 底 と す るK上. な いbo,bl,…,わ. と で き る.こ. のbを. f(x),g@)は. こ で,ρ. {1,ρ,ρ2,…,ρ. 題A.1.10か. り 矛 盾 が 生 じ る.し. 独 立 で あ る.よ. η一1}を 基 底 と す るK上. す る と,. らh(x)f(x)+た@)9(x)=1と. を 代 入 す る と0ﾘ1よ. た が っ て,. っ て,{1,ρ,ρ2,…,〆-1}. の 基 底 で あ る.ゆ のn次. え にLは. ベ ク トル 空 間 で あ る.□. 拡 大 体 とす る.こ の と き 五 はK上. な っ て い る.LをK上 のK上. 従 属 と す る と,少 な く. 成 し て い る の で,LのK上. 定 義1.2.5LをKの. 元 ベ ク トル 空. 用 い て,g(勾=bo+blx+…+nn-lx-1と. {1,ρ,ρ2,…,〆-1}はK上1次 は 明 ら か にL生. のn次. 雅_1を 用 い て,bo+brP+…+隔_1〆-1=0. 互 い に 素 よ り,命. で き る.こ. 最 小性. あ る,. 間 で あ る こ と を 示 す.{1,p,ρ2,…,pn-1}がK上1次 と も1つ. あ る・. 体 で あ る.. 次 に,L=K(ρ)を る の で,明. 可(ρ)∈Lで. の ベ ク トル 空 間 に. の ベ ク トル 空 間 とみ な し た と き の 次 元 の こ と を,L. の 拡 大 次 数 と い い, dimKL=[L:珂. と表 す.ま LがK上. た,[L:K]=nで. あ る と き,LはKのn次. 無 限 次 拡 大 で あ る と き,[L:K]=○. 命 題1.2.6Kを ば,α はK上. 拡 大 で あ る と い う.. 。 と か く.口. 体,α を 複 素 数 と す る.こ の と き,[K(α):珂=nで 既 約 なn次. 証 明[K(α)二K]=nで 次 従 属 で あ る.よ. 多 項 式 の 根 で あ る. あ る か ら,n+1個. っ て,1,α,α2,…,♂. の 元1,α,α2,…,α は,少. な く と も1つ. の 元 を 用 い て,. α。+α. あれ. 、α+α2α2+…+α. 。α π 二. 〇. π はK上1 はOで. ない 一 κ.
(16) 第1章. 基礎概念 とユー ク リッ ド作 図. と で き る.こ. の αo,α1,…,ateを. !ω. 15. 用 い て,. 一 ・。+・ 、 針. と お く と,α を 根 に 持 つ よ う なK上. ・、x2+…+anan の 多 項 式 ノ(勾 ≠0の 存 在 が 分 か る.し. た が っ て,α は 代 数 的 な 数 で あ る.そ こ で,K上 と す る と,命 題A.1.7か degg(x)=nで. らg(x)は. の α の 最 小 多 項 式 をg(の. 既 約 で あ り,命 題1.2.4か. ら[K(α):K]_. あ る か ら,題 意 は 成 立 す る.口. 命 題1.2.7体K,M,五. が あ っ て,K⊂M⊂Lで,そ. れ ぞ れ 有 限次 拡 大 で. あ る と き, [五:珂=[五:.M][M:K]. が 成 り立 つ. 証 明LのM上. の 基 底 を α1,α2,…,αm,.MのK上. と す る と,[L:M]=m,[M:珂=nで. ま ず α1,…,α 魏 がLを. の 基 底 を β1,β2,…,魚. あ る.. 生 成 す る か ら,Lの ・一 Σ. 任 意 の 元 αは. わ・ α・(bz∈M)(1・2). 2. と 書 け る.さ. ら に,β1,…,β. πがMを. 生 成 す る か ら,Mの. b・一 Σb・ 、 卿,、. 元b、 は. ∈ κ)(1・3). ゴ. と 書 け る.そ. こ で,式(1.2)に. つ ま り,Lの. 任 意 の 元 はKの. 次 に,Kの. 私. 式(1.3)を. 代 入 す る と,α=D沸. 防 と な る.. 元 わ,ゴ を 係 数 とす る α,β3の1次 結 合 で 書 け る 。. メこ対 してΣ%α. あ ニ0と する と,. ゴ. Σb・ 、α紡 ij2ゴ. であ る・ここでΣ6鴻 0で. あ る.さ. ・Mで. ら に,βiはK上1次. 一 Σ(Σ. δ・ 、β、)α・一 ・. あ り,aiはM上 独 立 よ り,%=0で. ・次独立 よ りΣ あ る.し. わ 渦. 一. た が っ て,.
(17) 第1章. 16. 基 礎概念 とユー ク リッド作 図. 偽 β」はK上. でLを. 生 成 して い て1次 独 立 な の で,偽 βゴはK上. のLの. 基底. で あ る.ゆ え に,. [L:K]=dimKL =mn. _[L:M][M:K] 口. と な り,題 意 が 成 立 す る 。 系1.2.8体Kの. 有 限 次 拡 大 体Lは,L=K(α1,α2,…,α. の. と表 す こ と. が で き る.. 証 明[L:K]=nと. し て,nに. ま ず,n=1の K]<nの Kに. 関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.. と き はLeKで. あ る か ら 明 ら か で あ る.そ. と き に 題 意 が 成 立 す る と し て,[L:K]=nの 含 ま れ な いLの. K⊂K1⊂Lで. 元 を α1と す る.こ. あ る か ら,命. か つ,[K1:K]>1と. 法 の 仮 定 よ り,L=K1(α2,α3,…,α L=K(α1,α2,…,am)と. 1.3ユ0ク. と き を 考 え る.. の と き,Kl=K(α1)と. 題1.2.7よ. な る.よ. こ で,[L:. す る と,. り,[L:K]=[L:K1][K1:珂. っ て,[L:κ1]<nで の. あ る か ら,帰. と 表 す こ と が で き る.ゆ. 納. え に,. 表 す こ と が で き る.□. リ ッ ド作 図 可 能 性. この節 で は,以下 の定理を証明す る ことを 目標 とす る. 定 理1.3.1al,α2,…,α が α1,α2,…,anか. ηを 実 数,K=Q(α1,α2,…,an)と. す る.実. ら ε 作 図 で き る こ と の 必 要 十 分 条 件 は,適. 数 α. 当 な拡 大 体. の列 KeKo⊂K1⊂K2⊂. が あ っ て,[瓦:K2-1]=2か. ・ ・⊂Kπ. ⊂ 】R. つ,α ∈ κ几 と な る こ と で あ る.. ま ず,こ の 定 理 の 十 分 性 を 証 明 す る た め に,以 下 の 補 題 を 証 明 す る. 補 題1・3・2α,β(≠0)族. 数 とす る ・こ の と き,α 土 飾%は,そ. れぞ. れ α,βか ら ε作 図 可 能 で あ る.つ ま り,ε 作 図 可 能 な 数 の 集 合 は 体 で あ る..
(18) 第1章. 基礎概念 とユー ク リッ ド作 図. 証明. 17. α 士 βが作 図可能 で あ る ことは明 らカ'であ る・ α%の. 図1.5に. お い て,OA=1,0B=a,OC=β. る よ う に,線. 分0(フ. 作 図 は,. と し て,ACllCIと. な. の 延 長 上 に 点 、0を と る と,α β が 作 図 で き る.ま. ・'=1,0B=α,OD=β. と し て,Aq}:1と. な る よ う に,線. に点 ・ を とる と 弩が作 図できる・この こ とは,△OACと. た,. 分 ・1上. △・BDの. 相似. から容易に証明できる.ロ. OAB 図 ・.5・ αβ と 号 の 作 図. 補 題1.3.3正. の 実 数 α が 与 え ら れ て い る と き,V優. 証明. 以 下 の 手 順 に よ っ て 作 図 で き る(図1.6を. (1)同. 一 直 線 上 にB,A,0の. は ε 作 図 可 能 で あ る.. 参 照).. 順 で,AB=1,AC=cxと. な る よ う に3点. を. と る.. (2)m.の (3)Aか. 中 点Mを らmの. 求 め て,申 心.M,直 垂 線 を 引 き,(2)の. 径BCの. 円 を 描 く.. 円 と の 交 点 をDと. す る と,.4D=〉. 五. で あ る. こ の と き,∠-CIは 90。-LACD=∠ い の で,△DACと Dオ. 直 径 に 対 す る 円 周 角 か らgooで 孟BDで. あ る.よ. △B.4Dは. る.ゆ. か らDAZニ;.で え にx=>xで. っ て,対. あ る,こ あ る.口. 応 す る2つ. 相 似 で あ る.し. あ る.ま. た,∠ADC=. の角 が そ れ ぞ れ等 し. た が っ て,1':-BA=CA:. こ で,-DA=xと. す る と,x2=α. であ.
(19) 第1章. 基礎概 念 とユー クリッ ド作図. 18. BAMC 図1,6:平. 補 題1.3.4K⊂Lを. 方根の作 図. 体 と す る.[L:K]=2な. と な る よ う な ρ が 存 在 し て,L=K(ρ)で. 証 明K上 は,Kの. のLの 元a,bを. 基 底 を1を. ら ば,ρ2∈Kか. つ ρ￠ κ. あ る.. 含 む よ う に 選 び,(1,勾. とす る.こ の と きx2. 用 い て, x2=a十bx. と表 す こ と が で き る.こ れ を 解 く と, b±b2+4a x=. で あ る ・ よ っ て,・ 〒1,α. 2. 一b≒4α. と お く と(1,c+∼/石)は. し た が っ て,(1,∼ 厄)が 基 底 で あ る.ゆ え に,L=K(轟)で 命 題1.3.5体Kの. 基 底 で あ る,. あ る.□. 元 が 全 て ε作 図 可 能 で あ る と き,Kの2次. 拡 大 の元 も. ε 作 図 可 能 で あ る. 証明. ま ず,補 題1.3.4に. 根 を 付 加 し た 体K(轟)と. よ り,Kの2次. 拡 大 体 は,Kに,Kの. して 書 け る.K(而)の. 1次 結 合 で 書 け る.こ こ で,補 題1.32,補. 元 α の平 方. 元 は(1,V石)のK上. 題1.3.3か. の. ら,題 意 が 示 さ れ る こ. と が 分 か る.[コ 以 上 の 結 果 を 用 い て,定 理1.3.1の 証 明(定. 理1.3.1の. す る と,Qの. 十 分 性)命. 十 分 性 を 示 す.. 題1.3.1の. 元 は 全 て ε 作 図 可 能 よ り,Qを. よ う なi適当 な 体 の 列 が 作 れ た と 何 度 か2次. 拡 大 し て得 られ る. K2の 元 は 全 て ε 作 図 可 能 で あ る.し た が っ て,α ∈Knか 能 で あ る.し た が っ て,命 題13.1の. 十 分 性 は 成 り立 っ.□. ら α は ε作 図 可.
(20) 第1章. 基礎 概念 とユー ク リッ ド作 図. 19. 次 に定理1.3.1の 必要性 を証明 す る.1.1節 では作 図法 εを, E1与. え られた2点 を通 る直線を引 く. E2与. え られ た点 を中心 に して,別 に与 え られた点を通 る円を描 く. E3与. え られ た2直 線 の交 点を とる. E4与. え られ た直線 と円の交点を とる. E5与. え られ た2円 の交 点を とる. と 定 義 し た.こ の 作 図 手 順 か ら分 か る よ う に,ε 作 図 で は,直 線 や 円 の 交 点 を と る こ と に よ っ て 作 図 が 行 わ れ る.よ っ て,ε 作 図 の 可 能 性 を 調 べ る た め に,点 に 注 目 し て 以 下 の 命 題 を 示 す. 命 題1.3.61.1節. の作 図 法 εに よ る作 図 可 能 性 を 次 の よ う に言 い 換 え る. こ と が で き る. α を 実 数 と す る.点. 列Ao,Ai,・. ・,.傷,…,-ANが. あ っ て,. Ao=(o,o),Al=(1,0) A2=(α. 、,0),,An=(2n,0). An+、,An+2,,AN=(α,0). で あ り,各A、(i=n+1,n+2ジ,N)が. 次 の い ず れ か を 満 た す と き,α. は ε 作 図 可 能 で あ る. (1)Ai+1は,Al,…. ,ん の う ち の2点. を 通 る 直 線 ど う し の 交 点 で あ る.. (2)ノ ー2+1`よ,Al,…. ,Aiの. を 通 る 直 線 と,Al,…,Aiの1点. う ち の2点. を. 中 心 と し,他 の も う1点 を 通 る 円 と の 交 点 で あ る. (3)-Ai+1は,Al,…,Aiの1点. を 中 心 と し,他 の も う1点. を通 る円 どうし. の交 点 であ る. 証 明 作 図問題 では,基 準 となる長 さを与 える2点 が与 え られて い る.そ の2点 を直交 座標の(0,0),(1,0)と す る と,ε作 図は,す でにあ る点 を通 る 直線 や円を描 き,そ れ らの交点を求 める ことで点 を増や してい く作 図なの で,こ の言 い換 えが 同値 であ ることは明 らかであ る.口.
(21) 第1章. 基礎概念 とユー ク リッ ド作 図. さ て,直. 20. 交 座 標 を 導 入 し て,ε 作 図 に よ っ て 得 ら れ る 点 の 座 標 が ど の よ. う な 体 に含 まれ る か を 考 え る 。 定 義1.3.7KをRの き,PはK点. 部 分 体 と す る.P(x,〃)∈. 飛2に 対 し てx,y∈Kの. と. で あ る と い う,口. 命 題1.3.8KをRの (1)2つ. 部 分 体 と す る.こ. のK点pi,P2を. (2)K点Piを. で あ る.よ. 数 であ る. 通 る 円 の 方 程 式 はK係. 2)をK点. 数 で あ る.. と す る.そ の と き そ れ ぞ れ の 方 程 式 は,. (1)(〃 一92)x-1-(x2-x・)〃+(x、 (2)(x-9σ1)2十(㌢. が 成 り 立 つ.. 通 る 直 線 の 方 程 式 はK係. 中 心 と し て,K点P2を. 証 明Pi(xl,雪1),P2(x2,. の と き,次. ッ2一 靱. 一3/1)2=(x2-xl)2十(. 、)=0. 2-91)2. っ て 題 意 は 満 た さ れ る.口. 命 題1.3.9KをRの. 部 分 体,1,1'をK係. 数 の方 程 式 で与 え られ る 直 線. c,c'をK係. 数 の 方 程 式 で 与 え ら れ る 円 と す る.そ の と き. (1)Zと1'の. 交 点 はK点. とな る. (2)あ. るKの. 元 α が あ っ て,Zとcの. (3)あ. るKの. 元 α が あ っ て,cとc'の. 証 明. α,b,c,α',b',♂,p>4,r,〆,4,r'∈Kと. 交 点 はK(轟)点 交 点 はK(轟)点. とな る とな る. す る.. (1)Z=ax+by+cニ0,Z':α'x+b'y+c'=0と. す る と,交 点 を 求 め る 方 程. 式は. ab a'b')(の で あ る.こ こ で,1と1'が. 平 行 で あ れ ば 交 点 は 存 在 し な い の で,1とZ'は. 平行 で はない したが つて 一. つ の. 一1 ya'b'‐c'と. はK点. で あ る.. 一(⇒. ≠ ・よ り(ab a'b')は. 逆 行列 を持. zx‐ab‐c' な つ`Z,2直. 線 の 交 点 囎.
(22) 第1章. 基 礎概念 とユー ク リッ ド作 図. 21. (2)Z二ax+bg+c=0,c:x2+ゲ+p∬+卿+rニ0と. の い ず れ か が0の. す る.ま. と き,例 え ば α=0の. と き 直 線 の 方 程 式 か ら 〃 ∈K. と な り,こ れ を 円 の 方 程 式 に 代 入 す る と,xに 式x2+sx-}-t;0(s,t∈K)を. ず,u,b. つ い て の あ る2次. 方程. 解 く こ と に な る の で,解 の 公 式 か. 一s士s2‐4t. ら,x=2. で あ る(交 点 が 存 在 す る こ と が 前 提 な の で, s2‐4t. s'‐4t≧0で. あ る こ と に 注 意 す る).こ. 直 線 と 円 の 交 点 のx座. 標 はK(轟)点. こ で,αﾘ. と す る と,4. で あ る.. 次 に,a,bが. 共 に0で. な い と す る.こ の と き,Zとcの. す る と,xに. つ い て の あ る2次 方 程 式 を 解 く こ と に な る.し た が っ て,. 先 ほ ど と 同 様 に 直 線 と 円 の 交 点 のx座 K(轟)で. 標 は,あ るKの. あ る,こ のxをax+by+c=0に. 直 線 の 交 点 の 〃座 標 はK(轟)点. 式 か ら 忽を 消 去. 元 αがあ って. 代 入 す る と,や は り 円 と. で あ る.. (3)c:∬2+〃2+px+9y+r=0,♂:∬2+〃2+p'∬+q'雪+r'=0と こ の2式. を 引 き 算 す る と,(p-p,)x+(q-4)y+(r-r')=0と. て 直 線 と 円 の 場 合,つ 座 標 は,K(轟)点. ま り,(2)に. 1.3.6の. な っ. 帰 着 で き る.よ. って 円 と円 の 交 点 の. で あ る.口. 以 上 の 結 果 を 用 い て,定 理1.3.1の 証 明(定. す る.. 理1.3.1の. 必 要 性)実. 必 要 性 を 示 す.. 数 α が ε 作 図 可 能 で あ る と す る と,命. よ う に 点Ao,Al,…,ANの. 各Ai(xz,yz)(i>_n十2)が. 題. 次 のいず れ. か を 満 た す よ う に 取 れ る. (1)ん. は,Ao,…,AZ_1の. (2)AZは,Ao,…,.4、-1の. う ち の2点. を 通 る 直 線 ど う し の 交 点 で あ る.. う ち の2点. を 通 る 直 線 と,Al,…,義. 一1の 点 を. 中 心,他 の も う1点 を 通 る 円 と の 交 点 で あ る. (3)Aiは,Ao,…,ん. 一、の 点 を 中 心,他. の も う1点. を 通 る 円 ど う しの交 点. で あ る. こ の と き,体Kn+1∼KNをKn+1=K,KZ+1=瓦 順 次 定 め て い く と,命 題1.3.9か で あ る.し Qを. 偽+1,ッ 盛+1)の よ う に. ら[KZ+1:瓦]=1ま. た は2,か. た が っ て α が ε 作 図 可 能 で あ る と す る と,定. 次 々 に2次. よ うな. 拡 大 し て 得 ら れ る 拡 大 体 の 列,. K⊂Kn+2⊂-Kn+3⊂ が 作 れ る の で,定. つ α ∈Kn. 理1.3.1の. 理1.3.1の. …. ⊂KN⊂R(α. 必 要 性 も成 り立 つ 。. ∈KN) □.
(23) 第1章. 基 礎概念 とユー クリッ ド作 図. 22. OBD. OBDB'. 図1.7:角. の3等. 1.4ギ. 分 か らCOS3. 図1.8:COS3か. ら 角 の3等. 分. リシ ャ の 作 図 不 可 能 問 題. 前 節 の結 果 を用 い て,ギ リシャの3大 作 図不 可能 問題 の うち,立 方 倍積 問題 と角 の3等 分 問題 につい て考 え る.. 立方倍積問題 与えられた立方体の倍の体積を持つ立方体を作図せよ. 角 の3等 分 問題 与 え られた角度 を3等 分 せ よ. 前述 の用 語 を用 い ると,これ らは次 のよ うに言い換 え られ る. 立方 倍積 問題 あ る作 図法 ∫ に対 して,32は. ∫ 作図可能 か.. 角 の3等 分 問題 ある作図法 ∫ に対 して,… θか ら…1が. ∫ 作図可能 か・. 立方 倍積 問題 につ いて は この言 い換 えが同値 であ るこ とは明 らかで あ る.角 の3等 分 問題 の言 い換 えにつ いては 自明 ではない が,次 のよ うに し て この言 い換 えが同値 である ことが確認 できる. ま ず 図1.7に と き,Bを. お い てOA=・1と. 通 るOAの. と す れ ば,∠'IC=θ ば,∠A'0-Bの3等 る 直 線 ・B上. で あ る.こ こ で,角 の3等. の 点Dを. こ の と き,OA=1と. が 与 え ら れ た とす る.こ. 申 心 と し て 点Aを. 分 線 上 に00=1と. 逆 に,図1.8に. な る 点0を. と る と,・D-…1と. な る よ う にOA'上. θか ら ∫ 作 図 可 能 で あ 轍. の. 通 る 円 との 交 点 をA'. 分が ∫ 作 図可能 であ れ と り,m⊥. ・Cと. な. な る・. お い て 長 さ1の 線 分 と角A'/:=θ. を 引 い て ・B'と の 交 点 をBと が …. ・C=cosθ. 垂 線 と0を. に 点Aを. す る と,・B-… 半 直 線 ・B上. が 与 え ら れ た とす る. と り,Aか. ら ・C'に 垂 線. θで あ る ・ こ こ で,…1 に ・D-…1と. な る点.
(24) 第1章 Dを. 基礎 概念 とユー クリッ ド作 図 と り,Dを. を取轍. 通 っ てODと. ∠・・D-1と. 定 理1.4.1与. 23. 垂 直 な 直 線 上 に0σ=1と. な る よ うな 点 σ. なる. え られた立 方体の倍 の体積 を持つ立方体 の1辺 は ε作 図不. 可 能 であ る. 証明. 先 の考 察 よ り,32が. ま ず,x3-2=0がQ上 Q上. ε作図不可能 で ある ことを証 明す る. 既 約 で あ る こ と を 示 す.そ こ で,仮 にx3-2が. 可 約 で あ る と す る.こ の と き,x3-2は1次. 式 の 積 で 書 け る.一 方 で,〃=x3-2の x3-2の. 実 根 は32の. の 多 項 式 と,2次. の多項. グ ラ フ を 考 え れ ば 分 か る よ う に,. み で あ る.つ ま り,x3-2はx-32を. 因数 に持つ 。. し か し,こ れ は 酒 が 無 理 数 で あ る こ と に 矛 盾 す る.よ っ て,x3-2はQ上 既 約 で あ る. し た が っ て,命 題1.2.4か Q]=3で. ら,体Q(拒)はQ上. の ベ ク トル 空 間 で,[Q(酒):. あ る.. 次 に32は. ε 作 図 不 可 能 で あ る こ と を 示 す.も. で あ る と す る と,定 理1.3.1か Q⊂K、. ⊂K、. こ の と き 命 題1.2.7か. ⊂ …. ら,次 の よ う な2次. ⊂Kn⊂. し も,a2が. ε作 図 可 能. 拡 大 体 の 列 が 作 れ る.. 飛([Ki・K、.、]-2パ. 疹 ∈Kn). ら,. [Kn:(Q]=[Kn:Kn-i]…[K1:Q]=2n で あ る.. 一方 2nが3で. ,Q(砺)⊂Knよ り[Kn:Q]二[Kn:Ql(糎 川Q(32):Q]と な っ て, 割 り切 れ る こ と に な り矛 盾 す る.し た が っ て32は ε作 図不 可 能. で あ る.口 命 題1.4.2t3-3t-1=0の. な ら ば,3の3等. 証明. 実 数 解 の う ち,ど. れ か1つ. で も ε作 図 不 可 能. 分 は ε作 図 不 可 能 で あ る.. 以下,対 偶 を示 す.. 先 の繍. ・よ り,角の3等 分 が作 図でき る ことは,…. 図 可 能 で あ る こ と と 同 値 で あ る.そ こ で,3倍. cos8=4cosa6‐3cos9. 33. θか ら …1が. 角 の 公 式 か ら,. 作.
(25) 第1章. 基 礎概念 とユー ク リッ ド作 図 8. な の で,…. θ 一 ・,…r比. 24. お く と,. (1.4). 4x3-3x-a=0. と な る ・こ こ で,θ 一 暮 とす る と,・-1で. り,こ れ を 式(購. 代 入 す る と,. 14. (1.5). x3-3x-一=02. と な る ・…8・. ・(θ、2π),…(θ. も4π)は. 式(1.4)の. 根 で あ る か ら7. 7「7π13π. …9…(. .9)…(9) 2π. が 式(1.5)の3実. 根 で ある. し た が っ て,一. 等 分 がE作. 図 で あ れ ば,こ の3実. 両 辺 を2倍. して 翫 を 改 め てtと お く と,. は ε作 図 で き る の で,3の3. 根 は 全 て ε 作 図 可 能 で あ る.式(1.5)の. (1.sﾟ. t3-3t-1=0. と な る.よ っ て,式(1.5)の. 実 解 が 全 て ε 作 図 可 能 な ら ば,式(1.6)の3実. 解 も ε 作 図 可 能 で あ る.式(1.6)が. 実 数 解 を 持 つ こ と は,微 分 を す る こ と. に よ っ て 確 認 で き る.〔 定 理1.4.3一. 証明. 〕. 般 に,角 の3等 分 は ε 作 図 不 可 能 で あ る.. 角 の3等 分が一般 に ε作図不可能 である こ とを示す には,ε 作 図不. 可能 な角度 が1つ で視. つかれば よレ'ので,特 に3の3等. 能 で あ る こ とを 示 す.そ の た め に は 命 題1.4.2よ が ε 作 図 不 可 能 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.そ がQ上. りt3-3t-1=0の. 実解. こ で,ま ず!(勾=♂. 一 翫 一1. 既 約 で あ る こ と を 示 す.. !@)が 有理鯉(た 1=0か. 分が ε作図不 可. だしa,bは互L・關. ら,a3‐3ab2‐b3=0で. あ る.よ. を持つとすると,(艶. 軒. っ て,. a3=b2(3a-}-b) で あ る.a,bは. 互 い に 素 よ り,α と3a+bは. a3とb2(3a+b)も し た が っ て,f(x)は. 互 い に 素 で あ る.し. 互 い に 素 で あ る が,こ れ は α3=b2(3a+b)と 有 理 数 解 を 持 た な い.ゆ. え にf(x)はQ上. た が っ て, 矛 盾であ る。 既 約 で あ る..
(26) 第1章. 基礎 概念 とユー クリッ ド作 図. 次 に ノ(勾 の 実 数 解 の1つ {1,ρ,ρ2}を 基 底 と す るQ上 Q]=3で な2次. 25. を ρ と す る と,命 題1.2.4か の ベ ク トル 空 問 で あ る.し. らQ(ρ)は. た が っ て,[Q(ρ):. あ る.こ こ で,ρ が 作 図 可 能 で あ る とす る と,定 理1.3.1よ 拡 大 体 の 列 が 作 れ る の で,命 題1.2.7か. 方,Q(ρ)⊂Knよ. り[κ がQ∼]=[κ. ら[Kn:Ql]=2nで. π:Q(・(1)(A):Q】. 体 で,. り,適 当 あ る.一. とな っ て,2π が3で. 割 り切 れ る こ と に な り矛 盾 す る.し た が っ て ρは ε 作 図 不 可 能 で あ る.し た が っ て,一 般 に は 角 の3等 分 は ε 作 図 不 可 能 で あ る.□.
(27) 26. 第2章. 折 り紙作 図. この章 では,折 り紙 によ る作図法0を. 構 成 し,折 り紙 作図(0作. 図)の. 可能 性 につい て考察 す る. あ る図形 の作 図可能性 は,作 図法 として どのよ うな作 図手順 を採用す る かに影響 を受 ける.そ こで,作 図法0を. 明確 に定義 し,作 図法0の. 作 図手. 順 に よって得 られ る折 り目の幾何学 的な特徴 を考察 する.そ して,0作 図 に よって,ど のよ うな方 程式の解が作 図でき るのか を考 えて,0作 図の可 能 性 につい て検討 す る.ま た,0作. 2.1折. 図 と ε作 図の関係 も明 らかにす る.. り紙 に つ い て. 折 り紙 の作 図可 能性 つ ま り,紙を折 る ことで生 じる折 り目で どのよ うな 図形 が作 図 でき るか につ い て考 える.そ のため に,ま ず,紙 を1回 折 った とき,ど の よ うな図形 か ら,ど の よ うな図形 が作 図 でき るの かを考 え,そ れ らを ま とめ て,折 り紙 による作 図法0を. 構成 す る.. まず は じめ に,折 り紙作 図におけ る,基 本 図形集合 を考 える.例 えば,ε 作 図では全 て点 か ら出発 して直線 や円が作図され,ま た直線や 円の交点 と して点 が定 ま る.一 方0作 図 では,折 り目は全 て直線 とす る.そ して,点 は 2直 線(2つ の折 り目)の 交 点 として指定 され る.し たが って0作 図では, 基本 図形集合Fig={平. 面 上の全 ての点,直 線}と す る.. 次 に,0作 図手順を考 え る。紙 を折 る と,あ る図形 をあ る図形 の上 に重 ね合 わせ る こ とになる.よ って,「 どのよ うな図形 を どの よ うな図形 に重 ね合 わ せ るか」を考 えて,0作 を あ る図形Gに. 図手順 を決 定 してい く.以 下,あ る図形F. 重ね合 わせ る ことをF斡. σ と書 くことにす る.. 点 と直 線 か ら紙を折 ってい く場合,そ の折 り方 を指定す る条件 は,大 き く分 けれ ば,点H点,点 → 直線 直線 ← 直線 の3種 類 が考 え られ る.そ こで,そ の3種 類 の条 件を詳 しく考察 す る と,次 の通 りで ある. 1ま ず,点 と点 を重ね合 わせ るとい う条件 を考 え ると,あ る点Pを. それ 自.
(28) 第2章. 27. 折 り紙作図. 身 に重ね合 わせ る場合 と,あ る点Pを あ る.こ こで,点Pを. 点Pに. 別の点Qに. 重 ね合 わせ る場合 が. 重 ねる よ うに折 る とはPを. 通 る直線 を折. る こ とであ る.よ って,以 下 の2通 りが考 え られ る. 1-a点P⇔. 点P(点Pを. 1-b点P⇔. 点Q(線. 通 る 直 線) 分.PQの. 垂 直2等. 分 線). 2次 に,直 線 と直線を重 ね合わせ る とい う条件 を考 える.あ る直 線Zを そ れ 自身 に重 ね合 わせる場合 と,あ る直線Zを 別 の直 線mに. 重 ね合 わせ る. 場 合があ る.た だ し,あ る直線1を それ 自身 に重 ね合 わせ る場合 は2通 りあ る.そ の直線 自身 を折 る場合 と,そ の直線 置の垂線を折 る場合で あ る.し か し,直 線1自 身 を折 る場合は折 り目 として既 に存 在 してい るこ とに なるので,こ の場合 は除外 して考 える.し たがって,以 下の3通 りが 考 え られ る(IIは平行 関係 を表 す記号 である). 2-a直. 線 脈 → 直 線Z(直. 2-b州mの. 線Zの 垂 線). と き,直 線Ze直. 線m(直. 線Z,mに. 平 行 でZ,mと. 等 距離. に あ る 直 線) 2-c耐mの. と き,直 線`⇔. 直 線m(直. 3最 後 に考 え られ るのは,点Pを 場 合 は 少 し複 雑 な の で2.2節. 成 す 角 の2等. 分 線). 直 線Zに 重ね合 わせ る場 合 であ る.こ の で 詳 述 す る.た だ し,点Pが. る 場 合 は こ の よ う な 折 り 目 はPを こ の 条 件 は 上 に 述 べ た1a,2aの. 線1,mの. 通 る直線. 直 線Z上. にあ. も し く は,Zの 垂 線 で あ り,. 組 参 合 わ せ に 他 な ら な い の で,こ の 場. 合 は除外 して考 える. 3-a点PH直. 線Z(た. だ し,PはZ上. の 点 で は な い と す る). この ように細 か く分類 した6種 の条件 の組み合 わせで,直 線(折 り目)の 指 定 の仕 方 に どの よ うな ものがあるかを考 える. (1)最 初 に,折 り 目 の 条 件 と し て 直 線ZE→ 直 線mを 考 え る.こ の よ う な 折 り方 は,州mの と き は1通 り,研mの と き は2通 り に 定 ま る の で,(2b)も. し くは(2c)の. 条 件 は 単 独 で 折 り方 を 指 定 し て い る と考. え ら れ る. (II)ま た,別 の 条 件 と し て 点PH点Qを 考 え る.こ の よ う な 折 り方 は '1通 り し か な い の で ,こ の 場 合 も(1b)の 条 件 が 単 独 で 折 り方 を 指 定 し て い て,こ れ 以 上 条 件 を 付 け 加 え る こ と は で き な い..
(29) 第2章. 折 り紙作 図. 28. (III)次 に 単 独 で は 折 り方 の 定 ま ら な い(1a),(2a),(3a)の 組 み 合 わせ に よ る 折 り方 に つ い て 考 え る.ま ず 折 り 目 の 条 件 と し て(la)の 点P → 点Pを. 考 え る.こ の よ う な 折 り 目 は 無 数 に 存 在 す る.そ こ で,さ. ら に 条 件 を 付 け 加 え て 考 え る と,次 の3通 (a)別. の 点Qに. つ い て,laの. 点(2←. る と,折 り 目 は 直 線PQで. り が 全 て で あ る.. 点Qを. 条 件 と し て付 け加 え. あ り,折 り方 は1通. り に 定 ま る.. (b)他 に,2α の 直 線Z← 直 線Zを 条 件 と し て 付 け 加 え る と,折 り 目 はPを 通 る1の 垂 線 で,折 り方 は1通 り に 定 ま る 。 r. (c)3α の 点(2・ → 直 線 ♂を 条 件 と して 付 け 加 え る と,折 り 方 は 高 々 2通 り に 定 ま る.こ の 折 り 目 が ど の よ う な 折 り 目 か は2.2節 で 詳 述 す る. (IV)次. に 折 り 目 の 条 件 と し て(2a)の. 直 線Z・ → 直 線Zを. う な 折 り 目 は 無 数 に 存 在 す る.そ. 考 え る.こ の よ. こ で,さ ら に 条 件 を 付 け 加 え て 考. え る,. (a)(la)の 点P斡 点Pを こ れ は 前 述 の(IIIb)の (b)別. の 直 線mに. 指 定 す る と折 り方 は1通 場 合 で あ る.. つ い て(2a)の. 付 け加 え る と,研mの. 直 線m⇔. り に 定 ま る が,. 直 線mを. 条 件 と して. 場合 は折 るこ とが できない.州mの. 合,Zに 垂 直な直線 はmに. 場. も垂直 であ り,直 線m・ → 直 線mは. 何 ら新 しい条件 の付加 に な っていない. (c)(3a)の. 点PH直. ま る(2.2節 (V)さ. 線mを. 指 定 す る と 折 り 方 は 高 々1通. ら に 折 り 目 の 条 件 と して(3a)の. 点P曾. う な 折 り 目 は 無 数 に 存 在 す る.よ っ て,2つ と(1a),(2a)の 線mを. りに定. で 後 述 す る), 直 線Zを 考 え る.こ の よ 目 の 条 件 を 考 え る.(3a). 組 み 合 わ せ は 既 に 述 べ た の で,他 に,3aの. 点(2→. 直. 条 件 と し て 付 け 加 え る と,折 り方 は 高 々3通 り に 定 ま る(2.5. 節 で 後 述 す る). 以 上 の8つ. の 折 り方 が,考 え ら れ る 全 て の 折 り方 で あ る.こ. 目 と折 り 目 の 交 点 を と る こ と も 作 図 手 順 の1つ. こ で,折 り. と し て 加 え,こ れ ら9つ の. 作 図 手 順 を ま と め る と,次 の よ う に な る. 手 順(1)州mの. と き,1,mに. 平 行 で1,mと. 等 距 離 に あ る 直 線 を 折 る..
(30) 第2章. 折 り 紙 作 図29. 手 順(2)研mの. と き,Z,mの. 成 す 角 の2等. 分 線 を 折 る.. 手 順(3)点P,Qが. 与 え ら れ た と き,直 線PQを. 折 る.. 手 順(4)点P,Qが. 与 え ら れ た と き,線 分PQの. 垂 直2等. 手 順(5)点Pと. 直 線Zが 与 え ら れ た と き,Pを. 手 順(6)点P,Qと. 分 線 を 折 る.. 通 る1へ の 垂 線 を 折 る.. 直 線Zが 与 え ら れ た と き,PがZへ,QがQへ. 重 な るよ. う に 折 る.. 手 順(7)点P,Qと. 直 線 」,mが 与 え ら れ た と き,PがZへQがmへ. 重な. る よ う に 折 る. 手 順(8)点Pと. 直 線Z,mが. mに 手 順(9)直. 与 え ら れ た と き,PがZへ. 重 な る よ う に,ま た. 垂 直 と な る よ う に 折 る.. 線Zと 直 線mの. 交 点 を と る.. こ れ を 表 に し た も の が,表2.1で. あ る.た だ し,PとQは. 点,1とmは. 直. 線 で あ る.. 表2.1=折. り紙 の 折 り方. 手 順(1). Zlim. 1・→m(1,mに. 平 行 な 直 線). 手 順(2). z壮 皿. lHm(1,mの. 成 す 角 の2等. 手 順(3). P,Q. P・ →P,(2斡Q(P,Qを. 手 順(4). P,Q. PHQ(線. 手 順(5). P,1. P←P,Z←>Z(Pを. 手 順(6). PHl,(2⇔(2. 手 順(7). P,Q,z P,Q,1,m. 手順(8). P,1,m. ∫)←>z,m←>m. 手 順(9). 1,m. Zとmの. 分PQの. 分 線). 通 る 直 線). 垂直2等 分線) 通 るZへ. の 垂 線). PHI,QHm 交点. この9つ の作図手順の うち,い くつ かの作 図手順 は他 の作図手順 に よっ て実 現 で きる. 補題2.1.1以 る.. 下 の4つ の作 図手順 は他 の作 図手 順 で折 るこ とが可能 であ.
(31) 第2章. 折 り紙作 図. 30. (1)勝 手 な 点 を 加 え る と い う作 図 手 順 を 認 め れ ば,手 順(1)は. 手 順(4),(5),. (9)に よ っ て 折 る こ と が で き る.. (2)勝 手 な点を加 え る とい う作 図手 順 を認 めれば,手 順(2)は 手順(6)に よって折 る ことが できる. (3)手. 順(4)は. 手 順(3),(5),(6),(9)に. (4)手. 順(8)は. 手 順(4),(5),(9)に. 証明. ま ず 手 順(1)は,仕. り,PがPに1がZに. よ りPを. と り,手 順(5)に の 交 点 をQと. よ っ て,mへ. す る と,手 順(4). 分 線 を 折 れ ば よ い. 交 点 をQと. し,Z上 に 適 当 な 点Pを. 通 る 折 り 目 でPがmへ. さ ら に 手 順(4)は,直 ZがZに. よ っ て た とmと. 垂 直2等. 次 に 手 順(2)は,♂,mの (6)に よ りQを. よ っ て 折 る こ と が で き る.. に 適 当 な 点Pを. 垂 線 んを 引 く.手 順(9)に に よ り 線 分PQの. よ っ て 折 る こ と が で き る.. 線PQ=Zと. とっ て手 順. 重 な る よ う に 折 れ ば よ い. す る と,図2.1の. よ う に,手 順(5)に. 重 な る よ う に 折 る.ま た,手 順(5)に. よ. よ り,QがQに. 重 な る よ う に 折 る.こ の 折 り 目 を そ れ ぞ れ α,bと す る.手 順(6)に 通 る 折 り 目 でQがaに,Qを. 通 る 折 り 目 でPがbに. に 折 る.こ の 折 り 目 の 交 点 をKと を 折 れ ば よ い(図2.1参. す る と,手 順(5)に. 重 なる よ う. よ りKか. ら1へ 垂 線. 照). b. a. K:亀. Q. P. 1. 図2.1:垂. 直2等. 分線 の作 図. 最後 に手 順(8)は 図2.2の よ うに,手 順(5)に よ り点Pか を引 く.次 に手 順(5)に よ り点Pを との交点 をQと れ ばよい.口. らmへ. 垂線k. 通 るkの 垂線を 引き,手 順(9)に よ り1. す る.そ して,手 順(4)に よ り点PをQに. 重 ねるよ うに折.
(32) 第2章. 折 り紙作図. 31. Q. .P.. m. ん. 1 図2.2:(8)の. こ れ ら を ま と め る と 図2.3の. 作 図. よ う に な る.. (1) (g)(4)(5) (9)(3)(5)(6)(9) (2)一(6) 図2.3:各. 作 図手 順 の 関 係. つ ま り 勝 手 な 点 を 加 え る と い う 作 図 手 順 を 認 め れ ば,手 順(3),(5),(6), (7),(9)で. 他 の 作 図 手 順 は 全 て 実 現 可 能 で あ る.よ っ て,作 図 法0と. 作 図 手 順(3),(5),(6),(7),(9)を. 採 用 し,作 図 法0を. して. 以 下 の よ う に定 義. す る. 定 義2.1.2以 01互. 下 の5つ. の 作 図 手 順 を 作 図 法0と. い に 平 行 で な い 直 線Z,mが. 022点P,Qが 03点Pと P,z⇔ 04点P,Qと. す る.. 与 え ら れ た と き,Z,mの. 与 え ら れ た と き,直 線PQを 直 線Zが 与 え ら れ た と き,点Pを. 交 点 を と る.. 折 る.(P・ →P,QeQ) 通 るZへ の 垂 線 を 折 る.(PE→. の 直 線Zが 与 え ら れ た と き,PがZへQがQへ. 折 る.(QHQfrHL). 重 な る よ うに.
(33) 第2章. 折 り紙作 図. 05点P,Qと. 32. 直 線1,mが. 与 え ら れ た と き,-Pが1へQがmへ. に 折 る.(P⇔Z,Q⇔. 重な るよ う. 親)口. 作 図手 順04や05に. よって得 られ る折 り目が,幾 何学 的に どの よ うな. 性 質 の直 線 かは2.2節 で詳 し く述べ る. こ こで,補 題2.1.1か ら,こ の作 図法0に. よ り,表2.1の 手順(4)と 手 順. (8)は0作 図可能であ るが,手 順(1)と 手順(2)は 「勝手 な点 を加 え る」 と い う作 図手順 が作図法0に 含 まれてい ない ため,現 状 では0作 図で きな い こ とに注意 す る.そ こで,こ の作 図法0が. 加 点可能 で ある こ とを示 す.. 実 際0が 加点可能 であ ることが分 かれば,2点 を含む 図形 か ら作 図を始め る とき,勝 手 な点 を とる とい う作 図手順 を認 めな くても,定 義2.12の5つ の0作 図手順 で,表2.1の 手順(1)か ら手順(9)が 全 て再現可能 である.つ ま り,点 と直線 を基本 図形 とし,「 図形 どう しを重 ね る」 とい う方法 で折 り方を指定 して作図でき る全 ての点 や直線 は,0作. 図の5つ の手 順だ けで. 作 図可能 である.逆 に言 えば,0作 図不可能 な点は,紙 を折 る ことで は作図 で きない こ とにな る.そ のために,以 下 の補題 を用 意す る。 補 題2.1.3線 直 線PQ上 あ る. 証明. 分PQが で点Pか. 与 え られた とす る。この とき,あ る整数 αに対 して, ら線分PQの. 回 倍 の距 離 にある点 は0作. 以 下 の よ う に して 折 る こ と が で き る(図2.4参. 照).. 重%. 一. 図可能 で. 1. im. 図2.4:整. (1)02に. よ り,直 線P(2を. (2)03に. よ り,Pを. ま た,Qを. 数倍 の作 図. 折 る.. 通 る 直 線PQへ. 通 る 直 線PQへ. k. の 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 をZと す る.. の 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 をmと. す る..
(34) 第2章. 33. 折 り紙作 図. (3)04に よ り,Pを 通 る 折 り 目 でQを1に とmの 交 点 をAと す る. (4)03に. よ り,Aを. 通 る 直 線P五. と す る とPQ=P'Qで. 重 ね る よ う に 折 り,そ の 折 り 目. へ の 垂 線 を 折 り,直 線PQと. の 交 点 をP'. あ る. 口. 以 上 の操 作を繰 り返す こ とで,題 意 が示 され る ことが分 かる. 補 題2.1.4(線. 分 の 移 動)直. こ の と き,作 図 法0に. 線 ♂上 の 点0と. よ っ てAB=OPと. 線 分 孟β が 与 え られ た とす る. な る 点PをZ上. に と る こ とが可. 能 で あ る. 証明. 以 下 の よ う に して 折 る こ と が で き る.. ま ず,0=Aの. 場 合 を 考 え る(図2.5参. 照).. B. 0. ん. P. 図2.5:線. (1)04に. よ り,0←A)を. 分 の 移 動1. 通 る 折 り 目 でBをiに. 重 ね,そ の 折 り 目 を ん と. す る. (2)03に よ り,Bを す る と,AB=OPで. 通 る たの 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 とZと の 交 点 をPと あ る.. こ こ で,折 り 目kは 直 線OBと1の そ の2通. り の そ れ ぞ れ が,1上 でPを0の. る.す な わ ち,0の. ど ち ら側 に もPを. 次 に,0≠Aで0,A,Bが1直 (1)02に. 成 す 角 の2等. よ り,直 線 ・:を. 分 線 で あ り,2通. ど ち ら側 に と る か に 対 応 して い 作 図 で き る,. 線 上 に な い 場 合 を 考 え る(図2.6参 折 る.. りあ る.. 照)..
(35) 第2章. 折 り紙作図. 34. B/ σ嵐 D'＼. 図2.6:線. (2)補 題2.Uに. よ り,表2.1の. 可 能 だ っ た か ら,0をBに. 分 の 移 動2. 手 順(4)は. 勝 手 な 点 を と る こ と な く0作. 重 ね る よ う に 折 り,そ の 折 り 目 と直 線OB. と の 交 点 を σ と す る.ま た,02に. よ り,直 線ACを. (3)補 題2.1.3に よ り,AC=CDと な る 点Dを き 四 角 形 オβDOは 平 行 四 辺 形 で'G・/で (4)以 上 か ら,0=.4の. 図. 折 る。. 直 線AC上 あ る.. 場 合 に 帰 着 で き て,'C・-Pと. に 折 る.こ の と. な る 点Pを0作. 図 す る こ と が 可 能 で あ る. 最 後 に,0,A,Bが1直. 線 上 に あ る 場 合 で,0≠Aの. と き を 考 え る(図. 2.7参 照).. 図2.7:線. (1)03に. よ り,Bを. (2)04に. よ り,Bを. 分 の 移 動3. 通 る ・Cへ の 垂 線mを 通 る 折 り 目 でAをmに. 折 る. 重 ね る.こ の 折 り 目 をnと. す る..
(36) 第2章. 折 り紙作 図. 35. (3)03に よ り,Aを 通 るnへ の 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 とmと A'と す る.こ の と き,.;で あ る.. の交 点を. (4)0,A',Bが1直 線 上 に な い の で,前 述 の 方 法 で.;=・'と を と る こ と が 可 能 で あ る.口. な る 点P. 命 題2.1.5作 証明. 図 法0は. 加 点 可 能 で あ る.. ま ず,2点O,Aが. 与 え ら れ た と して,点0(0,0),点A(1,0)と. なるよ. う な 座 標 に お け る 格 子 点 が 全 て 作 図 可 能 で あ る こ と を 示 す. 1 9ρ" f ρ も 」. B. 巳 噛,'∂ し ℃8. αc. c. ＼/ 6. ￠,`」 ρ8ら. 亀 L 覧. 7「. 「 尋. ,'. ρ. 96「 '. o大. . , し 覧 9. 図2.8:格. 子点 の作 図. (1)02に. よ り,直 線0.4を. 折 る.. (2)03に. よ り0を. 通 る 直 線OAへ. の 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 を ん と す る.. (3)03に. よ りAを. 通 る 直 線OAへ. の 垂 線 を 折 り,そ の 折 り 目 を1と す る.. (4)04に よ りAを 通 る 折 り 目 で0をZに とkと の 交 点 をBと す る. (5)04に. よ り0を. 通 る 折 り 目 でAを. と1と の 交 点 を0と こ こ で,2点0,Aに 題2.1.3か. ら0作. 各B墲ﾉ A(1,0)と. 層 こ重 ね る よ う に 折 り,そ の 折 り 目. す る.. 対 して,線 分OAの. 整 数 倍 の 点A2(￠ は 自然 数)は 補. 図 可 能 で あ る.ま た 同 様 に,2点0,Bに. の 整 数 倍 の 点 易(2は て,各AZに. 重 ね る よ う に 折 り,そ の 折 り 目. 自 然 数)は. 対 して,Azを. 対 し て,BgをBiに. 補 題2.1.3か. ん に,直 線OAを. ら0作. 直 線OAに. 対 し て,線 分1; 図 可 能 で あ る.よ. っ. 重 ね る よ う に 折 り,. 沸 を ん に 重 ね る よ う に 折 れ ば,点0(o,o),点. な る よ う な 座 標 に お け る 格 子 点 が 全 て 作 図 可 能 で あ る..
(37) 第2章. 折 り紙作 図. 36. 次 に 、.・節 命 題.1.8の. 図 ・.4の よ う}・ す れ ば,点(11.一,)が. 作 図可能で あ. り,補 題2.1.4か ら線分 の移 動が可能 なの で,全 ての有理点 は0作 で ある.有 理点 は稠密 なの で,作 図法0は. 2.2折. 加 点可能 であ る.口. り紙 作 図 手 順04,05に. こ こ で は2.1節. で ふ れ た,点Pを. 図可能. つ いて. 直 線1に 重 ね る 場 合 に つ い て 考 察 す る.. ま ず,以 下 の 命 題 が 成 り立 つ. 命 題2.2.1直. 線ZとZ上. に 無 い 点Pが. 与 え られ た と き,PをZに. う に 折 っ た と き の 折 り 目 の 集 合 は,点Pを 物 線 π の 接 線 の 集 合 で あ る(図2.9参. 重ね るよ. 焦 点 と し て,1を 準 線 と す る 放. 照).. P ・. 隔 、. 、廊 ＼ 、. § 津聖野. 1. 図2.9:点. 証明. ま ず,Pを. 上 の 点Qに. を 直 線 に 重 ね る折 り目 の集 合. 乙に 重 ね る 折 り 目 は π の 接 線 で あ る こ と を 示 す.PをZ. 重 ね た と き の 折 り 目 をcと. 分 線 で あ る.放 物 線 πは,点Pと. し た と き,cは. 直 線Zか. 線 分PQの. 垂 直2等. ら等 距 離 に あ る点 の集 合 で あ る. か ら,Qか. ら 引 い たZへ の 垂 線 とcと の 交 点 をXと. よ り,xは. π上 の 点 で あ る.ゆ え に,こ の 命 題 を 示 す に は,折 り 目c上 に は. X以. し た と き,XP=XQ. 外 に π 上 の 点 が 無 い こ と を 示 せ ば よ い.. 仮 に,c上. にx以. の 点 よ り,YP=YQで と す る と,△YQQ'は 1,Q,<YQ=YPで. 外 の π上 の 点yが. 存 在 す る と 仮 定 す る と,Yはc上. あ る.一 方,Yか. ら 下 ろ し たzへ の 垂 線 の 足 をQ'. 直 角 三 角 形 よ り,YQ'<YQで あ る.と こ ろ が,Yは. あ る.し. た が っ て,. π上 の 点 と 仮 定 し た の で,こ れ.
(38) 第2章. 37. 折 り紙作 図. はYがzとPか. ら等 距 離 に あ る こ とに 矛 盾 す る.ゆ え に 直 線cに. 外 に π上 の 点 は 存 在 しな い.よ っ て,cは 線 π の 接 線 で あ る(図2.10参. 点Pを. はx以. 焦 点,iを 準 線 とす る 放 物. 照). '. ・Y. ・XP M・. 1. Q'Q 'c. 図2.10:放. 逆 に,放 物 線 π の 焦 点Pを と を 示 す.つ. 物 線 の 接 線(1). π の 接 線 オで 折 り返 す と,PはZに. ま り,図2ユ1に. お い て,tと. た 垂 線 の 足 をQ,YをPQとtの 分 線 で あ る こ と を 示 す.こ 1:y=一 点X(pzp'4. 垂 直2等. こ で 適 当 な 直 交 座 標 に お い て 点P(0,c),直. c)と お く ・こ の と き,Qの. 纐. らZへ 引 い. 交 点 と す る と,tが 線 分PQの. ・と す る と,π の 方 程 式 はx・-4・. ま殖. よ喋. π との 接 点 をX,Xか. 重なるこ. 麟. 櫛. 嵯. よ い)で. の傾 きは2c,一 一 Pで ある訪. で あ る ・そ こ で. あ る・. πの灘. である.Lた がって傾 きの積が. 線. の傾 きはdy_xdx2c. ・になるので頂 劒. とtは. 垂 直 で あ る. さ ら に,瑚 で,直 線PQの. 程 式 は傾 き喋. 方 程 式 は 〃=-2cx+cで. 交 点Yは,こ. の2式. は線 分PQの. 中点 であ りtは. の連立耀. 接 線tで 折 り返 す とPは1に こ の 命 題2.2.1か 系2.22作. よ り,〃 一 釜(x-p)+pz4 あ る か ら,直rPQと. 式 を 解 い て(p2'・)で あ る.Lた. 線 分PQの. 一方. 接 線tと の が っ て,Y. 垂直2等 分線 となるので,π の. 重な る.以 上 か ら命題 は成立す る.□. ら,次 の2つ. 図 法0の04に. cで あ る. の 系 は 容 易 に 分 か る.. 関 し て,点Pを. 物 線 を π と す る と,作 図 手 順04と. 焦 点 と し て,1を 準 線 と す る 放. は 「Qか ら πへ の 接 線 を び く」 と い う.
(39) 第2章 折り紙作図38. 図2.11:放. 物 線 の 接 線(2). 作 図 手 順 に 他 な ら な い 。 こ の と き,接 線 の 本 数 を 見 る こ と か ら,次 の3つ の こ と が 分 か る. (1)π の 内 部 にQが. 存 在 す る と き,Qを. は 不 可 能 で あ る(図2.12参. 通 る 折 り 目 でPを1に. 重ね る こと. 照).. 1 図2.12:Qが. (2)π 上 にQが. 存 在 す る と き,Qを. πの 内部 の とき. 通 る 折 り 目 は1本. 1 図2.13;Qが. π上 の とき. で あ る(図2.13参. 照)..
(40) 第2章. 39. 折 り紙作図. (3)π の 外 部 にQが. 存 在 す る と き,Qを. 通 る 折 り 目 は2本 存 在 す る(図2.14. 参 照).. 図2.14:Qがnの. 系22.305に がmへ. 外 部 の とき. 関 し て,あ る 点P,Qと. あ る 直 線Z,mに. 重 な る よ う に 折 っ た と き の 折 り 目 をcと. を 焦 点,Zを. 準 線 とす る 放 物 線 と,Qを. 接 線 で あ る(図2.15参. 焦 点,mを. 対 し て,PがZへ,(2. す る.こ の 折 り 目cは,P 準 線 とす る放 物 線 の 共 通. 照).□. 図2.15:放. 物 線の共通 接線. この共 通接線 が最 大で何本引 けるかは2.5節 で述べ る. 系22.4表2.1の Pが1にmがmに 物 線 π の 接 線 でmに あ る.. 手 順(8)に. つ い て,点Pと. 直 線1,mが. 重 な る よ う な 折 り 目cは,Pを. 与 え ら れ た と き,. 焦 点zを. 準 線 とす る放. 垂 直 な も の で あ り,こ の よ う な 折 り方 は 高 々1通 り で.
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