定 義A.4.1あ る 集 合Gと,Gの 元x,〃 に 対 す る2項 演 算
G×G‑→G(@,の ト →x・y)
が 次 の3つ の 条 件 を 満 た す と き,Gは 群 で あ る と い う.
(1)結 合 法 則 が 成 り 立 つ.つ ま り,任 意 のx,〃,z∈Gに 対 し て,(飾 〃)・z=
x・(y・z)で あ る.
(2)単 位 元 が 存 在 す る.つ ま り,あ る 元e∈Gが 存 在 し て,x・e=e・x=x で あ る.
(3)逆 元 が 存 在 す る.つ ま り,任 意 のxに 対 し て,x‑1∈Gが 存 在 し て, x・x‑1=x‑1・x=eで あ る.
さ ら に,群Gが 交 換 法 則(x・y=y・x)を 満 た す と き,Gを ア ー ベ ル 群 ま た は,可 換 群 と い う.ま た,Gが 有 限 集 合 で あ る と き,Gを 有 限 群 と い う.有 限 群Gの 元 の 個 数 の こ と をGの 位 数 と い い,IGIと 表 す.口
定 義A.4.2Uを 群0の 空 で な い 部 分 集 合 と す る,こ の と き,σ の 元 がG で 定 義 さ れ た 演 算 に 対 して 群 を な す と き,σ をGの 部 分 群 とい う.口 補 題A.4.3Gを 群 と し,HをGの 空 で な い 部 分 集 合 と す る.こ の と き,H の 任 意 の 元x,〃 に 対 し て,
xy‑1EH(A.4) な ら ば,HはGの 部 分 群 で あ る.
証 明 式(A.4)に お い て,2じ ニyで あ る と す る と,xx‑1=e∈Hで あ る か らHはGの 単 位 元eを 含 む.よ っ て,x=eと す る と,ey‑1=〃‑1∈H
で あ る か ら,Hは 〃 の 逆 元 禦一1も 含 む.ま た,xと 〃 がHの 元 で あ る と き, g‑1もHの 元 で あ る か ら,x(ガ1)‑1二 ωッ と な り,xyもHの 元 と な る.よ っ て,HはGの 演 算 で 閉 じ て い る.Hの 元 の 演 算 が 結 合 法 則 を 満 た す こ と は 明 ら か で あ る か ら,HはGの 部 分 群 で あ る.
補 題A.4.4Gを 群,aをGの 元 と す る.こ の と き,Gの 元xに 対 し て,
Gσ
↓ ↓
σσ
.伽.㌍
五E
と な る よ う な 写 像L、,R、 は 全 単 射 で あ る.
La(x)=ax Rd(x)=xa
〔]
証 明 ま ず,L、 が 単 射 で あ る こ と を 示 す.Gの 元xと ッ に 対 し て,五 、@)=
La(〃)な ら ば,ax=ayで あ り,
一1 ‑一̲‑1x=a‑ax=a‑ay=y
で あ る か らLaは 単 射 で あ る.
次 に,L、 が 全 射 で あ る こ とを 示 す.Gの 任 意 の 元 ッに 対 し て,Gの あ る 元xが 存 在 し て,y=L。(勾 で あ れ ば よ い.x=a‑lyと お け ば 明 ら か で あ
る か ら,L、 は 全 射 で あ る.し た が っ て,L、 は 全 単 射 で あ る.
同様 に してR、 が全 単射 である こ とも導 かれ る.
系A.4.5群G={xl,x2,'",2)η}と す る.こ の と き,x8を 固 定 す れ ば,
で あ る.
{xzx、,xZx2,…,xixn}一{x、,x2,…,記 。}
群Gの 部分群Hに 対 して は次 の性質 があ る.
(1)Gの 単位元 はHの 単位元 であ る.
(2)x∈Hな ら ば,x‑1∈Hで あ る.
(3)∬ 瑠 ∈Hな ら ば,xy∈Hで あ る.
⊂]
口
こ の 性 質 を 利 用 し て,群Gと そ の 部 分 群Hに 対 し て,同 値 関 係 を 作 り, そ れ に よ っ て,新 し い 集 合 を 定 義 す る こ と を 考 え た い.そ こ で,Gの 元x,
〃に 対 し て,xと 〃の 同 値 関 係 を 次 の よ う に 定 義 す る.
の 〜 ツ ⇔x‑ly∈H
実 際 に,x〜xはx‑1∬ ニe∈Hな の で,反 射 律 を 満 た す こ と は 明 ら か で あ る.ま た,x‑lyの 逆 元(x‑ly)‑1は ガ1∬ で あ る か ら 対 称 律 も 満 た す.
さ ら に,x〜 〃,〃 〜Zな ら ば,ガ1Z=(x‑ly)(ッ 『1の ∈Hか ら 推 移 律 も 満 た す.
補 題A.4.6Gの 部 分 集 合 盟 を
xH={xん ∈(亨1ん ∈H}
と定義 す れ ば,上 記の 同値 関係に おいて,∬Hがxを 代表元 とす る同値類 で あ る.
証 明 上 記 の 同 値 関 係 に お い て,xを 代 表 元 と す る 同 値 類c(勾 は, o(x)一{シ ∈ σ1偲一1ッ∈H}
で あ る.と こ ろ で,x‑lyEHで あ る こ と は,Hの あ る 元hに 対 し て,〃=xh
で あ る こ と と 同 値 で あ る か ら,0(x)=xHで あ る 。 口
定義A.4.7xを 代表元 とす る同値類xHの ことを,Hに よる左 剰余類 と い う.こ の左剰余類 全体 の集合は,同 値 関係 〜の商集合G/〜 である.よ っ て,こ の商集合 をG/Hと 書い て,GのHに よる左剰余 集合 とい う.ま た は,GをHで 右か ら割 った集合 とい う.口
こ こ で,上 記 の 同 値 関 係x〜gを ∬シー1∈Hと 定 義 し て も 同 様 の 考 察 が 可 能 で あ る.こ の と き,xを 代 表 元 と す る 同 値 類 は,
Hx=伽 ∈Glん ∈ 珊
で あ り,Hxを 右 剰 余 類 と い う.こ の 同 値 関 係 に よ る商 集 合G/〜 をH＼G と 書 く.
定 義A.4.8有 限群 σ の部 分 群Hに 対 して,左 剰 余 集 合 の濃 度 をHのG
に おけ る指数 といい,1σ/珂 と書 く.
命 題A.4.9有 限 群Gの 部 分 群 をHと す る.こ の と き, lGl=1珂1σ/珂
が 成 り 立 つ.
証 明[0/El=rと し,(77のHに よ る 類 別 をx1H,xZH,…,∬ 。∬ と 仮 定 す る.こ の と き,
G=x1HUx2HU…UxrH
で あ る.こ こ で,x2H∩%H=φ で あ れ ば,矧=γ1珂 で あ る か ら 題 意 は 示 さ れ る.そ こ で,同 値 関 係 で は な いx2と 賜 に つ い てxiH∩ 紛H≠ φ と
す る.こ の と き,xiHと ￠ゴHに は 共 通 元cが 存 在 し て,
・一 帥 一 ψ'(h,h'∈H)
と 書 け る.こ の 式 の 右 か ら ん一1を か け る と,銑=賜 ん'h‑1で あ る.よ っ て, ん'ん一1はHの 元 よ り,xiHは 紛Hと 同 じ剰 余 類 で あ る し か し,こ れ は 証 明 の 最 初 の 仮 定 と 矛 盾 す る 。し た が っ て,xiH∩ ￠メ ∫=φ で あ る.以 上 か ら,IGIニ バ珂 で あ る.口
定 義A.4.10群Gの 部 分 群Eが,
H=gHg‑1(・ 一{9ん9一11ん ∈H})
を 満 た す と き,HをGの 正 規 部 分 群 と い い,(ヌ 〉 ∬ ま た はHぐGと 書 く.口
補 題A.4.11正 規 部 分 群G>Hに 対 し て,剰 余 集 合(77/Hは 自 然 な 演 算 に よ り再 び 群 に な る.
証 明G/Hの 元xHとyHに 対 し て,次 の よ う に 演 算 の 定 義 す る.
(xH)(yH)=xyH(A.5)
ま ず,式(A.5)が 剰 余 類 の 代 表 元 の 選 び 方 に よ ら な い こ とを 示 す.つ ま り, xH=ゴH,yH= H⇒xyHニxy'H
で あ る こ とを 示 せ ば よ い.
ま ず,h,h'∈Hが 存 在 し て,x=x'h,雪=y'h'と か け る.よ っ て,
xy=x'h h'
で あ る.と ろ こ で,σ>Hで あ る か ら,ッ ー1勿 ∈Hで あ る.し た が っ て, xy‑x'hy'h'‑xy'((ツ')‑lhe')h'∈,xy'H
で あ る.
し た が っ て,式(A.5)の よ う に,G/Hの 元 の 演 算 を 定 義 す る と,単 位 元 は 明 ら か に,eHで あ り,xHの 逆 元 はx‑1Hで あ る.以 上 か ら,題 意 は 成 立 す る.口
定 義A.4.12群Gの 正 規 部 分 群Hに よ る 剰 余 集 合G/Hが な す 群 をGの Hに よ る 剰 余 群 ま た は 商 群 とい う.口
定 義A.4.13GとG'を 群 とす る.こ の と き,写 像 ∫:G‑→(γ がGの 任 意 の 元x,〃 に 対 し て,
!(xy)=f(x)∫ ω
を 満 た す と き,!をGか らG'へ の 準 同 型(写 像)と い う.さ ら に,fが 全 単 射 の と き,ノ を 同 型 とい う.2つ の 群GとG'の 問 に 同 型 写 像 が 存 在 す る と
き,GとG'は 同 型 で あ る と い い, GN(γ と 書 く.口
補 題A.4.14GとG'を 群,!をGか らG'へ の 準 同 型 写 像 と す る.こ の と き,Gの 元 をxと す る と,∫@一1)=∫ ㈲ 一1で あ る.ま た,Gの 単 位 元 をe, G'の 単 位 元 をe,と す る と,f(e)=e'で あ る.
証 明 ノ(e)f(e)ﾘ!(e・e)ef(e)で あ る.よ っ て,両 辺 に ノ(e)‑1を か け る と,
∫(・)一 ∫(・)!(・)!(・)‑1‑!(・)!(・)‑1‑・'
で あ る.ま た,
∫(・)一 ノ(xx‑1)一!@)∫(x‑1)一 ・' で あ る か ら,!(x‑1)f(④ 一1で あ る.□
定 義A.4.15(7とG'を 群fをGか らG'へ の 準 同 型 写 像 と す る.こ の と き,Imfを をfの 像,kerfを!の 核 とい い,次 の よ う に 定 義 す る.
Im!={∫(a)[α ∈G}ker!一{α ∈Gi!(α)‑e}
口 補 題A.4.16Gと(γ を 群,ア をGか らG'へ の 準 同 型 写 像 とす る.こ の と
き,Imfは(γ の 部 分 群 で あ り,kerfはGの 正 規 部 分 群 で あ る.
証 明Im!の 元,yl,y2に 対 して,
!(勾=影 ・f(x2)=92 と な る,(穿 の 元xl,x2が 存 在 し て,
鵬2=∫(xl)ノ(x2)=f(侮 偲2)
で あ る.さ ら に,!@)‑1̲f(一1)で あ る か ら,Imfは(γ の 部 分 群 で あ る.
次 に,kerノ がGの 部 分 群 で あ る こ と を 示 す.!(x)=∫(g)=e'と す る と, ノ(xy)=f(x)∫ ω 濡e'
で あ る.ま た,
!(e)=ノ(x)f(x‑1)=
よ り,!@‑1)=e'で あ る か ら,ker!はGの 部 分 群 で あ る.さ ら に,ker!
の 任 意 の 元xに 対 し て,
ノ(gxg‑1)=!(9)!(勾!(9‑1) 一!(9)∫@)!(9)‑1
.f(9).ﾌ(9)‑1
=e
よ り,g∬g一1もker!の 元 で あ る か ら,kerノ はGの 正 規 部 分 群 で あ る.□
定 理A.4.17(準 同 型 定 理)Gと(γ を 群,!をGか ら(γ へ の 準 同 型 写 像 と し,K=kerfと す る.こ の と き,写 像7を,9∈Gに 対 し て
f・G/一 κ 一→Im!f(9・K)=!(9)
と す る と,fは 商 群 σ/Kか ら,G'の 部 分 群Im!へ の 同 型 で あ る.
証 明 ま ず,ア が 写 像 で あ る こ と,つ ま りwell‑definedで あ る こ と を 示 す.
Gの 元 α,bに 対 し て,aKebKと す る.こ の と き,a‑1b∈ker!で あ る か ら,
e=f(a̲ib)f(a‑1)f(b)=ノ(の 一1∫(b) で あ り,ノ(a)=f(b)と な る.
次 に,!が 準 同 型 写 像 で あ る こ と を 示 す.任 意 のG/Kの 元aKとbKに 対 し て,
f(aKbK)=f(abK)=f(ab)=f(a)f(b)=f(aK)f(bK) で あ る.
さ ら に,fが 全 単 射 で あ る こ と を 示 す 。 ま ず,Gの 元 α,bに 対 し て, f(aK)=f(bK)で あ る と す る と,f(a)=ア(b)で あ り,
f(a‐lb)e!(α 1)!(b)一 ∫(α)『1!(う)一 ・
で あ る か ら,a‐lb∈ker!,つ ま り,aK=bKで あ り,!は 単 射 で あ る.ま た,任 意 のGの 元aに 対 し て,
f(a)=f(aK)Elmf
で あ る か ら,!は 全 射 で も あ る.以 上 か ら 題 意 は 示 さ れ る.口
定 義A.4.18あ る 群Gが,た だ1つ の 元gか ら生 成 さ れ て い る と き,σ を 巡 回 群 と い う.つ ま り,Gの 元9あ っ て,任 意 の 元xに 対 して,
x=gn
と な る よ う な 整 数nが 存 在 す る こ と で あ る.ま た,巡 回 群Gがgか ら生 成 さ れ て い る と き,Gを 〈g>とか く.口
定 義A.4.19群Gの 元gに 対 し て,Qn=eと な る よ う な 最 小 の 自 然 数 η をgの 位 数 と い う.[]
補 題A.420Gを 有 限 群 と す る.Gの 元gの 位 数 をnと す る と,nはlq の 約 数 で あ る 。
証 明gに よ っ て 生 成 さ れ る 巡 回 群 〈g>は,明 ら か にGの 部 分 群 で あ る.し た が っ て,命 題A.4.9よ り,〈g>は1G[の 約 数 で あ る.と こ ろ で,群 の 元 の 位 数 の 定 義 か ら,kg>iと9の 位 数 が 等 し い こ と は 容 易 に 示 さ れ る の で,題 意 は 成 立 す る.口