運動量保存則・エネルギー保存則 (11 月 22 日 )

1E ^{物理学演習 標準} H008-1

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : E-mail:[email protected]

運動量保存則・エネルギー保存則 (11 ^月 22 ^日 )

作成日: November 20, 2018 Updated : November 22, 2018 Version : 1.0 実施日: November 22, 2018

小テスト 2 について (11 月 29 日 (木) 実施分)

• 試験時間 60 分の予定．

• ノート持ち込み不可です． ( 電卓・スマホの類も不可 .)

• 試験範囲は，配布プリント H006 〜 H008 に関連した話題です．ただし以下の問 題は試験範囲外とします：H007「運動方程式：単振動」の問題 4 (総合問題).

運動量保存則

[運動量保存則] 質量, 速度がそれぞれ m

, ⃗ v

および m

, ⃗ v

であるような 2 質点の

系において , 2 質点に働く力が 2 質点間の相互作用のみの場合 ( 外からの力がない場 合 ), 全運動量 P ⃗ = m

⃗ v

+ m

⃗ v

は保存する .

問題 1. (2 物体の衝突：提出問題１ ) なめらかな水平面に沿った x 軸上で運動する 2 物体 A, B の衝突を考える . 物体 A, B の質量はどちらも m とする .

x 軸を右向きに描く. はじめ物体 A は物体 B の左にあって，速度 V のまま運動し静止 した物体 B に正面衝突をした .

(1) まず 2 物体が衝突後合体して x 軸方向に速度 v で運動したとする . (a) 運動量保存則をたてて , v を求めよ .

(b) 衝突過程前後で物体 A, B の全エネルギーはどれだけ失われたか？

(2) 次に 衝突過程前後で物体 A, B の全エネルギーは保存されるとして衝突後の 2 物体 の速度 v

, v

を求めたい.

(a) 衝突過程前後の物体 A, B の運動量保存則を書け . (b) 衝突過程前後のエネルギー保存則を書け .

(c) 衝突後の速度 v

, v

を求めよ.

エネルギー保存則

[ エネルギー保存則 ] x 軸に沿った運動をする質量 m の質点を考える . 質点に保存力 F (x) = − dU (x)

dx が働くとき , エネルギー E := 1

2 mv

+ U (x) は保存する .

問題 2. ( エネルギー保存則の導出 ) x 軸上を運動をする質量 m の質点を考える . 質点に以 下の保存力 F (x) が働くとき運動方程式からエネルギー保存則を導け . (g, K は正定数 )

(1) F (x) = − mg (2)   F (x) = − Kx

(n = 0, 1, 2, · · · )

標準 H0-1E18-08 難易度 : C 名城大学・理工学部

1E ^{物理学演習 標準} H008-2

担当教員 : ^{浜中 真志 研究室} : E-mail:[email protected] 問題 3. ( 総合問題：提出問題２ ) 質量 m の 2 つの小さい鉄球 A, B が，長さ ℓ の軽くて丈 夫な糸で天井からつるされて互いに接した状態で静止している . ( 図は黒板に記載 )

この状態から左の鉄球 A を糸がたるまないようにゆっくり引き上げ , 糸が水平となった ところで静かに放した . 重力加速度の大きさを g とし，以下の問いに答えよ . ( 空気抵抗は 無視できるものとする . また速度は図の右向きを正として答えよ .)

(1) 鉄球 A が鉄球 B に衝突する直前の鉄球 A の速度 v を g, ℓ を用いて書き下せ.

(2) 衝突直後の鉄球 A,B の速度をそれぞれ v

, v

とする. 運動量保存則を m, v, v

, v

を 用いて書き下せ .

(3) 衝突の前後で，鉄球 A から見た鉄球 B の相対速度の大きさは一般に小さくなる.

e := v

− v

v を跳ね返り係数と呼ぶ．衝突直後の鉄球 A,B の速度 v

, v

を e, v を用 いて書き下せ .

(4) 衝突の前後での運動エネルギーの変化分 ∆T := 1

2 mv

+ 1

2 mv

− 1

2 mv

を計算し , e, m, v を用いて書き下せ . また , 運動エネルギーが保存されるときの e の値を求め よ . (e > 0 と考えてよい .)

(5) 衝突後，鉄球 B は糸が鉛直方向と角度 60

の角をなすところまで上がって折り返し た . このときの e の値を求めよ .

【解答】 (1) v = √

2gℓ (2) mv = mv

+ mv

(3) v

= 1

2 (1 − e)v, v

= 1

2 (1 + e)v (4) ∆T = 1

4 mv

(e

− 1) より e = 1 (5) e = √ 2 − 1

【解答】(H007 問題 4:総合問題)

(1) 地表面での点 A で質点が受ける重力の大きさは，重力加速度を用いると mg, 万有 引力定数を用いると G mM

R

と表される . 両者が等しいから， mg = G mM

R

. よって , M = gR

G . また, M = ρ × 4

3 πR

より, ρ = 3g 4πGR . (2) (a) O を中心とした半径 r の球の質量は , M

= ρ × 4

3 πr

. よって点 P において質 点がうける重力の大きさ F

は， F

= G M

m

r

. これに (1) の結果を代入して ρ を 消去すると， F

= mgr

R (b) θ := ∠ COP とおく . F

の x 成分を F

とおくと，

F

= − F

sin θ = − mgr R × x

r . したがって質点の運動方程式は m d

x

dt

= − mg R x.

(3) 質点の運動方程式は角振動数 ω :=

√ g

R の単振動の方程式 . (a) 求める時間は単振動の半周期に等しい . よって , T = π

ω = π

√ R

g . (b) エネルギー保存則より, 1

2 K(R

− h

) = 1

2 mV

. よって, V =

√ g

R (R

− h

).

(c) T = π

√ R

g = 3000 秒. 渋谷からリオデジャネイロまでの地表面に沿った直線

距離は l = 1.9 × 10

km. θ

:= ∠ COB とおくと R × 2θ

= l より , θ

= 1.5.

h = R cos θ

に注意すると , V = √

gR sin θ

= 8 × 10

m/s= 時速 3 万 km.

標準 H0-1E18-08 難易度 : C 名城大学・理工学部