ネーターの定理とその応用

ネーターの定理とその応用

A05SA024

2010

2

22

発表の流れ

深谷賢治 著：解析力学と微分形式（岩波書店）に従ってハミルトン方程式を 考察する。

1. イントロダクション

2.

3.

4.

1 ^{イントロダクション}

ハミルトン方程式なる微分方程式を幾何学的に 解く。

⇓

第一積分（解曲線上一定値をとる関数）を探し、解の存在する 空間の次元を落とす。

⇓

第一積分の満たす条件がネーターの定理によって与えられる。

以下、指示がなければ q¹,^…, qⁿ, p¹,^…, p^{n を} R^{2n の座標とする。}

定義 1 (^{ハミルトン方程式}). H ∈ C^∞(R²ⁿ) :^関数 H ^{が次の偏微分方程式系}

dqⁱ

dt = ∂H

∂pⁱ dpⁱ

dt = −∂H

∂qⁱ (1)

をみたすとき、(1) ^を H をハミルトニアンとするハミルトン方程式という。

※ハミルトニアンの物理的意味：エネルギー 例

m^{：質点の質量、}q^{：質点の位置、}F = F(q)：物体に働く力 に対し、

H := p²

2m + V (p := mdq

dt^、V ^{：ポテンシャル} ((⇐⇒

def

dV

dq = −F)) とおくと、H：解曲線上一定値となる。(⇒ 力学的エネルギー保存則)

2 ^{幾何学からの準備}

定義 2.

X_H :=

∑n i=1

(∂H

∂pⁱ

∂

∂qⁱ − ∂H

∂qⁱ

∂

∂pⁱ )

を、ハミルトニアン H に対するハミルトン・ベクトル場という。また X_H : C^∞(R²ⁿ) → C^∞(R²ⁿ), G ∈ C^∞(R²ⁿ) ^に対し、

X_H(G) :=

∑n i=1

(∂H

∂pⁱ

∂G

∂qⁱ − ∂H

∂qⁱ

∂G

∂pⁱ )

を、H に対するハミルトン・ベクトル場による 関数 G ^{の微分という。}

定義 3. 1. f ∈ C^∞(R²ⁿ) ^{に対し、微分１形式} df =

∑n i=1

( ∂f

∂qⁱ dqⁱ + ∂f

∂pⁱ dpⁱ )

を、 f ^{の外微分という。}

2. R^{2n の座標} q¹,· · · , qⁿ, p¹,· · · , p^{n に対し、微分２形式}

ω :=

∑n i=1

dqⁱ ∧ dpⁱ を、symplectic ^{形式という。}

定義 4 (1 ^{パラメータ変換群}).

V =

∑n i=1

(

V ⁱ ∂

∂qⁱ + V ⁱ⁺ⁿ ∂

∂pⁱ )

: ^{完備なベクトル場}

l(t) : ^積分曲線 (

⇐⇒def V (l(t)) = dl(t)

dt , l(0) = a )

ϕ_t : a 7−→ l(t) ^なるϕ_t^を、V が生成する１パラメータ変換群という。

命題 1. ϕ_t+s = ϕ_t(ϕ_s) = ϕ_s(ϕ_t)

定義 5 (Poisson ^括弧).  H, G ∈ C^∞(R²ⁿ) ^に対し、

{G, H} := X_H(G) ^{と定めるとき、}{,} ^を P oisson ^{括弧という。}

3 ^正準変換

微分同相の像の上での

symplectic

(pull back)

symplectic

⇓

正準変換の持つ性質がネーターの定理の条件に必要となる。

定義 6. Φ : R²ⁿ −→ R^{2n：微分同相} ω := ∑n

i=1 dqⁱ ∧ dp^{i：定義域の} symplectic ^形式 Ω := ∑n

i=1 dQⁱ ∧ dP^{i：値域の} symplectic ^{形式とする。}

Φ^∗Ω = ω ^{をみたすとき、}Φ ^{を正準変換という。}

(Φ^∗Ω : Φ^によるpull back)

命題 2. V ^{が生成する} 1 ^{パラメータ変換群} {ϕ_t} ^{が正準変換}

⇐⇒ ∃G ∈ C^∞(R²ⁿ)  s.t. V = X_G 証明

V ^{が生成する} 1 ^{パラメータ変換群} {ϕ_t} ^{が正準変換より}

(∑ⁿ )

ポアンカレの補題より

∃G ∈ C^∞(R²ⁿ)  s.t. dG =

∑n i=1

(V ⁱdqⁱ − V ⁿ⁺ⁱdpⁱ)

ベクトル場の各成分を比較して V = X_G. 逆にたどれば逆が言える。

命題 3. f ∈ C^∞(R²ⁿ), V : R²ⁿ 上のベクトル場に対し、次は同値。

(1)V (f) = 0 (2)f ◦ ϕ_t = f

証明

∂

∂tf(ϕ_t(a))¯¯

¯¯t=t0

を求めればよい。

4 ネーターの定理とその応用

定理 1 (^{ネーターの定理}).

H ∈ C^∞(R²ⁿ) : ^関数 に対し、次は同値である。

(1)∃G ∈ C^∞(R²ⁿ) s.t. {H, G} = 0

(2)∃ϕ_t : ^{正準変換で} 1 ^{パラメータ変換群} s.t. H ◦ ϕ_t = H

また、ϕ_tに対応するベクトル場は、ハミルトン・ベクトル場 X_G^である。

証明

(1) ⇒ (2) ^{命題２より} X_G ^{が生成する} ϕ_t ^{は正準変換からなり、}

X_G(H) = {H, G} = 0 ^{より命題３から} H ◦ ϕ_t = H

(2) ⇒ (1)ϕ_t^{はあるベクトル場} V ^{から生成され、}ϕ_t : ^{正準変換より} 命題２から ∃ ∈ ^∞ R²ⁿ

例(^角運動量)

n = 2 のとき、重力場のもとでの運 動を考える。

H := p²₁ + p²₂

2m − GmM

√q₁² + q₂²

ϕ_t







 q₁ q₂ p₁ p₁







 :=









q₁ cost − q₂ sint q₁ sint + q₂ cost p₁ cost − p₂ sint p₁ sint + p₂ cost







 ^{と定めると、}ϕ_t:^{正準変換となる。}

(ϕ_t：原点を中心とした角度 t ^{の定める正準変換})

この ϕ_t なる変換に関してハミルトニアン H ^{は不変である。}

ϕ_t の定めるベクトル場は、

V = −q₂ ∂

∂q₁ + q₁ ∂

∂q₂ − p₂ ∂

∂p₁ + p₁ ∂

∂p₂

となり、G := q₁p₂ − p₁q₂ ^とおくと V = X_G を満たす。よってネーターの 定理より G ^は H をハミルトニアンとするハミルトン方程式の第１積分で ある。G のことを角運動量といい、この例は角運動量保存則を意味する。

(^{ケプラーの第} 2 ^法則)

さらに定数 H₀, G₀ ^{に対し等位面}

Σ(H₀, G₀) := {(q₁, q₂, p₁, p₂) ∈ R⁴ | H(q₁, q₂, p₁, p₂) = H₀, G(q₁, q₂, p₁, p₂) = G₀} はコンパクトかつ弧状連結ならばトーラスになる。また Σ(H₀, G₀) ^に含ま

れるハミルトン方程式の解は全て周期解であるか、全て Σ(H₀, G₀) ^で稠密 である。

上の例のように、第一積分を見つけること によって四次元空間内におけるハミルトン方 程式の解曲線の存在領域を、四次元の中の二 次元の図形（不変トーラス）にまで絞り込む ことができる。

⇒ これがハミルトン方程式を幾何学的に 解く ということである。

5 ^{展望：アーノルド} - ^{リウビルの定理}

H ∈ C^∞(R²ⁿ) をハミルトニアンとするハミルトン方程式の第１積分が n 個 G₁ = H,^…, G_n ^あり、{G_i, G_j} = 0 ^かつ gradG₁, gradG_n ^{が一次独立} であるとする。定数 G₁₀,^…, G_n0 ^に対し

Σ(G₁₀,^…, G_n0) := {(q, p) ∈ R²ⁿ | G_i(q, p) = G_i0 (i = 1,· · · , n)} がコンパクトかつ弧状連結であると仮定すると、

Σ(G₁₀,^…, G_n0) ^は n ^{次元トーラスにな} る。また Σ(G₁₀,^…, G_n0) ^{に含まれるハミル} トン方程式の解は全て周期解であるか、全て Σ(G₁₀, ^…, G_n0) ^{で稠密である。}