と書 け る.ま た,∫ ㈹ の 方 程 式 を ッ=m￠+nと お く 。そ こ で,∫ ㈹ と!(π1) の 共 有 点 のxを 求 め る 方 程 式 を 考 え る と,
mx+n=s(x‐u)a+v
⇔m@‑u+の+n‑8(x‑u)2+v
で あ る.こ こ で,x‑u=Xと お く と
8×2‑mX+v‑mu‑n=0
で あ る.こ こ で!㈹ と 八 π1)は 接 す る の で,こ の2次 方 程 式 の 判 別 式 が0 と な る.よ っ て,mが 満 た す べ き 条 件 は,
m2‐4s(v‐mu‐n)=0(2.9)
で あ る.同 様 に,!㈹ と!(π2)が 接 す る た め のmが 満 た す べ き 条 件 は, m2‐4s'(v'‐m冝]n)=0(2.10)
で あ る.
し た が っ て,式(2,9),式(2.10)か らnを 消 去 し て,mが ∫(π1),f(π2)の 共 通 接 線 と な る 条 件 を 求 め る と,
('s‑s)m2‑485'{(u‑%ノ)十(〆‑t)m}=0
で あ る.よ っ て,mはK係 数 の2次 方 程 式 を 満 た す 。 つ ま り,ん が 存 在 す る な ら ば,!㈹ の 傾 きmは,あ るKの 元 α に 対 し て,m∈K(轟)で あ る.
さ ら に,式(2.9)か ら,
m2 n=mu‐v‑‑4
s
で あ るか ら,!㈹ の 雪切片nもKの2次 拡 大 に含 まれ る.し たが って,
(!の 係数)∈K⊂K(轟)だ か ら,補 題2.5.13よ り,鳶の標準係数 はKの
2次 拡大 に含 まれ る.し たが って,kの 標準 係数 はKの2次 拡 大 に含 まれ
証 明(定 理2.5.1の 必 要 性)実 数 α が0作 図 可 能 で あ る と す る と,命 題 2.5.3の よ う に 直 線lo,11,12,…,Zπ の 各liが あ っ て,
Z。・〃=0,Z、 ・x=0,12:x=1か つln・y=cxx
で あ り,ら が 次 の い ず れ か を 満 た す よ う に 取 れ る.
(1)Z̀は,1≦s,t,p,q≦i‑1で あ るs,t,P,qに 対 し て,Z哲 は,1,とltの 交 点 と,lpとlqの 交 点 を 通 る 直 線 で あ る.
(2)晒 よ,1≦s,t,p≦2‑1で あ るs,t,pに 対 し て,liは,isとltの 交 点 か ら,Lpに 引 い た 垂 線 で あ る.
(3)IEは,1≦s,t,p,q,r≦2‑1で あ るs,t,pに 対 し て,Z,は,isとiε の 交
点 か ら,lpとiqの 交 点 を 焦 点,ITを 準 線 とす る 放 物 線 へ 引 い た 接 線 で あ る.
(4)婦 ま,1≦s,t,u,p,q,r≦i‑1で あ るs,t,u,p,q,rに 対 し て,liは,ISと
♂孟の 交 点 を 焦 点,㌔ を 準 線 と す る 放 物 線 と,ら とZqの 交 点 を 焦 点,lrを 準 線 と す る 放 物 線 の 共 通 接 線 で あ る.
こ の と き,体Ko〜KnをKo=◎,瓦+1=KZ(lz+1の 標 準 係 数)の よ う に 順 次 定 め て い く と,補 題2.5.5,補 題2.5.6,補 題2.5.7,命 題2.5.14,命 題 2.5.15及 び,命 題2.5.16か ら,[Ki+1:瓦]=1,2ま た は3か つ α ∈ κ π で あ る.し た が っ て α が0作 図 可 能 で あ る と す る と,定 理2.5、1の よ う なQ を 次 々 に2ま た は3次 拡 大 し て 得 ら れ る 適 当 な 体 の 列 が 作 れ る の で,定 理 2.5.1の 必 要 性 も 成 り 立 っ.□
特 に,命 題2,5.15,命 題2.5.16か ら,2.2節 で 述 べ た2つ の 放 物 線 の 共 通 接 線 の 本 数 は,そ の 放 物 線 が ど の よ う な 放 物 線 で あ っ て も,そ の 共 通 接 線 は 最 大 で も3本 し か 引 け な い こ と が 分 か っ た(図2.29参 照).
系2.5.170作 図 に お い て,既 約 な 有 理 係 数 の5次 方 程 式!(x)=0を 解 く こ と は,一 般 的 に は 不 可 能 で あ る.
証 明f(勾=0の 解 の1つ を ρ と お く と,f(勾 は 既 約 な 有 理 係 数 の 多 項 式 な の で,命 題1.2.4か ら[Q(ρ):K]=5で あ る.
も し も ρが0作 図 可 能 な ら ば,定 理2.5.1の よ う な 適 当 な 体 の 列
Q=κ0⊂K1⊂K2⊂ …Kn⊂IL8
([瓦:K2‑1]=2ま た は3,α ∈ κ の
図2.29:共 通 接 線 の 数
が 作 れ る.こ の と き,命 題1.2.7か ら,
[Kπ:(Q]=[1(π:κ 冗̲1]。 ・[K1:(Q≧ 】=2P39(p十q=n)
で あ る.
一 方 ,Q(ρ)⊂ κ πよ り,[κ π:Q]=[κ がQ(ρ)1[Q(ρ):K]と で き て,2P34 が5で 割 り切 れ る こ と に な り矛 盾 す る.し た が っ て,0作 図 で 既 約 な 有 理 係 数 の5次 方 程 式!@)=0を 解 く こ と は 不 可 能 で あ る.口