令 和 3 年 度
開星高等学校入学試験問題
（第 2 限 10：25～11：15）
数 学
注 意
１ 「始め」の合図があるまでは，開いてはいけません。
２ 問題は全部で 6 題あり，7 ページまでです。
３ 「始め」の合図があったら，まず，解答用紙に受験番号を書きなさい。
４ 答えは，すべて解答用紙に書きなさい。
５ √ やπが必要なときは，およその値を用いないで，√ やπのままで答 えなさい。
6 定規，コンパスの使用は認めますが，分度器の使用は認めません。
7 「やめ」の合図で，すぐ鉛筆をおき，解答用紙を裏返しにして机の上 におきなさい。
【第 1 問題】
次の⑴～⑽について， に適する数または式を入れなさい。
⑴ 9－１３ を計算すると， である。
⑵ 5 8 15
1－ ÷16 を計算すると， である。
⑶ １0１２－５１×４9 を計算すると， である。
⑷ ２x－３y－｛（３x－２y）－（２x＋５y）｝を計算すると， である。
⑸ ｛（x＋２y）（x－２y）｝２ を展開すると， である。
⑹ x２－１５x＋５0 を因数分解すると， である。
⑺ 60÷2 5 を計算すると， である。
⑻ 24－ 96＋ 54 を計算すると， である。
⑼ 方程式 ３.6x－１＝２.５x＋0.１ を解くと，x＝ である。
⑽ 二次方程式 ４x２－２５＝0 を解くと，x＝ である。
⑷ 右の図は，長方形の紙 ABCD を線分 PQ で折り返したもので，点 C，D の折り返す 前の位置をそれぞれ C ′，D′とする。
∠PQC＝79°のとき，∠xの大きさを求め なさい。
⑸ 右の図において，∠xの大きさを求めなさい。
⑹ 右の図のように，縦が 6m，横が 8m の長方 形の土地があります。
周にそって同じ幅の通路をつくり，残りを畑 にします。畑の面積と通路の面積を等しくす るには，通路の幅を何ｍにすればよいか求め なさい。
⑺ 右の図で，四角形 ABCD は，AD // BC の台形です。
EF // BC のとき，線分 EF の長さを求 めなさい。
【第 2 問題】
次の⑴～⑺の問いに答えなさい。
⑴ 右の図の円錐の展開図について，次の問いに答えなさい。
① 側面になるおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
② 側面のおうぎ形の形として最も近いものを，次のア～エの中から 1 つ選び，記号で 答えなさい。
⑵ 右の投影図で表された立体の体積を求めなさい。
⑶ 右の図は，５ つの頂点が円周上にある正五角形 ABCDE である。
このとき，∠xの大きさを求めなさい。
ア イ ウ エ
6cm
4cm
（立面図）
（平面図）
6cm
6cm 4cm
x A
B
C D
E
25° x 52°
40° 42°
6m 畑
8m
A D
E
B C
F
10cm 6cm
3cm 3cm x
D
79°
A P D′
C′
B C
Q
―3―
―2―
【第 3 問題】
右の表は，あるクラス ４0 人が数学 のテストを受けた結果である。１00 点 の生徒はおらず，４0 人の平均値は 60 点であった。
トラブルが起こり，３0 点以上～ ４0 点未満の階級と 70 点以上～ 80 点未満 の階級の度数が消えてしまった。
以下は，表を復元するために開太と 星子が話し合った内容である。このと き，次の ア ～ カ に適する 数を入れなさい。
開太： 0 ～ １0 の階級の階級値は ア 点だよね。それ以外の階級の階級値も求めておこう。
星子： そうね。階級値がないと話が進まないものね。ところで，平均値が 60 点だから，４0 人の得点の合計は イ 点と計算できるわ。これから，消えた部分が求められない かしら。
開太： なるほど。３0 ～ ４0 の階級の度数をx ，70 ～ 80 の階級の度数をyとすれば，方程式 を使って求められるよ。x＝ ウ ，y＝ エ だ。
星子： これで度数分布表が完成したから，他の代表値もわかるわ。最頻値は オ だよね。
そして中央値が含まれる階級の階級値は カ だよね。
【第 4 問題】
右の図において，放物線①はy＝ax２のグ ラフで，点 A の座標は（－２，１），点 B の座 標は（0，２）である。また，放物線上の点 C のx座標は負の値で，y座標は １6 である。
点 D は放物線①と直線 AB との交点である。
このとき，次の⑴～⑷の問いに答えなさい。
⑴ aの値を求めなさい。
⑵ 直線 AB の式を求めなさい。
⑶ △ACD の面積を求めなさい。
⑷ 点 P を△ADP の面積と△ACD の面積が等しくなるように放物線①上にとり，そのx 座標をt（t＞ 0）とする。このとき，tの値を求めなさい。
階級 度数
0 以上 10 未満 10 ～ 20 20 ～ 30 30 ～ 40 40 ～ 50 50 ～ 60 60 ～ 70 70 ～ 80 80 ～ 90 90 ～ 100
1 2 2 2 3 10
5 3
計 40
x y
O
A B D
C
①
【第 5 問題】
右の図のような，△ABC があり，∠A の二等分線と 辺 BC との交点を D とするとき，次の⑴～⑶の問いに 答えなさい。
⑴ 点 D を下の①～③にしたがって作図しなさい。
① コンパスと定規を使って作図すること。ただし，
定規は直線や線分を引くことだけに用いること。
② コンパスの線は，はっきりと見えるようにかく こと。コンパスの針をさした位置に●印をつけ ること。
③ 作図に用いた線は消さないで残しておくこと。
⑵ △ABC について，AB：AC＝BD：DC が成り立つことを以下のように証明した。
次の ア ～ オ に適する記号やことばを入れなさい。
点 C を通り直線 AD に平行な直線と，
辺 BA の延長との交点を E とする。
AD // EC から
∠BAD＝∠AEC（同位角）
∠DAC＝∠ ア （錯角）
仮定より，∠BAD＝∠ イ であるから ∠ ウ ＝∠ エ
よって，△ACE は， オ であり AE＝AC ……①
△BCE において，AD // EC であるから BA：AE＝BD：DC ……② ①，②より AB：AC＝BD：DC
⑶ AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝7cm のとき，BD の長さを求めなさい。
【第 6 問題】
見た目では区別できないN枚の硬貨がある。この中に １ 枚だけ，他の硬貨よりわずかに 軽いにせ物が混じっている。これらの硬貨の中から，天びんばかりを使ってにせ物の硬貨を 発見する方法を考える。ただし，分銅などを使って重さを測ることはできないものとする。
そのときに天びんばかりを使用する回数を考える。ただし，偶然に発見する場合は考えな いものとする。
次の⑴～⑷の問いに答えなさい。
⑴ N＝３ のときは，天びんばかりを １ 回使うだけでにせ物を発見できる。３ 枚の硬貨を
それぞれ A，B，C として，見つける方法を説明しなさい。
⑵ N＝8 のときは，天びんばかりを ２ 回使うだけでにせ物を発見できる。その方法は以下
の通りである。 ア ， イ に適する数を入れなさい。
8 枚の硬貨から ア 枚ずつのグループを ２ つ作り，天びんばかりで比較する。
もし天びんばかりがつり合ったら，にせ物は残った イ 枚のどちらかになるので，
その イ 枚を天びんばかりで比較すれば軽い方がにせ物だとわかる。もし，最初の 比較がつり合わなかったら，軽い方の ア 枚のグループのどれかがにせ物である。
このグループについて，もう １ 度天びんばかりを使えばよい。
⑶ N＝9 のとき，にせ物を確実に発見するには，最低何回天びんばかりを使用すればよい
か答えなさい。
⑷ 天びんばかりを ４ 回まで使ってにせ物を発見できるNのうち，最大のものを求めな さい。
A
B D C
A
E
B D C
―7―
―6―
【第 1 問 題】
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽
x
＝x
＝【第 6 問 題】
⑴
⑵ ⑶ ⑷
ア イ
【第 4 問 題】
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
a
＝y
＝t
＝【第 2 問 題】
⑴ ⑵ ⑶
① cm ② cm3
°
⑷ ⑸ ⑹ ⑺
° °
m cm【第 3 問 題】
ア イ ウ エ オ カ
【第 5 問 題】
⑴ ⑵
ア イ ウ エ オ
⑶
cm
A
B C
受 験 番 号
