11. 伝送線路方程式と反射係数
11. Transmission-Line Equation and Reflection Coefficient
講義内容
1. 伝送線路方程式の完全解
2. 伝送線路上の電圧・電流の分布
3. 反射係数
有限長伝送線路
2一般の伝送線路 … 有限長 伝送線路
終端 によって 反射波 が生じる 線路上の任意の点 x における電圧・電流は，
−
=
+
=
−
−
) 1 (
2 1
0
2 1
x x
x x
e V e
Z V I
e V e
V V
反射波成分 V
1と V
2は任意定数
任意定数 V
1と V
2は 境界条件 により定まる
L L L
Z = R + jX
= 0 x
= 0 y
l x = l
y =
電 V
源 負
荷
I
V0
送端 終端
0, Z
境界条件から振幅 V 1 ， V 2 を計算
3伝送線路方程式の
一般解
−
=
+
=
−
−
) 1 (
2 1
0
2 1
x x
x x
e V e
Z V I
e V e
V V
送端 側の 境界条件 x = 0 ⇒ V = V
0V
0= V
1+ V
2終端 側の 境界条件
1 2 1 2
L 0
1 2
1 2
0
1 ( )
γl γl γl γl
l
γl γl
γl γl
l
V V e V e V e V e
Z Z
I V e V e V e V e
Z
− −
− −
+ +
= = =
− −
x = l での電圧・電流を
V
l， I
lとすると
L llZ V
= I
以下の２式より，
L 0
1 0
L 0 L 0
L 0
2 0
L 0 L 0
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
γl
γl γl
γl
γl γl
Z Z e V V
Z Z e Z Z e Z Z e
V V
Z Z e Z Z e
−
−
−
+
= − + +
= −
− + +
⇒ 完全 な解
完全な解と反射係数
4伝送線路方程式の完全な解
2 ( )
L 0
( ) ( )
L 0 L 0 L 0
0 0
L 0 2
L 0 L 0
L 0
( ) ( ) 1
( ) ( ) 1
γ l x
γ l x γ l x
γx
γl γl
γl
Z Z
Z Z e Z Z e Z Z e
V V V e
Z Z
Z Z e Z Z e e
Z Z
− −
− − −
−
− −
+ −
+ + − +
= − + + = − +
+
L 0
L 0
Z Z
jθK K e Z Z
− = = +
反射係数 極座標
反射係数 を用いると， 表示
+
= −
+
= +
−
−
− −
−
−
− −
l x l x
l x l x
Ke e Ke
Z I V
Ke e Ke
V V
2 ) ( 2
0 0
2 ) ( 2 0
1 1
1 1
分子に注目
) (
1 + Ke
−2 l−x入射波 同じ場所
xでの 入射波 に対する
反射波 の 大きさ ・ 位相 の 関係 を表す 反射係数
Kの意味 ：終端での反射波の大きさの割合
：終端での反射波の位相の進み角
K
電圧定在波
5フェーザ図から 電圧定在波 を考える
簡単化の為，無損失 線路（特性インピーダンス：
R0）& 抵抗 負荷（
RL)で0
L 0
L 0
L 0
L 0
( ) ( )
j jπ
K e R R a R R
K R R K e R R b
−
= + =
入射波，反射波，合成波のフェーザ図
L 0
R R の場合
L 0
R R の場合
共に 位置 が変わると 電圧 が変化
x = l
の点で電圧 最大
位相が
πずれた点で電圧 最小
x = lの点で電圧 最小
位相が
πずれた点で電圧 最大 以上より 定在波 を描くと⇒
L 0
( )a R R ( )b RL R0 l
x=
) ( 2 l−x K
V 1
1 V K
l x=
) ( 2 l−x
L 0
( )a R R ( )b RL R0
2
I V
l x=
=0 y x
l y= −
I V
l x=
=0 y x
l y= −
2
0,
線路 R RL 線路 R0, RL
反射係数と電圧定在波比
6電圧定在波の波形
フェーザ図の合成波の大きさ（長さ）より 電圧定在波の波形が描ける
波形より 電圧の 最大 振幅 電圧の 最小 振幅
K Vmax 1+
K Vmin 1−
Vmax
と
Vminの比を定義 電圧定在波比
ρ（
VSWR：
V oltage S tanding W ave R atio)⇒ 反射係数
Kは 測定 することが出来る ⇒ 線路の特性インピーダンスから 負荷を計算可
) 0 1
(
1 1 1
min max
−
= +
=
K
K K V
V
逆に
1 1 +
= −
K ρを測定すれば
|K|がわかる
θ
は
? 電圧最小となる点では反射波と入射波が逆位相 終端からVminの位置までの長さ（y1)を計測) 2 ( ) 2
(
2 1 1
1 1
1 + Ke
− j l−x= + K e
je
−j y= + K e
j − y
− 2 y1 =
= 1 = 4 1
2 y
y
+ K 1
−K 1 1
l x= V
x l y= − x
1
1 y
x l− =
=0 y
|K| = 0： ρ = 1
（定在波無し）
|K| → 1：ρ 増大
|K| = 1： ρ = ∞
例題
7特性インピーダンス
Z0=300[Ω]の無損失線路がある。受端を負荷
RLで終端したところ，
下図のような電圧定在波が現れた。次の各種値を求めよ。
(1)
電圧定在波比
ρ (2) Kの絶対値
|K| (3)反射係数
K (4)負荷
RL (5)電源周波数
f (1)図より，電位分布の最大値
Vmaxと最小値
Vminは
]
y[V V
l x =
= 0 y
6 4 2 2 14 8
] 20
cm [ y
max 6[V]
V = Vmin = 2[V]
したがって，電圧定在波比は
3 26
min
max = =
= V
V
(2)
反射係数
Kの絶対値
|K|（反射係数の大きさ）は
2 1 4
2 1
3 1 3 1
1 = =
+
= − +
= −
K
] [
0 =300
R RL
=0 x
=0 y
l x=
l y =
Vy
x l y = − f
電源周波数
（負荷からの距離）
例題
8(3)
反射係数
Kの位相角
θは
= 4y1
定在波の山と山の距離は
12[cm]2 =
となるため，
= 24[cm]= 0.24[m]となる。
一方で，
Vminになる負荷から最も近い位置
y1は
2[cm] = 0.02[m]であるため，
3 , 2 3 4 10
24
10 2
4 4
2 2
1 = −
=
= y − −
より，
32 3
4
2 , 1 2
1 j j
j e e
e K
K = = −
(5)
電源の周波数
fは
から，
4 3
L 0 0 4
3
1 1
1 2 300 (3 2 3)[Ω]
1 1 7
1 2
j π
j π
K e
R R R j
K e
+ +
= = = −
− −
(4)
反射係数
Kと
各種抵抗成分の関係より，
8
0 3 10 [m/s]
1.25[GHz]
0.24[m]
f c
λ
= = =
L 0
L 0
R R
K R R
= −
+
