第3章 ガ ロア理 論 と作 図可能 性
3.4 準[n]次 拡 大
定義3.4.1あ る体Kに 唯一つ の数 αを付 加 した体K(α)をKの 単純拡 大体 とい う.口
以下,有 限次拡大 は単純拡大で ある こ とを示す.こ の ことを用いず に後 の証明 を行 うことも可能 ではあるが,こ の命題 を用 い るこ とで後 の証 明が 大変簡 明 とな るため,こ こで触れて お く.
命 題3.4.2ZEを 体K上 の 有 限 次 拡 大 体 とす る.こ の と き, (1)KとEの 中 間 体 は 有 限 個 で あ る.
(2)EはKの 単 純 拡 大 体 で あ る.
証 明(1)E=K(α1,α2,…,α の と す る.ま た,PZ(x)をa8の 最 小 多 項 式 と す る.さ ら に,
p(④ 一rlp、(勾
乞
と し て,p(x)の 分 解 体 をﾉと す る.こ の と き,定 理3。3.12か ら,万 は K上 の 正 規 拡 大 体 で あ る.ま た,E⊂ﾉで あ る か ら,ﾉの 中 間 体 が 有 2本 論 文 で は
,Eを 複 素 数 の 部 分 体 に限 定 して い る た め に 特 に触 れ て は い な い が,Eの 標 数 が0で な い と き は,こ の 命 題 は 成 立 しな い.
限 個 で あ る こ と を 示 せ ば よい.K⊂B⊂Eと す る と,定 理3.2.3か ら, .BはAut(万/K)の 部 分 群 と対 応 す る.と こ ろ で,Aut(ﾉ/K)の 元 は, P(勾 の 根 の 入 れ 替 え 方 で 全 て が 決 ま っ て し ま う の で,Aut(万/K)は 有 限 群 で あ り,そ の 部 分 群 は 有 限 個 し か 存 在 し な い 。 し た が っ て,題 意
は 成 立 す る.
(2)EがKの 有 限 次 拡 大 体 で あ る と す る.そ こ で,E=K(α1,α2,…,α η) と し て,Kに 付 加 す る 元 の 個 数 に 関 す る 帰 納 法 を 用 い る.ne1の と き は 明 ら か で あ る か ら,付 加 す る 元 の 個 数 がn個 未 満 の と き に は 命 題 が 成 立 す る と して,付 加 す る 元 の 個 数 が 丁 度 η個 の と き を 考 え る.
こ の と き,帰 納 法 の 仮 定 か ら,K(α1,α2,…,αn̲1)=K(β)と で き る.
よ っ て,α η;α と お け ば,E=K(α,β)で あ る.こ こ で,Kの あ る 元Cを 取 り,ッ。=α+Cβ と す る.こ の と き,K。=K(7c)と す る と,
K。=K(α,β)と な るcが 存 在 す る こ と を 示 す.
K、 はEの 中 間 体 で あ る か ら,K。 の 選 び 方 は 有 限 個 し か 存 在 し な い.
一 方 で
,KはCの 部 分 体 で あ る か ら有 理 数 の 集 合 を 含 み,cの 選 び 方 は 無 限 に 存 在 す る.よ っ て,c≠dか つK.=Kaと な る よ う なc,dが 存 在 す る.そ の よ う なc,dに 対 し て,ッ 。と 物 はK。 の 元 で あ る か ら, ッ.一 物=(c一 の β はK。 の 元 で あ る.よ っ て,β は 一κ。の 元 で あ り,a
もK。 の 元 で あ る.ゆ え に,K(α,β)⊂K('1'。)で あ る.一 方,K(α,β) は 明 ら か に α+cβ を 含 む か ら,K(/C)⊂K(α,β)で あ る.し た が っ て, K、=K(α,β)で あ る.よ っ て,E=K(7。)と で き る の で,題 意 は 成 立 す る.
さ て,例 え ば,あ る 数 α が 体Kの 元 か ら ε 作 図 可 能 で あ る こ と は, K=Ko⊂K1⊂ … ⊂Kn⊂R(た だ し,[Ki+1:瓦]=2)
の よ う な 体 の 列 が 存 在 し て,α がKnに 含 ま れ る こ と で あ っ た.こ の よ う な 体 の 列 の 性 質 に つ い て の 定 義 を 以 下 に 行 う.
定 義3.4.3自 然 数 の 集 合{1,2,…,n}を[n]と 表 す こ と に す る.体K上 の 拡 大 体 五 と,あ る 自然 数nに 対 し てaあ る 拡 大 体 の 列
K=KicK2C…CKm=L
が あ っ て,2≦2≦mに 対 して,[Ki:瓦 司 ∈[n]を 満 た す と き,LをK上 の 準 回 次 拡 大 体,ま た は,準{2,3,…,n}次 拡 大 体 と い う こ と に す る.
特 にn=2の と き は,単 に 準2次 拡 大 とい う.口
この定 義 に従 えば,数 αがKの 元 か ら ε作図可能 で ある こ との必 要十 分条 件 は,α が,K上 の実数 か らなる,あ る準2次 拡大体 に含 まれ るこ とで あ る.ま た,数 αがKの 元か ら0作 図可能 であ る ことの必要十分条 件 は, αが,K上 の実数 か らな る,あ る準{2,3}次 拡 大体 に含 まれ る ことであ る.
そ こ で,数 α がK上 の あ る 準 回 次 拡 大 に 含 ま れ る た め の 条 件 を 考 え る.即 ち,定 理3.4.9を 示 す こ とが こ の 節 の 主 た る 目 的 で あ る.そ の た め に,い くつ か の 補 題 を 証 明 す る.
補 題3.4.4LとL'を 体K上 の 拡 大 体,σ をKを 不 変 に す るLか らL'へ の 同 型 写 像 とす る.こ の と き,Lが 準 回 次 拡 大 で あ れ ば,L'も 準 回 次 拡 大 で あ る.
証 明Lが 準[n]次 拡大 であ るか ら,
K=KoCKICK2C...CKs=L([Ki:Kz̲1]<̲n)
で あ る 、ま ず,σ が 同 型 写 像 で あ る か ら,Lの 中 間 体Kiに 対 し て,K、 の 像 σ(κ琶)がL'の 中 間 体 で あ る こ と は 用 意 に 確 認 で き る.
次 に,命 題3.4.2か ら,瓦=K(α)と 書 け る.よ っ て,[Ki:K]=pと す る と,α はK上 既 約 なp次 多 項 式!@)の 根 で あ る.こ こ で,σ(Ki)=K(σ(α)) で あ る.σ はK上 の 線 形 写 像 で あ る か ら,σ(α)は 六 勾 の 根 で あ る.し た が っ て,[Kz:K]=[σ(Ki):K]=pで あ る.ゆ え に,KzのK上 の 次 元 は σ に よ っ て 不 変 で あ る.さ ら に,[瓦:K]̲[瓦:KZ‑1][KZ‑1:K]で あ る か ら,Ki̲1上 の 瓦 の 次 元 も σ に よ っ て 不 変 で あ る.以 上 か ら,L'はK上 の 準[n]次 拡 大 で あ る,口
定 義3.4.5KとK'を 体 とす る.こ の と き,KUK'を 含 む 最 小 の 体 をKK' と書 き,KとK'の 合 成 体 と い う.口
例 え ば,
L=‑K(α 、,α2,…,α の L'=K(β 、,β2,・,β 。)
で あ る と す る と,LL'=K(α1,・ ・,α 物 β1,・ ・,βη)で あ る.
補 題3.4.6Lを 体K上 の 拡 大 体 と す る.こ の と き,あ る 数 α に 対 し て, [K(α):K]=nな ら ば,[L(α):L]≦nで あ る,
証 明[K(α):K]=nで あ れ ば,命 題1.2.6か ら,α は あ るK上 の 既 約n次 多 項 式f(x)の 根 で あ る.こ のf(勾 がL上 で も既 約 で あ れ ば,[L(α):L]ニn で あ る.!@)がL上 で 可 約 で あ れ ば,α はdeg9(の くdegf(x)で あ る よ
う なL上 の 既 約 多 項 式g(④ の 根 で あ る か ら,[L(a):L]<nで あ る 。 口 補 題3,4.7LとL'をK上 の 拡 大 体 と す る.LとL̀がK上 の 準[n]次 拡 大 体 な ら ば,LL'も ま たK上 の 準[n]次 拡 大 で あ る.
証明L'はK上 の準 回 次拡大 であ るか ら,
.K=K・ ⊂K2⊂ … ⊂‑Km一 五'([Ki+、 ・Ki]≦n)
と で き る.こ の と き,命 題3.4.2か ら,κ,+1=Ki(α ∂ と し て よ い.よ っ て, L'=K(α1,α2,…,αm̲1)で あ る.ゆ え に,LL'=L(α1,α2,…,am‑1)で
あ る.し た が っ て,Lz=Lz‑1(α ∂ と す る と,
κ ⊂ 五=五 〇 ⊂L1⊂ 五2⊂ … ⊂ 五凱 一1=五 刀
で あ る.こ こ で,補 題3.4.6か ら,[五,:五 ￠‑11≦nで あ る.し た が っ て,題 意 は 成 立 す る.日
定 理3.4.8Lが 体K上 の 準 囮 次 拡 大 体 で あ る と す る.こ の と き,Lを 含 むK上 正 規 な 準[n]次 拡 大 体 Ω が 存 在 す る.
証 明 命 題3.4.2か ら,L=K(α1)と して よ い.α1の 最 小 多 項 式 をf(x)と し,f(x)の 根 を α1,α2,…,α ηと す る.f(x)は 既 約 で あ る か ら,補 題3.3.4 よ りK(α ∂ は 全 てK(α1)と 同 型 で あ る.し た が っ て,補 題3.4.4か ら 各 K(α ∂ は 全 てK上 準 回 次 拡 大 で あ る.そ こ で,52=K(α1,α2,…,α の と す る と,Ω は 各K(α ∂ の 合 成 体 で あ る.よ っ て,補 題3.4。7か ら Ω はK上 準 回 次 拡 大 で あ り,L⊂ Ω で あ る.と こ ろ で,Ω は!(x)の 根 を 全 て 含 む
か ら ノ@)の 分 解 体 で あ る.ゆ え に,定 理3.3.12か ら Ω はK上 の 正 規 拡 大 で あ る.よ っ て,命 題 は 成 り立 つ.口
定 理3.4.9Lを 体K上 の 準[n]次 拡 大 体 と す る.ま た,Lの 元 α に 対 し て,α のK上 の 最 小 多 項 式 を ア(勾 と す る 。こ の と き,f(x)のK上 の 分 解 体 をEと す る と,EのK上 の 次 数 は,0以 上 の 整 数pz,p3,…,pnを 用 い
て,[E:K]=2P23P・ … η翫 と表 す こ と が で き る.
証 明 五 は 体K上 の 準[n]次 拡 大 体 で あ る か ら,定 理3.4.8よ り,Lを 含 む K上 正 規 な 準[n]次 拡 大 体 Ω が 存 在 す る.よ っ て,[Ω:K]=2q・3q・ …n4n と表 す こ と が で き る.α は Ω の 元 で も あ る か ら,定 理3.3.11よ り,Ω は ノ(x) の 根 を 全 て 含 む ゆ え に,K⊂E⊂ Ω で あ る か ら,[E:K]は[Ω=珂 の 約 数 で あ り,[E:K]=2p23P3… ηP・と表 す こ と が で き る.□
この定理 の特別 な場合 として,作 図に関係 するn=2とnニ3の 場合 を 系 と して抜 き出す.
系3.4.10α を 複 素 数 と し,∫(x)を α の 最 小 多 項 式 と す る.α がK上 の あ る 準2次 拡 大 体Lに 含 ま れ る と き,f(x)のK上 の 分 解 体 をEと す る と, [E:K]=2kと 表 す こ と が で き る.
系3.4.11α を 複 素 数 と し,!(x)を α の 最 小 多 項 式 と す る.α がK上 の あ る 準{2,3}次 拡 大 体Lに 含 ま れ る と き,!(x)のK上 の 分 解 体 をEと す る
と,[E:K]=2鯉 と 表 す こ と が で き る.