ランダムウォークのマルチンゲール性に基づく解析

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(1)ランダムウォークのマルチンゲール性に基づく解析教科・領域教育学専攻自然系土一ス. M l 0 1 7 1 C 後藤寛貴. 1 研究の目的. ンダムウォークであることを示す．. 本論文のテーマはランダムウォークをそのマル. 2 論文の概要. チンゲール性に基づいて考察することである．. ランダムウォークとは，数直線の整数点，例え. 以下，修士論文の概要について述べる．. ば原点0から出発し確率ρ（ρ∈（0，1））で斗1，確率. 第1章「ランダムウォークの性質」では，まず，. （1＿ρ）で＿1移動することを独立に繰り返す運動 1 のことである．特に，ρ＝一のとき，対称ランダム 2 ウォークと呼ぶ．このようなランダムウォークは，. 本論文の主題であるランダムウォーク（刈につ. 古く350年位前にその概念の萌芽が見られるが，そ. の性質である「独立増分性」と「定常増分性」に. れ以来，ランダムな運動を表す確率過程の基本的. ついて考察した．このr独立増分性」とは，重なら. なモデルとして，様々な観点からのアプローチに. ない時間区間において，ランダムウォークの増分. よってその性質が明らかにされている．現在にお. が独立であるという性質であり，r定常増分性」と. いては，その応用範囲は数学内に限定されるもの. は，ランダムウォークの増分の確率分布が，時間の. ではなく，物理学，生物学，経済学などにおいても. シフト（平行移動）に依存しないという性質であ. 広がっている．. る．これらはランダムウォークの基本的な性質であ. 著者は，このランダムウォークに非常に興味を持. り，本章の重要な主張である．. ち，研究の対象とすることにした．特に，本論文で. は，1930年代に導入され，その後確率過程論の重. いて正確な定義を与える．次に，ランダムウォーク. 第2章rマルチンゲール」では，確率過程としてのマルチンゲールを定義する．そのために，フィル. 要概念として定着してきたマルチンゲール性を通じてランダムウォークを解析することを中心課題とする．具体的には，主に次のような問題を考察する．一つ日は，「破産問題」である．これは，ラ. ンダムウォークにかかわる問題として古典ともいえるものである．この問題に対して，古来より知られている差分方程式によるアフロ」チとともに，. マルチンゲールによるアプローチによって解答を与える、二つ目は，対称ランダムウォークをマルチンゲールによって特徴付けることである．さらにその応用として，折り返しランダムウォークが対称ラ. トレーションと呼ばれる増大情報系を定義する．これは，時間とともに発展するσ一加法族であり，“情. 報”を数学的に表現したものである．このマルチン. ゲールとフィルトレーションが本論文における重要概念である．. 次に，マルチンゲールに関する結果である「任意. 停止定理」を述べ，証明を与える．また，停止時刻によって定まるσ一加法族を定義し，その性質のい. くつかを述べる．さらに，「任意抽出定理」を述. べる．上記2つの定理は，マルチンゲールに関する重要な結果であり，本論文においても非常に重要な. 一322■.

(2) プローチと，マルチンゲールによるアプローチと2. 役割を担う．. 第3章「マルチンゲール表現定理」では，確率過. 程がマルチンゲールになるための必要十分条件を. 与える1これが「マルチンゲール表現定理」であ. 通りの方法で解答を与える．さらに，原点Oから出. 発したランダムウォークが初めて位置1に到達する時間の期待値も具体的に求める．. り，本章の主要定理である．第6軍とも関連があり，. 第6章「ランダムウォークの特徴付け」では，ま. 対称ランダムウォークの特徴付けの際にも応用さ. ず，第2章のマルチンゲール表現定理を応用して，. れる．章末には，この定理によって得られるマルチ. 確率過程が対称ランダムウォークであるための必. ンゲール表現の例をいくつか述べる．. 要十分条件を与える．さらに，対称ランダムウォー. 第4章「離散確率解析」では，「ドゥーブ・メイヤー分解定理」とr離散伊藤公式」が，重要な主張である．まず，ドゥーブ・メイヤー分解定理ついて述べる．この定理は，可積分な適合過程がマルチン. ゲールと可予測過程の和に一意的に分解できるというものである．本定理により，適合過程の構造を. クのマルチンゲール性に基づく特徴付けを与える．次に，後者の応用として，折り返しランダムウォー. クが対称ランダムウォークであることの証明を与える．初等的にこのことを示すことは可能であるが，相当長いものになる．本章では上記の特徴付け. を応用することで，マルチンゲールの観点から簡潔明瞭に証明することができる．. 明らかにすることができる．. 次に，r離散伊藤公式」を述べる．この結果によ. 第7章r付章」では，第1章から第6章までを述. り，議論を拡張するために，適合過程と関数との合. べるにあたり，既知とする測度論に関する基本的な. 成によって得られる新しい確率過程の構造（ドゥー. 定義，定理を記す、特にr優収束定理」は本論文で. ブメイヤー分解）が明らかになる．さらに，この. 有用な役割を果たす定理である．また，rラドン・ニ. 新しい確率過程がマルチンゲールになるための必. コディムの定理」は第2章の条件付き期待値を定. 要十分条件を与える．. 義する際に必要な定理である．. 第5章「破産問題」では，まず，ランダムウォー. なお、本論文の主たる参考文献については，ラン. クの基本的性質である強マルコフ性を示す．この. ダムウォークに関する基本的立場のよりどころと. 性質を通じ，破産問題や初到達時間分布を求める．. したのは，藤田岳彦著，rランダムウォークと確率. 次に，ランダムウォークにおけるr破産問題」を考. 解析ギャンブルから数理ファイナンスヘ」であ. 察する．これは，ランダムウォークがどのような確. る．また，測度論的確率論については，佐藤坦著，. 率で目標に到達するのかを調べる問題である．本. rはじめての確率論測度から確率へ」，マルチン. 章では，ランダムウォークがr対称な場合」とr非. ゲールに関する諸概念については，舟木直久著，「確. 対称な場合」について，それぞれ2つのアプローチ. 率論」を参考にした．これらの文献の著者に感謝. による解法を与える．また，破産問題の数値例も調. いたします．. べ，卜対称な場合」とr非対称な場合」では，たとえ目標を低く設定しても，まったく違う結果が得られることがわかる．. 次に，ランダムウォークの初到達時間分布を考察. する．これは，原点0から出発したランダムウォー. クが初めて位置1に到達する時間の分布を求める. 主任指導教員藤原司. という問題である．本章では，確率母関数によるア. 指導教員藤原司一323一.

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