なのZA‑1‑amb
n)と 書 ける この とき,点@齢)上 の点
で あ る こ と は,!}1(x,ω が π 上 の 点 で あ る こ と と 同 値 で あ る.つ ま り, (ax+my,bx+ny)が π 上 の 点 で あ る か ら,式(2.7)に 代 入 し て,
(x,ツ)∈f(π)
⇔{α(ax+吻+b(bx+吻+c}2
=(a2+b2){(ax‑1‑my‐pl)2+(bx+ny‐pa)Z}
⇔{(α2+う2)x+(・m+bn)㌢+・}2
‑(α2+わ2){(・2+b2)♂+伽2+n2)〃2+2(am+bn)xy
‐2(apl十bp2)x‐2(mpl十np2)y十pi十p2}
⇔(α2十b2)2x2十(am十bn)2y2十2(α2‑←b2)(am十bn)xy 十2(α2十b2)c∬ 十 ④ の1次 式) 一(α2+b2)2♂+(α2+b2)(m2+n2)〃2+2(α2+b2)(・m+bn)xy
‑2(α2+δ2)(api+bp2)x+@の1次 式)
⇔{(・m+bn)2‑(α2+b2)(m2‑}‑n2)}ず
=‑2(α2+b2)(api+bpz+c)x+(〃 の1次 式)
で あ る.こ こ で,
(αm十 わη)2‑(α2+わ2)(m2‑Fn2)
=一(a2n2‑2abmn十 わzm2) 一 一(α 卜6m)2
な の で,〃2の 係 数 は0で は な い.さ ら に,xの 係 数(a2+b2)(api+δp2+c)
を 考 え る と,α,bは 直 線Zの 係 数 で あ る か ら,ど ち ら か 一 方 は0で な い の で,a2‑1‑b2は0で な い.ま た,点Pは π の 焦 点 よ り,i上 に は 無 い の で, αp1+bpa+cも0で は な い.よ っ て,xの 係 数 は0で は な い.し た が っ て,
!(π)の 式 は,s,s',s"(た だ し,5≠0)を 用 い て,
∬esy十8〃 十s 〃
と 表 す こ と が で き る.ゆ え に,題 意 は 成 立 す る. 口 系2.5.12Kを 体 と し,a,b,cをKの 元 と す る.ま た,点P(p1,pa)を 焦 点, 直 線Z:ax+by+c=0を 準 線 と す る 放 物 線 を π と す る.
こ の と き,Kの 元 を 係 数 と す る 正 則 で!㈲=(Dと な る1次 変 換 ノ に 対 し,f(π)は 次 の よ う に 表 さ れ る.
∫(π)・9‑s(x‐u)2+v(・,u,v∈K,s≠0)
証 明9(1)一(1)と して.f'‑9・!と す れ̀弍
.f'Cb/=g(1)ﾘ(1)
で あ る.し た が っ て,補 題2.5.11か ら,焦 点P,準 線Zで 決 ま る 放 物 線 π に 対 し て,∫'(π)は ∬=8@一 の2+vと 書 け る.よ っ て,f(π)=g・!'(π)よ り,
!(7「)・ 〃‑s(x‐u)2+v
で あ る. 口
補 題2.5.13Zを 直 線!:R2→R2を 体Kの 元 を 係 数 と す る 正 則 な1次 変i換 で あ る と す る 。 こ の と き,f(1)の 式 の 係 数 がKの 元 で あ れ ば,Zの 標 準 係 数 もKの 元 で あ る.
証 明Kの 元p,q,r,8に 対 し て,
f(1)一 オG)
)
98Pr
(
;
と す る.f(1>の 式 をax+by+c=0と す る と,Z上 の 点(x,y)に 対 し て,!
が 正 則 で あ る こ と か ら,
(x,〃)∈z⇔!(x,〃)∈!(1)
⇔(P∬ 一トqy,rx十sy)∈f(の
で あ る.し た が っ て,Zの 式 はa(px+g〃)+b(rx+Sy)+c=0で あ る か ら, x,影 に つ い て 整 理 す れ ば,
(ap+br)x+(αq+わ8)〃+c=o
(2.8)
で あ る.
ここで,式(2.8)の 係数 はKの 元 の積 と和 なのでKの 元 であ る,し た が って,標 準係数 の定 義か ら,置の標準 係数 が 一 κ の元 であ るこ とは明 らか で あ る.口
命 題2.5.14P,QをKの 元 を 座 標 とす る 点,ZをKの 元 を 係 数 と す る 直 線 と す る.こ の と き,Pを 焦 点,」 を 準 線 と す る 放 物 線 π に 対 し て,π に 接 し てQを 通 る 直 線mが あ れ ば,mの 標 準 係 数 はKの2次 拡 大 に 含 ま れ る.
証 明Z:ax+吻+c=0と す る.1次 変 換 ∫:聡2→R2を,
ノ ① 一壽 ￠ マ)c)
とすると,fは 正則で係継 の元であ り,!(1)一(1)で ある・
こ の と き,系2.5.12か ら,!(π)の 式 は,Kの 元s,u,vを 用 い て,
!(π)・ ッ ーs(x‐u)a+v と 書 け る.
!(Q):(p,q)と お く と,p,qはKの 元 で あ り,!は 正 則 な の で,直 線!(m) はf(π)に 接 し て!(Q)を 通 る,こ のf(m)の 傾 き を κ と す る と,f(m)が
!(Q)を 通 る こ と か ら,∫(m)の 式 は,
f(m):y=k(x‑p)+4
と表 さ れ る.!(m)がf(π)に 接 す る 条 件 を 求 め る た め に,∫(m)とf(π)の 共 有 点 を 求 め る 方 程 式 を 考 え る と,
k(x‐p)‑1‑q=s(x‐u)2‑1‑v
⇔k(x‑u+レP)+4=s(x‑u)2+v
で あ り,x‑u=Xと お く と
sX2‐k.X+レ9一 ん(u‑p)=0
で あ る.こ こ で,f(m)とf(c)が 接 す る た め の 条 件 は,判 別 式 が0と な る こ と で あ る か ら,
k2+4s{k(u‐p)‐(v‐g)}=0
で あ る.よ っ て,kはK係 数 の2次 方 程 式 を 満 た す.つ ま り,mが 存 在 す る な ら ば,f(m)の 傾 きkは,あ るKの 元 α に 対 し て,鳶 ∈K(轟)で あ る.
f(m)は ッ=槍 一p)+qと 書 け る の で,!(m)の 係 数 は 全 てK(轟)の 元 で あ り,(ノ の 係 数)∈K⊂K(亟)だ か ら,補 題2.5.13よ り,mの 標 準 係 数 はK(轟)の 元 で あ る.口
命 題2.5.15P,P'をK点,1,1'をKの 元 を 係 数 と す る,平 行 で な い2直 線 と し,次 の よ う に 定 め る.
P:(p,4')
、P':(pノ,q)
1:ax+by‑1‑c=O
l':痊十b'y‑{‑c'=0
こ の と き,P,1で 決 ま る 放 物 線 π1とP',z'で 決 ま る 放 物 線 π2の 共 通 接 線 ん の 標 準 係 数 はKの3次 拡 大 に 含 ま れ る.
証 明 ま ず,Z,Z'は 平 行 で な い の で,ab'‐a'b≠0で あ る.そ こ で,π1,π2に 対 し,正 則 な1次 変 換 ノ:R2→IR2を.
!(1)‑A(1)た だ しA‑1(b'‐a' ‐ba)
と す る と,!㈲
ノ(π1),f(π2)は
=(10),!(91)ﾘ(Oi)よ り,補 題2.5.11,系2.5.12か ら
f(π 、)・x=s(y‑u)2+v(s,u,vEK)
ノ(π、)・y=s'￠ 一 の2+v'(s',u',v'∈K)
と書 け る.さ ら に,x軸 方 向 に 一u',〃 軸 方 向 に 一v'だ け 並 行 移 動 す る 写 像 をhと す れ ば,
hof(π1):x=s(9‑u+v')2+v‑u' ん 。!(π 、)・9‑s'x2
と な る,こ の と き,補 題2.4.5か らhof(π1)とhof(π2)の 共 通 接 線k'の 傾 き はKの3次 拡 大 体K'に 含 ま れ る 。さ ら に,1の 影切 片 は 補 題2.4.5の 式(2.5)で 与 え ら れ る か ら,Zの ッ切 片 も 同 じ3次 拡 大 体K'に 含 ま れ る.
さ ら に,u',v'∈Kよ り,!㈹eh‑1(ん')の 標 準 係 数 もK'に 含 ま れ る.
つ ま り,∫㈹ の 標 準 係 数 はKを3次 拡 大 して 得 ら れ た 体 に 含 ま れ る.よ っ て,(ノ の 係 数)∈K⊂K'よ り,補 題2.5.13か ら,kの 傾 き はKの3次 拡 大
体K'に 含 ま れ る 。 口
命 題2.5.16P,P'をK点,♂,1'をKの 元 を 係 数 とす る 平 行 な2直 線 と し, 次 の よ う に 定 め る.
P:(p,g) Pノ:(p',q')
Z:α ￠+吻+c=O Z':α コじ+⑳+c'=0
こ の と き,P,♂ で 決 ま る 放 物 線 π1とP',1'で 決 ま る 放 物 線 π2の 共 通 接 線 kの 標 準 係 数 は,Kの2次 拡 大 に 含 ま れ る.
証 明 π1,π2に 対 し,正 則 な1次 変 換!:飛2→ 飛2を
ノ(1)一 澄(1)た だ し̲1‐baA a2+b2ab)
と す る と,f(b)=(Oi)で あ る.よ っ て,系2.5.12か らg(π1),g(π2)は
!(π 、)・y=s(x‑u)2+・(s,u,v∈K,s≠0) f(π 、):y=s'(x‑u')2+v'(8', v'∈K,s'≠0)
と書 け る.ま た,∫ ㈹ の 方 程 式 を ッ=m￠+nと お く 。そ こ で,∫ ㈹ と!(π1) の 共 有 点 のxを 求 め る 方 程 式 を 考 え る と,
mx+n=s(x‐u)a+v
⇔m@‑u+の+n‑8(x‑u)2+v
で あ る.こ こ で,x‑u=Xと お く と
8×2‑mX+v‑mu‑n=0
で あ る.こ こ で!㈹ と 八 π1)は 接 す る の で,こ の2次 方 程 式 の 判 別 式 が0 と な る.よ っ て,mが 満 た す べ き 条 件 は,
m2‐4s(v‐mu‐n)=0(2.9)
で あ る.同 様 に,!㈹ と!(π2)が 接 す る た め のmが 満 た す べ き 条 件 は, m2‐4s'(v'‐m冝]n)=0(2.10)
で あ る.
し た が っ て,式(2,9),式(2.10)か らnを 消 去 し て,mが ∫(π1),f(π2)の 共 通 接 線 と な る 条 件 を 求 め る と,
('s‑s)m2‑485'{(u‑%ノ)十(〆‑t)m}=0
で あ る.よ っ て,mはK係 数 の2次 方 程 式 を 満 た す 。 つ ま り,ん が 存 在 す る な ら ば,!㈹ の 傾 きmは,あ るKの 元 α に 対 し て,m∈K(轟)で あ る.
さ ら に,式(2.9)か ら,
m2 n=mu‐v‑‑4
s