令 和 2 年 度 開星高等学校入学試験問題

令 和 2 年 度

開星高等学校入学試験問題

（第 2 限 10：25〜11：15）

数  学

注   意

1   「始め」の合図があるまでは，開いてはいけません。

2  問題は全部で 6 題あり，7 ページまでです。

3   「始め」の合図があったら，まず，解答用紙に受験番号を書きなさい。

4  答えは，すべて解答用紙に書きなさい。

5  √ やπが必要なときは，およその値を用いないで，√ やπのままで答 えなさい。

6  定規，コンパスの使用は認めますが，分度器の使用は認めません。

7   「やめ」の合図で，すぐ鉛筆をおき，解答用紙を裏返しにして机の上 におきなさい。

【第 1 問題】

 次の⑴〜⑽について，       に適する数または式を入れなさい。

⑴  2 −（− 5 ）−13 を計算すると，       である。

⑵  5

−2＋24×8 を計算すると，       である。

⑶ 21×19−13² を計算すると，       である。

⑷ 3

2 x＋y−

3 2x−5y

 を計算すると，       である。

⑸ （ 2x− 5y）（ 2x＋ 3y） を展開すると，       である。

⑹  15× 10 を計算すると，       である。

⑺  50 − 98 ＋ 32 を計算すると，       である。

⑻ 連立方程式 

7x＋ 4y＝ 1 3x＋ 2y＝ 3

 を解くと，x ＝      ，y ＝       である。

⑼ 49 x²−25 y² を因数分解すると，       である。

⑸ 右の図の台形を直線lを軸として 1 回転させて できる立体の体積を求めなさい。

⑹ 右の図のように半径 5 cm の円に，正方形が内接 しています。斜線部分の面積を求めなさい。

⑺ 右の図の平行四辺形 ABCD において，

AB＝ 3 cm，BE＝ 5 cm，AE＝ 4 cm，

EC＝ 1 cm，∠ BAE＝ 90°である。

  このとき，平行四辺形 ABCD の面積 を求めなさい。

【第 2 問題】

 次の⑴〜⑺の問いに答えなさい。

⑴ 右の図で，l // mのとき，∠xの大きさを求め なさい。

⑵ 右の図は立方体の展開図である。これを組み立 てたときに，点 A と重なる点をすべて答えな さい。

⑶ 右の図で，∠ A ＝ 60°であり，線分 BI，CI は それぞれ，∠ ABC，∠ ACB の二等分線である とき，∠xの大きさを求めなさい。

⑷ 右の図の円柱の表面積を求めなさい。

70°

35°

x l

m

H I C G

B A N M

L K

J

D E F

I 60°

A

C B

x

3cm

9cm

l

3cm 3cm

4cm

A

B C

D

E 1cm 3cm 4cm

5cm

―3^―

―2^―

【第 3 問題】

 数直線上の原点に動点 P がある。 1 枚の硬貨を投げて，下の規則に従って点 P を移動さ せる。

 【規則】

  ① 表が出たとき，正の方向に 1 だけ移動させる。

  ② 裏が出たとき，負の方向に 1 だけ移動させる。

 このとき，次の⑴〜⑶の問いに答えなさい。

⑴ 硬貨を 2 回投げたとき，点 P が原点にある確率を求めなさい。

⑵ 硬貨を 4 回投げたとき，点 P が原点にある確率を求めなさい。

P O

−3 −2 −1 1 2 3

【第 4 問題】

 右の図において，放物線①は関数y＝ax²のグラ フであり，点 A（ 4 ， − 8 ）を通る。また，直線②は 関数         のグラフである。x軸上の負の 部分に点 B をとり，点 B のx座標をbとする。また，

点 B を通りy軸に平行な直線と，放物線①および 直線②との交点をそれぞれ P，Q とする。

 このとき，次の⑴〜⑶の問いに答えなさい。

⑴ aの値を求めなさい。

⑵ b＝− 4 のとき，PQ の長さを求めなさい。

⑶ ∠ POB ＝∠ QOB となるようなbの値を求めなさい。

1 2 x＋1 y＝−

① O

②

x y

【第 5 問題】

 右の図のような AB＝AC＝ 6 ，BC＝ 2 の二等辺三角 形 ABC がある。このとき，辺 AC 上に中心 I をもち，

辺 AB，BC の両方に接する半円をかく。

 また，頂点 A から辺 BC に垂線を引き，この垂線と 辺 BC の交点を H とすると，AH＝  35 となる。

 このとき，次の⑴〜⑶の問いに答えなさい。

⑴ 点 I を下の①〜③にしたがって作図しなさい。

① コンパスと定規を使って作図すること。ただし，

定規は直線や線分を引くことだけに用いること。

② コンパスの線は，はっきりと見えるようにかくこ と。コンパスの針をさした位置に^●印をつける こと。

③ 作図に用いた線は消さないで残しておくこと。

⑵ 線分 IC の長さを求めなさい。

⑶ この半円の面積を求めなさい。

【第 6 問題】

 自然数について，次のようなことを考えた。 ア  〜  ク  に適する数を入れなさい。

 すべての自然数は， 2 で割ったときの余りを考えると， 0 以上の整数kを用いて，

     2k， 2k＋ ア 

のいずれかで表すことができる。同様に， 4 で割ったときの余りを考えると，すべての自然 数は

     4k， 4k＋ イ  ， 4k＋ ウ  ， 4k＋ エ  のいずれかで表すことができる。

 次に，連続するどんな自然数であっても，その積を割り切ることができる最大の数を考える。

自然数nを用いて，連続する 2 つの自然数の積は    n （n＋ 1 ）と表されるから，

     n＝ 2k    のとき，n （n＋ 1 ）＝ 2k （ 2k＋ 1 ）

     n＝ 2k＋ ア  のとき，n （n＋ 1 ）＝（^2k＋ ア ）（^2k＋ オ ）

   となる。nを 3 で割ったときや， 4 で割ったときを考えることで，

   連続する 2 つの自然数の積は  カ  で割り切れる。

同様にして，連続する 3 つの自然数の積は

   n （n＋ 1 ）（n＋ 2 ）と表されるから， キ  で割り切れる。

 このように考えると，連続する自然数の積が 40 の倍数となるには，自然数の個数は最小 で  ク  個でなければならない。

A

I

B H C

―7^―

―6^―

【第 1 問 題】

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽

x

y

x

【第 2 問 題】

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

     °      °

⑸ ⑹ ⑺

cm³ cm² cm²

【第 3 問 題】

⑴ ⑵ ⑶

【第 4 問 題】

⑴ ⑵ ⑶

a

b

【第 5 問 題】

⑴ ⑵ ⑶

A

B C

令和 2 年度

解 答 用 紙

数 学