自由落下運動の測定

(1)

自由落下運動の測定

著者内田直

雑誌名東京家政大学研究紀要 2 自然科学

巻 32

ページ 15‑19

発行年 1992

出版者東京家政大学

URL http://id.nii.ac.jp/1653/00010493/

(2)

自由落下運動の測定

内田

直

（平成3年9月30日受理）

Measurement of Free Fall Motion

Sunao UcHIDA

（Received September 30，1991）

諸言

空気中を運動する物体は空気からの抵抗を受けるため重力だけを考慮した場合と異なってくるが，通常空気抵抗は小さく無視し得ることから真空中の運動と同じ扱いをしている．実験で重力加速度を求めるには，簡単な方法としては単振り子，厳密にはボルダ振子の方法やカーター可逆振子の方法により空気抵抗を無視し，かっ時間測定も多数回の振動時間から精確な周期が求められ，かなり精密な重力加速度を求めることができる．重力加速度として良く使われる9．8m／s2や980 cm／s2Dの値を求めるには充分な実験といえる．これらの方法は運動方程式を解く時に近似式を使っていることもあり，例えばボルダ振子の場合厳密な式としては振り子の周期と振子の長さの外に慣性モーメントや振り子の振幅も考慮して重力加速度を求めなければならない．2）

これに対し，簡単な原理として自由落下物体の位置の時間変化から速度を求め，速度の時間変化から重力加速度を求める方法がある．これには打点タイマーに紙テープを通す方法やストロボを用いる方法が使われるが精度はよくない．3⊃3m程の落下距離で測定する時，重力加速度を1cm／s2程の精確さで求めようとするには1秒間に数メートルを落下する物体の時間測定となり，1000分の1秒以上の精確な時計が必要となる．近年電気タイマーやフォトトラソジスターを使ったタイマー等の方法により時間測定の厳密さが増してきたが，それに伴ない重力加速度を求めるのに空気抵抗を無視し得なくなってきた．逆に空気中の落下加速度の変化から空気の密度や粘性係数を測定できる可能性も指摘されている．4）またデ

一タ処理を円滑に行なうことのできるマイコンも利用されている．5）最近ではビデオを使った方法も提案されて

いる．6｝

著者はメモリータイマーによる自由落下の空気抵抗の影響を報告したが，7）測定精度を確保するためには時間測定の厳密さとともに，位置の精度も高くしなければならない．2〜3mの落下距離の場合精度を上げるためには間隔を広くとる必要が生ずる．落下の通過位置と通過時刻の測定を使って重力加速度を求める時の精度について調べたので報告する．また，落下物体の大きさの影響についても調べた．

物理学研究室

装置と方法

ここで使った物体は直径2，54cm，1．27cm，0．715 cmの 3種類の鋼球である．以下，それぞれ大（L），中（M），

小（S）の鋼球と呼ぶことにする．落下させた鋼球は通路中の8組の豆球光源とフォトトランジスターにより1順次前縁と後縁の通過が検出され，メモリータイマーに記憶される．各位置の通過時刻は前縁の通過時刻と後縁の通過時刻の平均により求められる．この時の時刻の最小値は0．00001秒である．図1に装置の上半分を示す．通過時刻の測定位置は全部で8カ所あるが図には5カ所見えている．最上端は鋼球落下用の電磁石である．電磁石の強さは各鋼球を止めておくに最小限の力となるよう電流を調整する．落下する鋼球の各通過位置を測定するにはフォトトランジスターに入る光束を距離測定補助具の庶光板がさえぎった時にメモリータイマー内の発振音によって知らせ，この時の補助具の巻尺上での位置を読み取る．補助具は副尺によりユ0分の1mlまで測定できる．

位置座標の原点は落下のスタート位置での鋼球の中心位

(3)

内田直

麟一轟鍵㌔tt

難辮

ノ翻ぴ内

惹雛き灘灘

図1．自由落下実験装置（部分）

置とする．この時位置Yo ＝0及び時刻to ・＝0である．

メモリータイマーの記録から，落下をはじめてからi 番目（i＝1〜8）の位置夕，での時刻ちが求められる．

これよりダイヤグラム法により順次時刻ぢにおける平均速度Viとt；における平均加速度α，が求まる．ただし，

to＝・0でYo＝0， t6＝0でVo＝0とする． n＝1，2，…

として，i＝ユ〜（8−（n−1））での値は以下によ

り求まる．

平均速度は

Pi＋ n−1）『．y −1

Vi＝

ち＋〔 −1一 3＿1

ち＋〔＿1｝＋ゴ＿1

ゴ＝

2 である．平均加速度は

Vi＋（ −1，『Vi ．一 1 α3

ゴ＝

t；＋1 ＿1一 ∫＿1

t；＋1 ＿1｝＋t ＿i

2

（1）

ラ

2

︵

である．n＝1の時，隣り合うデータの差から速度・加速度を求めるのであるが，ここでは位置の精度を高めるためn＝2とした．またn＝3についても調べた．nを 4以上とするには得られる結果の個数が減るので，測定位置を増す必要がある．（1｝②式のnの値は同じ値である必要はなく，別々な値を設定することができる．

結果と考察

空気中を自由落下する物体が受ける抵抗でまずあげられるのが物体の運動の有無にかかわらず働く空気による浮力である．今，空気の密度ρ，球状物体の半径rとすると浮力Flは次の式で与えられる．

4 F1＝一一πr3ρ9 1（3）

3 ただし，gは真空中の重力加速度である．今，浮力Fl のみが抵抗として働くとして，質量〃2の球状物体が自由落下する時の運動方程式は次式となる．

dv 4

翅冴＝mg− 5 π 「3 ・9

∴鍔一9（ 4 πr3ρユー一…− 3 m）〔4）

この右辺括弧内第2項は浮力による落下加速度への影響ということになる．これについて調べてみる．

各鋼球の半径（Lは2．54cm， Mは1．27 cm， Sは

0．715cm），質量（Lは66．7g， Mは8．4g， Sは1．6

(4)

g）及び空気の密度ρ（1，205×10−3g／cfi）を代入して求めてみるとおよそ0．016〜O． 014 ％の誤差として影響が見積れる．ところでζの鋼球はボールベアリソグの球であるが，材質は同じとみなして密度iOmとすると質量 m＝4π r3 Pm／3であり，これを（4）式に代入すると

劣一9（ ρ1−一 ρm）

となる．つまり大きさにかかわらず，空気の密度との比で浮力の影響が決まることになる．従って，空気中ではなく例えば水中を落下する鋼球の場合とかになるとρに水の密度を当てはめて，ρ／ρmがO． 1くらいになり，

これを無視すると10％もの誤差となるので浮力を考慮しなければならない．しかし，空気中では浮力の影響がおよそ0．015％程であるということになる．

次に空気中をゆっくり速度Vで鋼球が自由落下している時は，空気の粘性により速度Vに比例した粘性抵抗を受ける．これはストークスの法則と呼ばれている．空気の粘性係数ηとすると，粘性抵抗F2は次の式で与えら

れる．8》

F2＝6πrηv （5）

この粘性抵抗はレイノルズ数（R＝ρrv／η）が1に比べて小さい時に用いられる．各鋼球についてレイノルズ数Rを調べてみる．速度vは落下後数＋cmに達する所で 100cm／sに達し，3m程を落下する時は700 cm／sを越えてしまう．この点を考慮して，空気の粘性係数η （1．801×10−4dyn・s／c㎡）として計算してみると， L

の鋼球がv＝700cm／sに達する所ではR＝5900とな

り，Sの鋼球がv＝100 cm／sに達する所で最も小さく π＝240程となる．Rの値は102から103に達しているが，

粘性抵抗の影響を調べてみる．そのため，粘性抵抗のみが働くとして〔5）式から運動方程式は次式となる。

dv

Mz77 ＝Mg −6 nr rp v

∴寡一mg（ 6πr rp v1− mg）（6）

ここで，g＝980 cm／s2と見積って右辺括弧内第2項を調べてみる．速度Vが大きい程影響が大きいことから v＝700c皿／sとするとLの鋼球では0．0046％， Sの鋼球では0．054％の影響が生ずる．これを浮力Flの影響の仕方と比べると直径の小さいSの鋼球の場合は浮力の影響より粘性抵抗の影響の方が大きいが，Lの鋼球の場合は浮力の影響を考慮した時でも粘性抵抗が無視し得る

ものとなる．なお，ここでの鋼球の場合にレイノルズ数 Rが1程度になるのはv＝10cm／s程度の時で，落下をはじめた直後である．

落下の速度は，ここでは100・cm／s〜700 cm／s程度であるが，一般に速度vが速くなるとv2に比例した慣性抵抗が働く．これをF3とすると次の式で与えられる．

F3 ＝mkv2 （7）

ここで々は比例定数で球形物体の場合はk＝πr2 p／4 mである．慣性抵抗のみが働くとした場合の運動方程式は次式となる．

dv

m−＝mg−mfe v2 dt

∴劣一9（1一争〔8｝

ここでも，右辺括弧内第2項の影響を調べてみる．速度 v＝700c皿／sの時， Sの鋼球では0．013％程の影響で粘性抵抗の影響0，054％よりも少なく，浮力の影響の

0．015％程と同じである．Lの鋼球になると0．16％であるが，この値はSの鋼球に比べて1桁大きい．加速度に与える誤差が0．16％ということはg＝980cm／s2として1．6cm／s2の誤差が生ずることになる．

浮力Fl，粘性抵抗F2，慣性抵抗F3の影響（それぞれ ε1，ε2，ε3とする）についてのグラフを図2に示す．

このグラフから慣性抵抗F3の影響の大きくなるのは直

10

→

︵硬︶

給bD2

10｝2

10−3 O．1

v＝700cm／s

v＝＝700cm／s

ε2

vニ350cm／s

S M1．OL 2． 0

1。gr （・m）

図2．空気抵抗の影響

(5)

内田直

径1cm以上の鋼球である。っまり，直径1cm以上の鋼球の場合は慣性抵抗のみを考慮すればよい．グラフの縦軸は誤差δ（％）を対数目盛で示しており，横軸は球の半径 r（cm）を対数目盛で示してある．

L，M， Sの3種類の鋼球の場合について加速度の変化を図3に示す．速度・加速度は（1），（2｝式でn＝2とした場合である．グラフからL，Mの鋼球については加速度の時間の2乗に対する変化は比較的滑らかで直線的であるが，Sの鋼球については変化が急で直線的な変化を見込むと，重力加速度gの値も小さくなる．

980 ぐ

ぐ970

s

960

950

識゜「＼。〜L

0 0．22 ^0。42

t2（S2）

M

S

0．62

図3．n＝2の時のダイヤグラム法による重力加速度

今，（7）式で表わされる慣性抵抗F3のみが働くとした場合の運動方程式（8｝式を初期条件t＝0でv＝O，夕＝

0として解くと9｝

．y−一÷1・9｛…h（V万の｝

となる．tの小さい値に対しては近似式として，一⊥9，L色、・，・

12 2

（9）

（980 _㌔

＼970 ^ε

960

950 O O．22 ^0．42

t2（S2）

0．62

図4．n＝3の時のダイヤグラム法による重力加速度

／4mとを比較した．これを表に示す．鋼球の大きさの違いによるグラフの差が良くでている．Lの鋼球にっいては々の値は理論値と実験値が良く一致する．Mの鋼球の場合は実験値が理論値の80％程の値となっている．g の値についてもLの鋼球では良く知られた重力加速度に近い値となっている．Mの鋼球についても，ほんの少し小さい値であった．ダイヤグラム法においてn＝2とした時の重力加速度に及ぼす誤差は落下初めで1cm／s2程であり，最も速くなる所で3cm／s2程である．つまり

0．1〜0．3％程の誤差となる．（2）式だけをn＝3とした場合は当然これより小さな誤差となる．しかし，距離の測定はかなり慎重に行なう必要がある．

表重力加速度におよぼす慣性抵抗の影響

鋼直径質量理論値実験値実験値

王求 2 r（cm） m（9）々（cm−i）々（c血一1） 9（cm／s2）

L 2．54 66．7 2．28×10−52．17×10−5 979．7

ML27 8．44．60×ユO 53．63×10−5978．9 を得る．この解からyを2回微分した加速度を求めると

α＝9−kg2 t2

^qo）

となる．この式の左辺は時間tを経た所での落下の加速度αで，gは求めようとしている真空中の重力加速度で

ある．

ダイヤグラム法において速度は（1）式でn＝2から求め，

加速度は②式でn ・＝3から求めて誤差を極力小さくした時のグラフを図4に示す．またこの時の値からao）式と同形式の実験式を求め，その実験値kと理論値k＝πv2ρ

要約

ダイヤグラム法という直感的にわかり易いと思われるデータの処理を行なうためにメモリータイマーによるデータの記録を行なった．自由落下物体にテープをっけて落下させながら打点による印をつける方法や，ストロボ写真から求める方法では重力加速度が9．8m／s2である

ことを知らしめる効果があったが，誤差が大きいため，

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自由落下運動の測定

自由落下運動の測定

著者 内田 直

雑誌名 東京家政大学研究紀要 2 自然科学

巻 32

ページ 15‑19

発行年 1992

出版者 東京家政大学

URL http://id.nii.ac.jp/1653/00010493/

自由落下運動の測定

内 田

直

（平成3年9月30日受理）

Sunao UcHIDA

諸 言

一タ処理を円滑に行なうことのできるマイコンも利用さ れている．5）最近ではビデオを使った方法も提案されて

いる．6｝

物理学研究室

装置と方法

ここで使った物体は直径2，54cm，1．27cm，0．715 cmの 3種類の鋼球である．以下，それぞれ大（L），中（M），

位置座標の原点は落下のスタート位置での鋼球の中心位

内田 直

麟一 轟鍵㌔tt

ノ翻 ぴ内

図1．自由落下実験装置（部分）

置とする．この時位置Yo ＝0及び時刻to ・＝0である．

メモリータイマーの記録から，落下をはじめてからi 番目（i＝1〜8）の位置夕，での時刻ちが求められる．

これよりダイヤグラム法により順次時刻ぢにおける平均 速度Viとt；における平均加速度α，が求まる．ただし，

to＝・0でYo＝0， t6＝0でVo＝0とする． n＝1，2，…

として，i＝ユ〜（8−（n−1））での値は以下によ

平均速度は

Vi＝

ち＋〔 ＿1｝＋ ゴ＿1

2 である．平均加速度は

Vi＋（ −1，『Vi ．一 1 α3

t；＋1 ＿1一 ∫＿1

2

結果と考察

空気中を自由落下する物体が受ける抵抗でまずあげら れるのが物体の運動の有無にかかわらず働く空気による 浮力である．今，空気の密度ρ，球状物体の半径rとす ると浮力Flは次の式で与えられる．

4

F1＝一一πr3ρ9 1（3）

3

ただし，gは真空中の重力加速度である．今，浮力Fl のみが抵抗として働くとして，質量〃2の球状物体が自由 落下する時の運動方程式は次式となる．

dv 4

∴鍔一9（ 4 πr3ρユー 一…− 3 m） 〔4）

この右辺括弧内第2項は浮力による落下加速度への影響 ということになる．これについて調べてみる．

各鋼球の半径（Lは2．54cm， Mは1．27 cm， Sは

0．715cm），質量（Lは66．7g， Mは8．4g， Sは1．6

劣一9（ ρ1−一 ρm）

となる．つまり大きさにかかわらず，空気の密度との比 で浮力の影響が決まることになる．従って，空気中では なく例えば水中を落下する鋼球の場合とかになるとρに 水の密度を当てはめて，ρ／ρmがO． 1くらいになり，

これを無視すると10％もの誤差となるので浮力を考慮し なければならない．しかし，空気中では浮力の影響がお よそ0．015％程であるということになる．

次に空気中をゆっくり速度Vで鋼球が自由落下してい る時は，空気の粘性により速度Vに比例した粘性抵抗を 受ける．これはストークスの法則と呼ばれている．空気 の粘性係数ηとすると，粘性抵抗F2は次の式で与えら

れる．8》

F2＝6πrηv （5）

り，Sの鋼球がv＝100 cm／sに達する所で最も小さく π＝240程となる．Rの値は102から103に達しているが，

粘性抵抗の影響を調べてみる．そのため，粘性抵抗のみ が働くとして〔5）式から運動方程式は次式となる。

Mz77 ＝Mg −6 nr rp v

∴寡一mg（ 6πr rp v1− mg） （6）

ものとなる．なお，ここでの鋼球の場合にレイノルズ数 Rが1程度になるのはv＝10cm／s程度の時で，落下を はじめた直後である．

落下の速度は，ここでは100・cm／s〜700 cm／s程度 であるが，一般に速度vが速くなるとv2に比例した慣性 抵抗が働く．これをF3とすると次の式で与えられる．

F3 ＝mkv2 （7）

ここで々は比例定数で球形物体の場合はk＝πr2 p／4 mである．慣性抵抗のみが働くとした場合の運動方程式 は次式となる．

dv

m−＝mg−mfe v2 dt

∴劣一9（1一争 〔8｝

ここでも，右辺括弧内第2項の影響を調べてみる．速度 v＝700c皿／sの時， Sの鋼球では0．013％程の影響で 粘性抵抗の影響0，054％よりも少なく，浮力の影響の

0．015％程と同じである．Lの鋼球になると0．16％であ るが，この値はSの鋼球に比べて1桁大きい．加速度に 与える誤差が0．16％ということはg＝980cm／s2とし て1．6cm／s2の誤差が生ずることになる．

浮力Fl，粘性抵抗F2，慣性抵抗F3の影響（それぞれ ε1，ε2，ε3とする）についてのグラフを図2に示す．

このグラフから慣性抵抗F3の影響の大きくなるのは直

10

給bD2

10｝2

10−3 O．1

v＝＝700cm／s

1。gr （・m）

図2．空気抵抗の影響

内田 直

径1cm以上の鋼球である。っまり，直径1cm以上の鋼球 の場合は慣性抵抗のみを考慮すればよい．グラフの縦軸 は誤差δ（％）を対数目盛で示しており，横軸は球の半 径 r（cm）を対数目盛で示してある．

980 ぐ

ぐ970

著者内田直

雑誌名東京家政大学研究紀要 2 自然科学

出版者東京家政大学

内田

諸言

一タ処理を円滑に行なうことのできるマイコンも利用されている．5）最近ではビデオを使った方法も提案されて

内田直

麟一轟鍵㌔tt

ノ翻ぴ内

これよりダイヤグラム法により順次時刻ぢにおける平均速度Viとt；における平均加速度α，が求まる．ただし，

ち＋〔＿1｝＋ゴ＿1

空気中を自由落下する物体が受ける抵抗でまずあげられるのが物体の運動の有無にかかわらず働く空気による浮力である．今，空気の密度ρ，球状物体の半径rとすると浮力Flは次の式で与えられる．

ただし，gは真空中の重力加速度である．今，浮力Fl のみが抵抗として働くとして，質量〃2の球状物体が自由落下する時の運動方程式は次式となる．

∴鍔一9（ 4 πr3ρユー一…− 3 m）〔4）

この右辺括弧内第2項は浮力による落下加速度への影響ということになる．これについて調べてみる．

となる．つまり大きさにかかわらず，空気の密度との比で浮力の影響が決まることになる．従って，空気中ではなく例えば水中を落下する鋼球の場合とかになるとρに水の密度を当てはめて，ρ／ρmがO． 1くらいになり，

これを無視すると10％もの誤差となるので浮力を考慮しなければならない．しかし，空気中では浮力の影響がおよそ0．015％程であるということになる．

次に空気中をゆっくり速度Vで鋼球が自由落下している時は，空気の粘性により速度Vに比例した粘性抵抗を受ける．これはストークスの法則と呼ばれている．空気の粘性係数ηとすると，粘性抵抗F2は次の式で与えら

粘性抵抗の影響を調べてみる．そのため，粘性抵抗のみが働くとして〔5）式から運動方程式は次式となる。

∴寡一mg（ 6πr rp v1− mg）（6）

ものとなる．なお，ここでの鋼球の場合にレイノルズ数 Rが1程度になるのはv＝10cm／s程度の時で，落下をはじめた直後である．

落下の速度は，ここでは100・cm／s〜700 cm／s程度であるが，一般に速度vが速くなるとv2に比例した慣性抵抗が働く．これをF3とすると次の式で与えられる．

ここで々は比例定数で球形物体の場合はk＝πr2 p／4 mである．慣性抵抗のみが働くとした場合の運動方程式は次式となる．

∴劣一9（1一争〔8｝

ここでも，右辺括弧内第2項の影響を調べてみる．速度 v＝700c皿／sの時， Sの鋼球では0．013％程の影響で粘性抵抗の影響0，054％よりも少なく，浮力の影響の

0．015％程と同じである．Lの鋼球になると0．16％であるが，この値はSの鋼球に比べて1桁大きい．加速度に与える誤差が0．16％ということはg＝980cm／s2として1．6cm／s2の誤差が生ずることになる．

内田直

径1cm以上の鋼球である。っまり，直径1cm以上の鋼球の場合は慣性抵抗のみを考慮すればよい．グラフの縦軸は誤差δ（％）を対数目盛で示しており，横軸は球の半径 r（cm）を対数目盛で示してある．

0 0．22 ^0。42

今，（7）式で表わされる慣性抵抗F3のみが働くとした場合の運動方程式（8｝式を初期条件t＝0でv＝O，夕＝

となる．tの小さい値に対しては近似式として，一⊥9，L色、・，・

（980 _㌔

＼970 ^ε

O O．22 ^0．42

0．1〜0．3％程の誤差となる．（2）式だけをn＝3とした場合は当然これより小さな誤差となる．しかし，距離の測定はかなり慎重に行なう必要がある．

表重力加速度におよぼす慣性抵抗の影響

鋼直径質量理論値実験値実験値

王求 2 r（cm） m（9）々（cm−i）々（c血一1） 9（cm／s2）

となる．この式の左辺は時間tを経た所での落下の加速度αで，gは求めようとしている真空中の重力加速度で

加速度は②式でn ・＝3から求めて誤差を極力小さくした時のグラフを図4に示す．またこの時の値からao）式と同形式の実験式を求め，その実験値kと理論値k＝πv2ρ

要約

重力加速度が979cm／s2なのか980 c皿／s2なのかと言ったことを論じるには無理があった．他方，単振り子による方法は慎重な測定により誤差が1cm／♂程度に小さくすることが可能であるが，測定から得られた値よりも，

ダイヤグラム法により重力加速度を求めるのに，距離と時間測定の精度を高めることによって空気中を自由落下する物体に働く慣性抵抗の影響を調べることができた．