ランダムウォークの基本的性質とその応用

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(1)ランダムウォークの基本的性質とその応用教科・領域教育学専攻自然系コ一ス. M 0 8 ！ 7 7 A 池田貴俊. 1研究の目的. 特に、本論文の主題とするのはランダムウォーク. 筆者は、日常生活の中で数学がどの程度社会に寄. の再帰時刻の確率分布である。ランダムウォークの. 与しているかを知りたいという理由で大学院に進学. 再帰時刻とは、時刻0に原点から出発した人がラン. した。近年の数学の社会への貢献度は目覚しいもの. ダムウォークした後、再び原点に戻ってくる（つまり. が多く、今日における数学の依存性は高いといえる。. 再帰する）までに要した硬貨投げの回数（硬貨投げ1. 特に確率論の分野に関して言えば、数学以外にも経. 回につき時間1がかかると考えると再び原点に戻っ. 済学や物理学・生物学を始めとする他の学問にも相. てくる時刻）のことである。この再帰時刻ぽひとっの. 互に影響を与え合っており、興味深い。確率論を学. 確率変数であり、その確率分布を知ることは大変興. ぶことで他の学問への理解をより深めていきたいと. 味深い。本論文において、その確率分布を硬貨投げ. 筆者は考えた。そこで筆者は、確率論を学ぶ上で基. の（±1）に移動する確率のみによって完全に記述す. 礎的なイ賭1」を果たすランダムウォークを基礎から学. る。. ぶことにより、確率論の理解をより深めたいと考え、. 2 論文の概要. ランダムウォークを研究テーマとすることにした。. 以下に、本論文の構成について記す。. 時亥1」Oに数直線上の原点にいる人が1枚の硬貨. 第1章において、本論文の主題であるランダムウ. を投げ、表が出れば右に1、つまり（十ユ）だけ進み、. ォークについて、その正確な定義を与える。次に有. 裏が出れば左に1、つまり（一1）だけ進む。このよ. 限個の値をもつ確率変数について、その期矧直（平. うな試行を硬貨投げ試行と呼ぶことにする。この硬. 均）及び分散といった最も基本的な概念を導入した. 貨投げ試行を繰り返し行う。この時原点から出発し. 後、ランダムウォークの値（定めた時刻における位. た人は1回目の試行で（十1）又は（一1）進み、2回. 置）の確率分布、平均、分散を調べる。. 目の試行で1回目の試行後移動した点からさらに（十. さらに、ランダムウォークの性質として大数の（弱）. 1）又は（一1）進み、… というように移動して. 法具1」を示す。これは、硬貨投げの反復試行に対する. ゆく。このような運動をランダムウォーク（より正確. 結果とも見ることができるもので、確率論における. には1次元のランダムウォーク）と呼ぶ。本論文に. 重要な結果である。. おいて、上記のようなランダムウォークの性質を考察の支橡とする。. 第2章では、本論文の主題であるランダムウォークの原点への再帰時刻の確率分布を考察する。趣．1．2. 338一.

(2) が本章ひいて1病令文における主要結果である。実際、. ジエによって独立に考察されたCAD（compu拓r. 既に記した設定の下で、十1に移動する確率をpとする. 虹deddeSi釦における基礎的な技法である。本章で. とき、時刻2nで原点に戻ってくる確率は. 取り上げたのは、平面上の連続曲線はベジェ曲線に. 。ヅ／l／・い・・じ一η・／、伽。、〃. よって一様に近似できるという結果である。（定理 3．2．2）この結果は前節で述べたワイエルシュトラ. η1. スの多項式近似定理と密接な関係があり、この関係は、ベジェ曲線のベルンシュタイン多項式表示とし. であることが示される。. て明らかにされている。（命題3．2．3）ここでもワイ. この結果は、再帰時刻の確率分布の具体的表示を簡潔. エルシュトラスの多項式近似定理という純粋に数学. に与えている。本論文において、上記の結果を次の2. 的な結果が、自動車のコンピュータによるデザイン. つの段階を至で導く：. 設計という我々にとって日常的な技術に有効に応用されていることを見ることができる。. なお、本論文の主たる依り所は池田信行／高橋陽一郎共著，「確率論入門I」である。. 更に、再帰時刻の確率分布の母関数から直ちに次の結果を導くことができる。（系2．1．46）. 1. （i）p＝q＝一のとき、ランダムウォークが有限時間で原. 2 点に戻ってくる確率は1である。（i）p≠qのとき、ランダムウォークが有限時間で. 原点に戻ってくる確率は1より真に小さく、有限時間で鳳点に戻ってこない確率は1−4ρ（1一ρ）だけある。. 第3章では、まずワイエルシュトラスの多項式近似定理について考察する。この定理は、有界閉区問上の連続関数は多項式（関数）によって」様に近似で. きるということを示すもので、結果自体は確率論に. 属するものでなく純粋に解析的なものである。しかしながら、ベルンシュタインにより、ランダムウォークの性質を応用するという確率論的な証明がなさ. れており、本論文の趣旨に鑑み題材として取り上げることにした。. 次に、ベジェ曲線について考察する。ベジェ曲線. 主任指導教員渡辺金治. は、自動車台杜に勤務していたド・カステリョとへ. 指導教員藤原司. 一339一.

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