無損失線路の伝送 式
x I
x Z
V j I
x I
jZ x
V V
x x
cos sin
) / (
sin cos
0 0
0
0 0 0
R=G=0 の線路、即ち無損失線路では =0 より、 =j となり、任意点 x ( 受 電端を x=0) における電圧、電流は以下の式で与えられる。ただし、 V0, I0 は受 電端の電圧、電流
x j x
j x
x j x
j x
e I Z V e
I Z V I
Z
e I Z V e
I Z V V
) 2(
) 1 2(
1
) 2(
) 1 2(
1
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
0 0 0
上式を、受電端における電圧反射係数 で表せば、
) 1
( )
1 (
) 1
( )
1 (
2 0 0
2 0 0
2 0 0
2 0
x j x
j x
j x
x
x j x
j x
j x
x
e Γ e
V e
Γ V
I Z
e Γ e
V e
Γ V
V
入射波と反射波成分で表せば、
0 0 0
0 0 0
0 V Z I
I Z Γ V
ただし、 (1/2)( ) ) )(
2 / 1 (
0 0 0
0
0 0 0
I Z V V
e I Z V
Vx j x
( 点 x における入射電圧波 )
( 受電端 x=0 における入射電圧波 ) x
j jx
x jx
sin sinh
cos cosh
の公式を使用
式 入射波
反射波
) 48 . 8 (
0 0
x x
x x
x x x
I Z V
I Z V V
V Γ
(8.22) 式 , (8.19) 式参照
無損失線路の伝送
また、点 x における反射係数 は、
式
x j x
j x j
x j
x j
x x
x Γ e
e V
e V e
I Z V
e I Z V V
Γ V
2 0 0
0 0
0 0
0 0 0
) 2(
1
) 2(
1
x x
x V V
Γ /
x j
x V Z I e
V ( )
2 1
0 0 0
x j
x V Z I e
V ( ) 2
1
0 0 0
( 点 x における入射電圧波 )
( 点 x における反射電圧波 )
を用いて表せば、
線路上の電圧、電流の円線
受電端の反射係数 0 を極形式で表すと、
図
Γ0 Γ0 ej )1 (
) 1
(
) 2 ( 0 0
) 2 ( 0
x j x
x
x j x
x
e Γ V
I Z
e Γ V
V
Vx と Z0Ix とを、 を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。
Vx
Vx
Vx
) 2 ( 0
j x
x Γ e
V
) 2 ( 0
Vx Γ e j x
x 2
Ix
Z0
0
0 1 Γ
偏角 は
絶対値、
は
Γ0
V が Z I に対して位相が進んでいる場合 : 誘導性、遅れている場合 : 容量性
線路上の電圧、電流の円線
x の場所を動かしていくと、下図のように
図
Vx と Z0Ix とが同相になる ことがある。この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵 抗 R になる。
Vx
Vx
Ix
Z0 0
Vx
Vx
Ix
Z0 0
この時、 Vx と Z0Ix は、最大値 (Vmax, Z0Imax) 或いは最小値 (Vmin, Z0Imin) をとる )
(Vmin
) (Z0Imax )
(Vmax )
(Z0Imin
max min
max R
I V I
Z V
x x
x min
max
min R
I V I
Z V
x x
x
2 0 max
min 0 min
max 0 max
min min
max min
max Z
I I Z I
I Z I
V I
R V
R
max 0
max Z I
V
min 0
min Z I
V より、
線路上の電圧、電流の円線
2 つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
図
4 2
2
1 2
2
x x
Z Z0
x=0 Vmin
Vmax Vmax
x x
Vx Ix
Z0
/4
min 0I
Z Z0Imin
max 0I Z
2 点間の距離は、
1
Vx 1
Vx
1 0Ix
Z 0
x=x1
2
Vx
2
Vx
2 0Ix
Z
0
x=x2
線路上の電圧、電流の円線 図
2 2 0 1
0
1 / x x / x
x Z I Z I V
V Zx1/Z0 Z0 /Z(x1/4)
従従従従 /4 だけ離れた各々の点から受電端の方を見た 2 つのインピーダン
スは、互いに逆回路の関係にある
) 4 / 1 ( )
4 / 1 ( 0
) 4 / 1 ( 0 )
4 / 1 ( 0
) 4 / 1 ( 0 0
1 0 1 0
1
0 1
1 / 1
1 /
1 /
1 /
x
x x x
x x
x x
x
x Γ
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z Γ Z
2
1 x
x Γ
Γ
0 0
Γ Γ0 1
先の円線図の関係より、
或いは、
さらに、
より、 /4 だけ離れた 2 点における反射係数の符号は反対になる 大きさについては、無損失線路の場合、線路上到るところで
(Zr= Z0) の場合 (Zr=jX) の場合
Vx
Vx
Ix
Z0 0 0
Vx
Ix
Z0 Vx
定在波比
min max min
SWR max
I I V
V
定在波比 (SWR または VSWR)
VSWR: Voltage Standing Wave Ratio
無損失線路の受電端に任意の負荷 Z を接続すると、線路上の電圧 Vx および 電流 Ix は、 /4 間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大 ( 小 ) 値 となる点では電流が最小 ( 大 ) 値をとる。
0 0 max 0
1 1 /
1
/ SWR 1
Γ Γ V
V V V V
V
V V
V
V x x
SWR 1
SWR: Standing Wave Ratio Z0 Z
x=0 Vmax
Vmin Vmax
Vx
max 0I Z
/4
min 0I Z Ix
Z0
min 0I Z
/4
定在波比 SWR と反射係数 0 との関係は、
1 0 Γ0
定在波による負荷の測 定
0 0
0
0
0
0 0
0
0 0 0
tan
tan cos
sin
sin cos
cos sin
sin cos
Z x jZ
x jZ
Z Z x Z x
j Z
x jZ
x Z
x I
Z x j V
x I
jZ x
V I
Z V
r r r
r x
x
x
Zr Z0
x=0 Vmax
Vmin
x x
Vmax
j
無損失線路 (=0) の受電端 x=0 に負荷 Zr を接続したとき、線路上の任意 の点より負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、
0 max
max 0
0 0
max tan
SWR tan
Z x
jZ
x jZ
Z Z Z
R
r r
max max
0 1 SWR tan
tan SWR
x j
x Z j
Zr
min min
0 SWR tan
tan SWR 1
x j
x Z j
Zr
よって、
さらに、
Z0 と従従が既知の線路を用いて
、 SWR と xmax 或いは xmin を 測定することにより、 Zr の値 を求めることができる
