Q(ξ1)ニK3 /・ を付加 Q(η1)=KZ
↑恥 を付加 (1)
図4.9:部 分 群 と 中 間 体 の 対 応(3)
い の で,KZ=Ki(η1)で あ る.同 様 に し て,K3=κ1(ξ1)で あ る こ と も 示 さ れ る.こ こ で,Q(ζ)と,Qの 中 間 体 と,Aut(K5/K1)の 対 応 を 図 に し た も の が,図4,9で あ る.
そ こ で,cosθ の 満 た す 多 項 式 を 考 え る た め に,正7角 形 や 正!3角 形 の と き と 同 様 に し て,η1,ξ1,ρ1の 満 た す 多 項 式 を 考 え る.
(1)ま ず,η1の 満 た す 多 項 式 を 考 え る.[K2:Kl]=2で あ る か ら,η1の 満 た す 多 項 式 は,Q上 の2次 多 項 式 で あ る.よ っ て,η1の 共 役 根 を 考 え る.定 理3.3.11よ り,そ の 共 役 根 を 求 め る に は,G1の 全 て の 元 を η1に 作 用 さ せ れ ば よ い の で,η1の 共 役 根 は σ(η1)であ る.η2=σ(η1)と お
く と,
η,=σ(く)+σ3(ζ)+σ5(G+σ7(く)+σ9(く)+σ11(く)+σ13(く)+σ15(ζ)
=ζ3+ζ10+ζ5+ζ11+ζ14+ζ7+ζ12+く6
で あ る.よ っ て,η1の 満 た す 多 項 式 を 求 め る に は,解 と 係 数 の 関 係 か ら,η1+η2と η1η2を求 め れ ば よ い.ま ず,
η1十 η2eζ 十 ζ2十 ・ ・十 ζ16ﾘ一1
で あ る.次 に,η1η2を 考 え る.ま ず,η1と η2を 構 成 す る 各 項 ぐ に 対 し て,そ の 逆 数 はr17‑iで あ る.と こ ろ で,η1と η2の 定 め 方 か ら,η1η2を
展 開 し た64個 の 項 の 中 に1と な る も の は 存 在 し な い.ゆ え に,η1η2を 展 開 し て 整 理 す れ ば,
η、η、ﾘ・ ・ζ+・ ・ζ2+…+・ ・6ζ16(・i≧0Σ ・2‑64)
と な る.こ こ で,σ(η1η2)=σ(η1)σ(η2)=η1η2で あ る.よ っ て,式(4.16) の と き と 同 様 に し て,c1=CZ=…=c16が 示 さ れ る の で,C 4で あ
り,η1η2=‑4で あ る.ゆ え に,η1と η2は,2次 方 程 式,
x2十x‑4=0
の 解 で あ る.こ こ で,ζ=cosθ+￠sinθ と し た の で, η、一(ζ+ζ16)+(ζ2+く15)+(ζ4+ζ13)+(ζ8+ζ9)
=2(cosB十 ,cos28十cos4B十cos88)
で あ る.こ こ で,
cosﾘ一1‑cos26十cos88=cos188‑{‑cos2B十cos8ﾘ
=cos(IOB十88)‑i‑‑cos(10ﾘ‐8B)十cos88
=2cos10θcos8θ 十cos8θ
̲(2cos10B十1)cos88>0
で あ る か ら,η1と η2を,以 下 の よ う に 決 定 で き る.
‑1十 〜価 一1一 西
η1=2η2e2
(4.21)
(2)次 に,ξ1の 満 た す 多 項 式 を 考 え る.[K3:K2]=2で あ る か ら,ξ1の 満 た す 多 項 式 は,KZ上 の2次 多 項 式 で あ る.そ こ で,ξ1の 共 役 根 を 考 え る.定 理3.3.11よ り,そ の 共 役 根 を 求 め る に は,G2の 全 て の 元 を ξ1に 作 用 さ せ れ ば よ い の で,ξ1の 共 役 根 は σ2(ξ1)であ る.ξ2=σ2(ξ1)と お
く と,
ξ2=σ2(ζ)+σ6(ζ)+σ10(ζ)+σ14(ζ)
=ζ9+ζ15+S$+ζ2
で あ る.よ っ て,ξ1の 満 た す 多 項 式 を 求 め る に は,解 と 係 数 の 関 係 か ら,ξ1+ξ2と ξ1ξ2を求 め れ ば よ い.ま ず,
ξ1+ξ2=く+ζ9+く13→ 一ζ15+ζ16+く8→ 一く4+ζ2=η1
で あ る.次 に,ξ1ξ2を考 え る.ま ず,ξ1と ξ2を 構 成 す る 各 項r2に 対 し て,そ の 逆 数 は,同 じ ξゴの 中 に 含 ま れ て い て,他 方 の ξたに は 含 ま れ て い な い の で,ξ1ξ2を展 開 した16個 の 項 の 中 に1と な る も の は 存 在 し な い.ゆ え に,ξ1ξ2を展 開 し て 整 理 す れ ば,
ξ1ξ2ユcoζ+c1σ(ζ)+…+c・5σ15(ζ)(Ci≧0,Σc乞=16) と な る.こ こ で,
σ2(ξ1ξ2)=σ2(ξ1)σ2(ξ2)=ξ1ξ2
で あ る.ま た,ζ,σ(ζ),…,σ15(く)はQ上1次 独 立 な の で,そ れ ら の 1次 結 合 は,全 て の 係 数 が 一 致 し た と き の み,同 じ 値 に な る.よ っ て, CO=C2=…‑C14か つ,C1;Cg=…=C15で あ り ブξ1ξ2は,
η1‑← η22η12η2
の い ず れ か で あ る.こ こ で,ζ ζ2=ζ3か つ,ζ ζ8=く9で あ る か ら,ξ 、ξ2 は,η1を 構 成 す る ζ9と,η2を 構 成 す るr3を 同 時 に 含 む こ と に な り,2η1 や2η2で は 有 り 得 な い.よ っ て,ξ1ξ2=η1+η2=‑1で あ り,ξ1と ξ2 は,
x2一 η、x‑1=0
の 解 で あ る.つ ま り,
η、± 〉再 ξ1,ξ2=
2
(4.22)
で あ る.こ こ で,
ξ1=(ζ+く16)+(ζ4+r13)
=2(cosB十cos4B)
=2(cos18B十cos4B)
=2(cos(11B‑{‑7ﾘ)十cos(11ﾘ‐7B))
=4cosl1Bcos78>0
ξ2=(ζ2+ζ15)+(ζ8+ζ9)
=2(cos28十cos8B)
=2(cos(5θ 一3θ)十cos(5θ 十3θ))
=4cos58cos38<0
で あ る か ら,式(4.22)の 複 号 を 決 定 す る こ と が で き て,
η、+V腕
ξ 1=
2
η一 〉/諦 ξ 2=
2
(4.23)
と な る.
(3)さ ら に,cosθ の 満 た す 多 項 式 を 考 え る.[K4:K3]ﾘ2で あ る か ら, cosθ はK3上 の2次 多 項 式 の 根 で あ る.実 際2cosθ=ζ+σ8(ζ)で あ
る か ら,
ρ1e2cosθ=ζ 十 σ8(ζ)=ζ 十 ζ16
と お き,ρ1の 共 役 根 を 探 せ ば よ い.定 理3.3.11よ り,そ の 共 役 根 を 求 め る た め に は,G3=〈 σ4>の 全 て の 元 を ρ1に 作 用 さ せ れ ば よ い の で, ρ1の 共 役 根 は σ4(ρ1)で あ る.ρ2=σ4(ρ1)と お く と,
ρ、 一 σ4(ζ)+σ12(ζ)
=ζ13+ζ4
で あ る.よ っ て,ξ1の 満 た す 多 項 式 を 求 め る に は,解 と係 数 の 関 係 か ら,ρ1+ρ2と ρ1ρ2を求 め れ ば よ い.ま ず,
ρ1+ρ2=ζ+く13+く16+ζ4eξ1 で あ る.さ ら に,
ρ、ρ、 一(ζ+ζ16)(ζ13+ζ4)
=r3+ζ5+ζ14+ζ12
で あ る.こ れ を,ξ1と ξ2を 用 い て 表 せ ば,
piP2= ξ12一 ξ2‑4
2
(4.24)
で あ る.実 際 に,
(ξ1)2=(ζ+rl3+ζ16+ζ4)2
=ζ9十 く15十 ζ8十 ζ2十2(く3十 く5十 ζ14十 く12)十4
==2(ζ3+ζ5+ζ14+ζ12)+ξ2+4
で あ る か ら,式(4.24)が 成 り 立 っ て い る こ と が 分 か る.し た が っ て,P1 と ρ2は,
ξ12一 ξ2‑4
∬2一 ξ1∬+ ●12
の 解 で あ る.つ ま り,
S1士 一 ξ12‑1‑2ξ2+8 ρ1,A2ﾘ
2 で あ る.こ こ で,
2π ρ・=2cosθ=2cos‐17
ρ・ 一 く4+ζ13‑2…4θ 一2… 警
で あ り,… 笹1か つ,… 警 〈1で あ る か ら,ρ ・〉 ρ・で あ る ・ よ っ て,P1と ρ2を 決 定 す る こ と が で き,
P1= ξ1+一 ξ12+2ξ2+8
2 ρ・一 ξ・一 一ξξ+2ξ ・+8(4.25) と な る,
し た が っ て,式(4.2・),式(4.23),式(4.25)に よ り,Pl2‑… 警 は,四 則
演算 と根号 のみ を用いて,
1
16{一1‑}‑17+〉 薪+2・7+3揖 一〜 漏 一2〜/漏}
と表 す こ と が で き る.よ っ て,ε 作 図 や0作 図 で は,あ る 数 の 平 方 根 が 作 図 で き る の で,1の 原 始17乗 根 は,ε(0)作 図 可 能 で あ る.
付 録A 基礎知識
こ こでは,各 章 で必要 とな る基 礎知識 につい て述べ る.
A.1体 と 多 項 式
定 義A.1.1あ る 数 α とK係 数 の 多 項 式 ∫@)に 対 して,ノ(α)=0と な る と き,α を!(x)の 根 と い う.口
定義A.1.2あ る数 αが ある体Kの 元 を係 数 とす る多項式 の根 で あ る と き,α はK上 代数 的 である とい う.ロ
定義A.1.3Kの 元 を係数 とす る2つ の多項式f(x),g㈹ につ い て,f(の とg(勾 を共 に割 り切 るK係 数 の多項 式が 定数 のみ であ る とき,!(勾 と g(x)は 互い に素 であ る とい う.ロ
定 義A.1.4K係 数 のn次 多 項 式f(x)が,K係 数 の 多 項 式g(x)とh(x)を 用 い て!(④=g(x)h(勾 と書 け て い る と き に は 必 ず,g(x),h(x)の い ず れ か が 定 数 の と な る と き,∫(x)はK上 で 既 約 で あ る と い う.口
定 義A.1.5体K上 の0で な い 多 項 式f(x)の 最 高 次 の 係 数 が1で あ る と き,!(x)は モ ニ ッ ク で あ る と い う.
定 義A.1.6あ る 数 α を 根 に もつ 多 項 式!@)が,次 の2つ を 満 た す と き, f(勾 を α の 最 小 多 項 式 と い う.
(1)α を 根 に も つ,!(x)で な い 任 意 の 多 項 式g(勾 に 対 し て,deg!@)<
degg(x)で あ る.
(2)!(x)は モ ニ ッ ク で あ る. 口
命 題A.1.7KをCの 部 分 体 と し,α ∈cCがK上 代 数 的 で あ る と す る.
こ の と き,α を 根 に 持 つ 多 項 式f(勾 が 既 約 で あ る こ と の 必 要 十 分 条 件 は, f(勾 が α の 最 小 多 項 式 の 定 数 倍(た だ し,0は 除 く)で あ る こ と で あ る.
証 明!(x)が α の 最 小 多 項 式 で あ る と す る 。 も し も!(x)が 可 約,つ ま り!(勾=g(x)h(勾 か つg(勾,h(x)が 共 に 定 数 で な い と す る と,ノ(α)=
g(α)h,(α) 0よ り,g(α)=0ま た はh(α)=0で あ る.よ っ て,g(勾 ま た はh(勾 は,!(勾 よ り も 次 数 が 低 いaを 根 に 持 つK係 数 の 多 項 式 で あ る.
し か し,!(x)の 選 び 方 か ら こ れ は 矛 盾 で あ る.よ っ て ノ(勾 は 既 約 で あ る.
一 方 ,f(x)が 既 約 で あ る とす る.仮 に,α を 根 に 持 つf(の よ り も 次 数 の 低 い 多 項 式 が 存 在 し た とす る.そ こ で,そ の よ う な 多 項 式 の 中 で 次 数 が 最 小 の も の をg(x)と す る.こ の と き,多 項 式 の 除 法 に よ り,
f(x)=p(x)g(x)十r(x)(degr(x)<degg(x))
と な る 多 項 式p(x),r(x)が 存 在 す る,x=α を 代 入 す る と,
!(α)=p(α)9(α)+r(α)=o
で あ る.f(α)=g(α)=0で あ る か ら,r(α)ニ0で あ る が,こ れ はg(x)の 選 び 方 に 矛 盾 で あ る.よ っ て,f(x)が 既 約 で あ れ ば,!(x)よ り も 次 数 の 低 い 多 項 式 は α を 根 に 持 た な い.[コ
命 題A.1.8あ る 数 α の 最 小 多 項 式 を!(x)と す る.こ の と き,α を 根 に 持 つ 任 意 の 多 項 式g(x)は ノ(x)で 割 り切 れ る.
証 明 多 項 式 の 除 法 に よ り,9(x)をf(x)で 割 る と,
9(x)=p(x)!(x)十r(x)(degr(x)くdeg!(x)) と で き る,∬=α を 代 入 す る と,
9(a)=p(a)f(cti)一}‑r(cti)=0
で あ る.ノ(α);g(α)●iで あ る か ら,r(α)=0で あ る が,f(勾 の 選 び 方 か ら,r(x)≡0で な け れ ば な ら な い.よ っ て,
9(x)=P(x).f(x)
と な っ て,g(勾 はf(勾 で 割 り切 れ る. [コ
命 題A.1.9KをCの 部 分 体,α をCの 元 と し,E=K(α)と す る.ま た, α を 根 に も つK上 既 約 な 多 項 式 を ノ(x)と す る.こ の と き,Eの 任 意 の 元 θは,ノ(x)よ り も 次 数 の 低 いK上 の 多 項 式g@)を 用 い て,
θ=9(α) と 一 意 的 に 書 け る.
証 明f(x)よ り も次 数 の 低 い 多 項 式g@),g'@)を 用 い て, θe9(α)=9'(α)
と2通 り に 書 け た と す る.こ の と き,g(α)‑g'(α)●1で あ る か ら, ん(x)=9(伍)‑9ノ(x)
と す る と,h(勾 は α を 根 に 持 つ 多 項 式 で あ る.命 題A.1.8と!(x)の 選 び 方 か ら,そ の よ う なh(の は 零 多 項 式 以 外 に 有 り得 な い.し た が っ て, 9(x)=9,@)で あ る.口
命 題A.1.102つ の 多 項 式f(x),g(x)が 互 い に 素 で あ る と き,あ る0で な い 多 項 式h(x),双 の を 用 い て
!(∬)ん(x)十9(x)k(x)==1 と で き る.ま た,そ の 逆 も 成 り 立 つ.
証 明 多 項 式f(x),g(x)が 互 い に 素 で あ る と す る.deg!(x)>degg(x)と
す る.こ の と き ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 を 用 い てf(x),9(x)の 最 大 公 約 数 を 求 め れ ば,f(x),g(x)が 互 い に 素 よ り1と な っ て,そ こ か ら 導 か れ る.詳 細 は 参 考 文 献[7]を 参 照.
次 に,多 項 式!(勾,9(x)が あ る0で な い 多 項 式h(x),ん@)を 用 い て,
!(x)ん(x)十9(x)ん(x)=1 と で き る と す る.こ の と き,f(勾,g(x)に,
∫(x)=!ノ(x)P(x)9(偲)=9ノ(x)p(x)
の よ う な0で な い 共 通 因 子p(x)が 存 在 し た と す る と, .f'(x)p(x)h(勾+g'(x)P@)k(勾=1
で あ り,p(④ の 根 α を 代 入 す れ ば,0=1と な っ て 矛 盾 す る,し た が っ て, ノ(勾,g@)は 互 い に 素 で あ る.口
補 題A.1.11∫(x)を 体K上 の 多 項 式 と し,∫( と 互 い に 素 なK上 の 多 項 式 をp(勾,q(勾 とす る.こ の と き,p(x)4'(勾 も ノ(x)と 互 い に 素 で あ る.
証 明p@),q(x)は!(勾 と 互 い に 素 よ り,補 題A.1.10よ り,K上 の 多 項 式 α(x),b(x),α'(x),b'(の を 用 い て,
f(x)a(x)+P(x)b(x)=1
!(x)α'(x)+q(x)わ'㈲ 一1
と で き る.式(A.2)の 両 辺 にp(の を か け る と,
p(④ ノ(勾 αノ(x)+p(x)q(x)b'(勾=P(勾 で あ り,こ れ を 式(A.1)に 代 入 す る と,
f(x)a(x)+{p(23)!(x)Q'(④+p(x)q(x)b'(x)}b(x)=1
⇔!(x){a(x)+P@)α'@)b(x)}+p@)q(x)わ(x)b'@)=1
し た が っ て,補 題A.1.10よ り,p(x)g@)はf(勾 と 既 約 で あ る,
(A.1) (A.2)
口 命 題A。1.12!(の を 体K上 の 多 項 式 とす る.∫(x}の 既 約 多 項 式 へ の 分 解 は,順 序 と定 数 倍 を 除 い て 一 意 で あ る.
証 明 ノ(勾 の 各 項 の 係 数 の 最 大 公 約 数 をdと し,g(x)=df(コ じ)とす る.g(勾 がK上 の 既 約 な 多 項 式 を 用 い て,
9(勾=P、(珈2@)・ ・P。(x)=q、(x)42(x)…qm@)
と2通 り に 因 数 分 解 さ れ た と す る.n=1の と き,pl(x)は 既 約 で あ る か ら, 明 ら か にm=1で あ り,p1(x)=ql(x)で あ る か ら,こ の 命 題 は 成 り立 つ.
次 に,既 約 因 子 がn個 よ り 少 な い と き に こ の 命 題 が 成 立 す る と し て,既 約 因 子 がn個 の と き を 考 え る.仮 に,41(x)カ ㍉)1(x),P2(x),…,pn(勾 の い ず れ と も 一 致 し な け れ ば,Q1(x)とp1@),pz(x),…,pπ(x)が 互 い に 素 で あ る か ら,補 題A.1.11か ら,g1(x)と ノ(勾=P1(x)pz(x)…pη(x)は 互 い に 素 で あ る が,こ れ は 矛 盾 で あ る.し た が っ て,p1(x)=ql(④ と し て よ い.
よ っ て,帰 納 法 の 仮 定 か ら,pz(勾,p3(x),…,pπ(x)を 適 当 に 並 び 替 え れ ば, Q2(④,Q3(x),…,q鼠 勾 と 一 致 す る の で,命 題 は 成 立 す る.□
命 題A.1.131次 以 上 の 体K上 のn次 多 項 式f(x)は,n個 よ り 多 く の 異 な る 根 を 持 た な い.
証 明nに 関す る帰納 法 で示 すn=1の とき,∫(x)を
ア@)=ax+わ(α ≠o) ろ
と す る と,!@)の 根 はx=一 で あ る か ら 明 ら か に 根 は1つ で あ る.
次 に,degf(x)<nの と き に こ の 命 題 が 成 立 す る と し て,degf(x)=n の と き を 考 え るf(x)の 根 の1つ を α と す る と,
∫(勾=(卜 α)9(x)
と で き る.degg(x)=n‑1で あ る か ら,帰 納 法 の 仮 定 よ り,9(④ はn‑1 個 よ り 多 く の 根 を 持 た な い.し た が っ て,題 意 は 成 立 す る.〔]
A.2ベ ク トル 空 間
あ る 数 の 作 図 可 能 性 を 調 べ る と き,そ の 数 が 含 ま れ る 体 を ベ ク トル 空 間 と み な し た 次 元 が 重 要 と な る.そ こ で,以 下 に 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 の 定 義 を 行 う.
定 義A.2.1Kを 体,Vを 集 合 と す る.任 意 の ∬,〃∈ 五,α ∈Kに 対 し て,
(a)xと ッの 和 と 呼 ば れ るVの 元x+y (b)xの ス カ ラ ー 倍 と呼 ば れ るvの 元 α 窟
が 定 ま っ て い て,以 下 の8つ の 条 件 が 満 た さ れ る と き,VはK上 の ベ ク ト ル 空 間 で あ る と い う.
(1)(x+野)十z=x十(ツ+z) (2)x十2ノ=〃 十x
(3)あ る0と 呼 ば れ る 特 別 な γ の 元 が あ っ て,任 意 のx∈Vに 対 し て,
x十 〇=コ じ
(4)任 意 のx∈Vに 対 し て,x+x=oと な るx∈Vが 存 在 す る.
(5)α,β ∈K,x∈Vに 対 し,(α β)・x=.●(β ・勾 が 成 り 立 っ.
(6)α,β ∈K,x∈Vに 対 し,(α+β)・x=a・x+β 切 が 成 り 立 つ.
(7)α ∈K,x,雪 ∈Vに 対 し,α ・伽+ω=α 切+a・yが 成 り 立 つ ・ (8)Kの 乗 法 に 関 す る 単 位 元1に 対 し て,1畷=xが 成 り 立 っ. [コ 定 義A.22VをK上 の ベ ク ト ル 空 間,xl,x2,…,賜 ∈Vと す る.こ の
と き,任 意 のx∈Vが,
x=λ 両+λ2∬2+…+λ 凸(λ 、∈ 一κ)
と 書 け る と き,娠 物,…,賜 はVを 生 成 す る と い う.こ の と き,Vを (xl,ω2・ 一,∬ π〉 と 表 す.□
定 義A.2.3VをK上 の ベ ク トル 空 間 と す る.こ の と き,xl,∬2,…xn∈V に 対 し て,λ1=λ2=…=λ η=0で あ る と き 以 外 は,
λ、x、+λ2∬2+…+λ 凸=0(λ 乞 ∈K)
を 満 た さ な い と き,xl,x2,… 賜 はK上1次 独 立 で あ る と い う.
xl,x2,…xnが1次 独 立 で な い,つ ま り,少 な く と も1っ は0で な い λ を 用 い て λ1∬1+λ2∬2+…+λ 濯n=0と で き る と き,￠1,x2,… 妬 は1次 従 属 で あ る と い う.日
定 義A.2.4VをK上 の ベ ク トル 空 間 とす る.こ の と き,xl,x2,…xn∈K がVを 生 成 し て い て,か つ1次 独 立 で あ る と き,xl,x2,…,賜 はVの 基 底 で あ る と い う.ロ
補 題A.2.5VをK上 の ベ ク トル 空 間 と す る 。xl,x2,… ∬m∈VがVを 生 成 し て い る と き,mよ り多 いVの 元 の 組 は1次 従 属 。つ ま り,V内 の1 次 独 立 で あ る ベ ク トル の 個 数 はm以 下 で あ る.
証明 証明は参考文献 国 を参照.
口命 題A.2。6VをK上 の ベ ク ト ル 空 間 と す る 。 こ の と き,xl,x2,…,xnと g1,〃2,…,伽 を そ れ ぞ れVの 基 底 と す る と,n=mと な る.
証 明xl,ω2,…,xnはK上 で,Vを 生 成 し て い て,賀1,yz,…,除 はK上 で1次 独 立 な の で,補 題.4.2.5よ り,m≦nで あ る.一 方 で,〃1,y2,…,腕 はVを 生 成 し て い て,娠 ∬2,…,賜 はK上 で1次 独 立 な の で,n≦mで あ る.し た が っ て,こ の 二 つ の 不 等 式 か らmニnで あ る.□
定 義A.2.7VをK上 の ベ ク トル 空 間 と す る.Vに 基 底 が あ る と き,上 の 命 題 オ.2.6に よ り,Vの 基 底xl,x2,…,xnに 含 ま れ る ベ ク トル の 個 数n は,基 底 に よ ら ず 一 定 で あ る 、こ のnをVのK上 の 次 元 と い う.ま た,基 底 を 持 つ ベ ク トル 空 間 を 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 と い う.口
定 義A.2.8あ る ベ ク トル 空 間Wに 対 し て,Wの 部 分 集 合VがWの 演 算 で 閉 じ て い る と き,つ ま り,Vの 任 意 の 元 α,bとKの 任 意 の 元 鳶が
a十bEV κ ・α ∈V
を満 たす とき,VをWの 部分ベ ク トル空 間 とい う.
口補題A.2.9VがWのK上 の有 限次元 の部分 ベ ク トル空 問であ る とき,
dimKV<dimKW で あ る.
証 明Wの 基 底 をxl,x2,…,賜,Vの 基 底 をyi,g2,…,筋 と す る.こ の と き,ω1,偲2,…,∬ η はWを 生 成 し て い る.こ こ で,ッ1,〃2,…,脈 は1次 独 立 よ り,補 題A.2.5か らm≦nで あ る.口
A.3連 立 方 程 式
定 義A.3.1体K上 の ベ ク トル 空 間V,Wの 間 の 写 像!:V‑→Wが,V の 元 α,β とKの 元kに 対 して
(1)f(α+β)=ノ(α)+ノ(β) (2)f(ka)=ん!(α)
を 満 た す と き,fを 線 形 写 像 とい う. [コ
定 義A.3.2V,Wを ベ ク トル 空 間 と す る.Vか らWへ の 線 形 写 像 ∫ に 対 し て,fに よ っ て 移 さ れ る ベ ク トル 全 体 の な す 集 合{f(x)∈ 瑚 ∬ ∈V}
を ノ の 像 と い い,Imfと 書 く.ま た,!に よ っ て 零 ベ ク トル に 移 さ れ るV の 元 全 体 の な す 集 合{x∈yl!(x)=0}をfの 核 と い い,kerノ と 書 く .口
補 題A.3.3体K上 の ベ ク トル 空 間V,Wに 対 し て,∫ がVか らWへ の 線 形 写 像 と す る.こ の と き,fの 核 はVの,fの 像 はWの 部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.
証 明ker!の 任 意 の 元 を 銑 〃識 をKの 任 意 の 乖 と す る.こ の と き,
!(x十 〃)=ア(勾 十!ω;0 ノ(ん勾=ん ∫ω=0
で あ る.し た が っ て,x+y,ん ∬ はkerfの 元 で あ る.し た が っ て,kerfはV の 部 分 ベ ク トル 空 闘 で あ る.
x,〃 をVの 任 意 の 元 と し,kをKの 任 意 の 元 と す る.こ の と き,
f(x)十 ∫(ツ)=ノ(x十 〃) んノ(勾=ノ(kx)
で あ る.し た が っ て,f(x)+f(〃),好(x)はImfの 元 で あ る.よ っ て,Imf はWの 部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.口
定 理A.3.4体K上 の ベ ク トル 空 間V,Wに 対 し て,!をVか らWへ の 線 形 写 像 と す る.こ の と き,
dimkerf‑1‑dimImf=dimV
で あ る.
証 明Imノ の 基 底 を ッ1,g2,…,腕,kerfの 基 底 をxl,x2,…,xmと す る.
さ ら に,ノ で 跳,〃2,…,腕 に 移 る よ う なVの 元 を ッi,託,…,垢 と す る.
ま ず,xl,x2,…,賜,班,垢,…,垢 が1次 独 立 で あ る こ と を 示 す.
b1ッi十b2託 十 … 十 わη垢 十alxl十a2x2十 … 十CLmxm=0(A.3)
と す る.こ の と き,両 辺 にfを か け る と, biyl+b2y2+…+6蔽=0
よ り,〃,は 基 底 だ か ら,bl=b2=…=6η=0で あ る.し た が っ て,こ れ を 式(A.3)に 代 入 す れ ば,x2が 基 底 だ か ら,α1=α2ニ …;αm=0で あ る.