2019.07.19 1-4 数学 B 第６章 図形と式 §2 二次曲線 章末問題 【授業目標】 これまでの復習として、章末問題等を解けるようになる。 それぞれ理解不足であった部分を見出し、内容を整理しなおす。 本日の宿題 教科書 章末問題、 問題集 423 ～ 431 次回予定 7/23 （試験直前） 宿題の確認と解説 7/26 よりテスト期間です。宿題が溜まっている人は、テスト前を目途に進めること！ テスト明け第 15 週目授業 8/6、8/9 通常の授業の準備と心づもりをしておいてください。 テストの答案返却の他、 試験範囲的には後期中間試験の対象になる部分の講義を始めます。 また、夏休みの宿題の指定をします。 p192 2A 1. 式変形により、円 x2 + y2 = r2 を平行移動した (x-a)2 + (y-b)2 = r2 の形に直す。 → x = a, y = b の時 r2 = 0 となるのは、半径ゼロの円、すなわち円の中心になるから。 2. (1) 中心と円周上の座標が与えられているので、ここから半径 r を求めても良い。 (2) 与えられた 2 点と中心までの距離は等しい。そのため、この 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線上に円の中 心がなくてはならない。一方で、円の中心は直線 y=x 上にあるので、この 2 本の線の交点が中心である。 3. 点 P(x,y) としたとき、与えらた条件の関係を、座標の数値と x, y の関係で表し、式を整理する。 4. 二次曲線の方程式の標準形との対応を付けること。楕円、放物線、双曲線となる。 それぞれ、準線や漸近線など必要な補助線を書き、 更に、頂点や焦点、y 切片や x 切片など、代表的な点の座標を図示すること。 5. (1) 長軸の長さが決まっているということは、長軸上の頂点の座標がわかり、a がわかる。焦点の座標も分 かっているので、c も決まる。c2 と a2 から短軸も決まる。
(2) 漸近線より、a, b の比が判る。この時点で、(x/a)2 - (y/b)2 = ±d2 または (x/ad)2 - (y/bd)2 = ±1
のいずれかで式を書いてよい（b/a = ±3/2 より、任意の数 d(≠0) を用いて、a = 2d, b = 3d と書けるが、 2, 3 なのか 4, 6 なのか、…まではまだ決まらない）。 更に、点(2, 0) を通ることから、主軸が x 軸、y 軸 のいずれであるかがわかり、右辺の符号と d の値が決まる。 6. まず、双曲線の方程式は両辺を 4 で割り、標準形に帰着させ、これに基づいて作図し、答えの当たりを付け る。実際の計算は「連立方程式が重解をもつ条件」で解くことができる。 7. 直線については、式変形した時に y < f(x) なのか、y > f(x) かで判断すると速い。 (1) 円の内部、かつ、直線より上、ともに境界線上の点を含まない (2) 放物線（上に凸）よりも下、直線より上、ともに境界線上の点を含む
8. 3 つの直線で囲まれた領域内にかかるように「2x + y = k より、y = -2x + k」の直線を引く。 まず、領域を作図するのが先。 p193 2B 1. まず式変形により、どのような円なのかを調べると、点 Q(2, 3) を中心とし、 半径 1 の円なので、右図のような傾きの範囲を求める。 直線 y = mx + n のとり得る傾き m の範囲は、-∞ から 0 を通り、+∞ までである。 角度（偏角 の範囲としては、-90 度から+90 度（-/2 から /2））にとらわれすぎ ないこと。 2. 結果として証明される公式は、複雑な形のように見えなくもないが、a = 0、 b = 0 の時に例題 4 で証明し た公式に帰着する形であることを考えると、当然の形だろう。 証明方法は、例題 4 で述べた解法だけでも 4 通りがそのまま使用できる。 解法５）すでに分かっている公式に帰着させる方法。 円、(x - a)2 + (y - b)2 = r2 および点 (x, y) = (x 1, y1) は、X = x - a, Y = y - b と置くことで、円 X2 ＋ Y2 = r2 および点 (X, Y) = (x 1 - a, y1 - b) の関係に直すことができる。ここで、点 (X, Y) = (x1 - a, y1 - b) における接線は (x1 - a)X + (y1 - b)Y = r2 である。よって、X = x - a, Y = y - b の関係から、X, Y を x, y で書き直すと、接線の方程式は、(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2 である。 ※ すなわち、具体的な数字で同じ論理展開をすると、以下のように説明できる。 円、(x + 2)2 + (y - 3)2 = 34 および点 (x, y) = (3, 6) は、X = x + 2, Y = y - 3 と置くことで、円 X2 ＋ Y2 = 34 および点 (X, Y) = (4, 3) の関係に直すことができる。ここで、点 (X, Y) = (4, 3) における接 線は 4X + 3Y = 34 である。よって、X = x + 2, Y = y - 3 の関係から、4(x + 2) + 3(y - 3) = 34 → 言ってみれば、自力でこの論理展開が可能であるなら、わざわざ公式を覚えておく必要はない。 3. 場合分けをする問題。楕円の短軸（y 軸）の頂点の座標が (0, ±√3） で、与えられた直線の y 切片より小さい。すなわち、右図のような関係に なる。接線のところは、そのまま代入して重解条件で求めればよい。 (4X2 = 3x2 より) X = ((√3)/2)･x, Y = y と置いて円に帰着させることも 可能だが、その場合接線の傾き m も x の系と X の系で異なるので注意。 4. 三角形 OAB が正三角形であるということは、OA = OB である。従って、 A, B の座標はかならず x が共通。よって、A, B を (x1, ±√(4px1)) と 置いて良い。ここで、OA = AB の条件より、x1 と p の関係が求まる（つまり、p が具体的に指定されると、x1 の値が一つに決まることを意味する）。 このような正三角形の面積は、3 辺の長さが決まったヘロンの公式を用いてもよいが、一辺の長さ a に対し、 高さは ((√3)/2)a である。 また、さらに一般的いは、原点と、放物線上の主軸に対称な 2 点からできる二等辺三角形は、この 2 点を結ぶ 線分を底辺とし、高さをこの線分と原点の間の距離として求めることができる。
5. (1) 第一象限に線分 AB を作図する（教科書の作図）。ここで、線分の長さが 3 であるという条件を、A, B の座標（a, 0), (0, b) により式で表す。この関係式を満たすように線分が動くので、線分 AB は、a, b のい ずれか、またはともに負であるような領域（第 2 から第 4 象限）にまで動くことができる。 (2) 線分 AB を 1 : 2 に内分する点 P(x, y)を、A, B の座標で表すという意味。 (3) (2) で求めた関係を、(1)で求めた関係式に代入する。 6. 与式が表すのは主軸が x 軸で、下に凸な放物線なので、準線は、y = -p である。従って、この準線上の任 意の点を、P(a, -p) などと置いてよい。 なお、主軸が x 軸であるような放物線の接線は、y 軸と平行（傾きが +∞）になることはないので、準線上の 点 P を通る任意の直線を、傾きを m とおいて、(y + p) = m(x - a) と書いて良い。 放物線の式に代入したときに、重解条件から、m についての方程式（p を含む式）がでてくるので、m について 解く。mm' = -1 になるならば、2 つの直線は直交する。 △ 放物線の準線の性質として「焦点を通る直線を書いて放物線と 2 点で交差するとき、その交点に於ける接線 は準線上で直交する」というものがある。知っておくと放物線がらみの問題を解くのに便利かもしれません。 右図、証明は省略。 点 A, B は焦点 F を通る任意の直線と、 放物線との交点 L1 は準線 L2, L3 は点 A, B における接線 L2 と L3 は準線 L1上で直交する。 この点を P とすると、 点 P は H1H2 の中点となっている。 （H1, H2 はそれぞれ点 A、B より 準線におろした垂線の足である） 放物線の性質より、AF = AH1, BF = BH2 また、証明省略しますが、 △AH1P と △AFP は合同 △BH2P と △BFP は合同 よって、AB⊥FP （∠AFP = ∠BFP = ∠R) ∠H1AP = ∠FAP, ∠H2BP = ∠FBP … このような角度の関係（接線が、∠FAH1や∠FBH2 を二等分する）から、放物線の形の鏡の焦点におかれ た点光源からの光が反射されたあと、平行線になっていきます。H1A の延長上に H1' を、PA の延長上に P'を取
ると、∠H1AP と∠H1'AP' が錯角で等しいです。つまり、∠FAP = ∠H1'AP' で、光の反射の経路になります。
7. まず領域を作図する。主軸が x 軸で左に凸な放物線の右側（x が f(x)より大きい側）、かつ、直線より下 部。この領域にかかるように描くことのできる 2x - 3y = k より、y = (2/3)･x - k/3 の直線のうち、切片が 最大のものが k の値が最小となる。vice versa. 8. 軌跡を求める際は、条件を満たす任意の点を P(x,y) と置く。PF + PF' = 2a の関係を、座標を用いた式に し、整理する。7/5 ハンドアウト資料 p3 を参照して下さい（答えが載っています）。 A B F P H1 H2 L1 L3 L2 x y O
問題集 423. (1) 交点を求める問題は、連立方程式を解く。 ただし、ここでは作図により答えが求まる…かも。 (2) 交点の座標が求まれば、2 点間の距離が求まる。 (3) 線分の中点を中心とし、線分の半分を半径とする。 424. 円の接線の公式を用いてよい。 公式を用いない場合は、まず作図をして、円の中心から接点を結ぶ動径の傾 きを求める。これに垂直で、かつこの接点を通る点の方程式を求める。 425. いくつかの方法があるが、後ろの解説ではタレスの定理（直径に対する円周角が直角である）を用いてい る。円周上の任意の点 P(x,y) と置き AP の傾きと、BP の傾きの積が -1 になることより式を証明している。 別解）A,B を直径の両端とする円の中心は ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) で、半径 r は (2r)2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 または、r2 = (x 2-x1)2/4 + (y2-y1)2/4 である。よって、この方程式は、(x - (x1+x2)/2)2 + (y - (y1+y2)/2)2 = (x2-x1)2/4 + (y2-y1)2/4 である。これを式変形して整理すると、与式になる。次の通り。 (x - (x1+x2)/2)2 + (y - (y1+y2)/2)2 = (x2-x1)2/4 + (y2-y1)2/4 (x - (x1+x2)/2)2 - (x2-x1)2/4 + (y - (y1+y2)/2)2 - (y2-y1)2/4 = 0 x2 - (x 1+x2)x + (x2+x1)2/4 - (x2-x1)2/4 + y2 - (y1+y2)y + (y2+y1)2/4 - (y2-y1)2/4 = 0 x2 - (x 1+x2)x + x1x2 + y2 - (y1+y2)y + y1y2 = 0 (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0 426. (1) 円の接線の公式を用いても良い。また、424 や例題と同様に考えても良い。 (2) y 切片が(0,3) であるから、x 軸方向に引き延ばして円にしてから楕円に戻しても良い。 X2/3 = x2/2 すなわち、X = √(3/2)･x 、Y = y と置くと、X2 + Y2 = 3 となる。 接線は（X,Y) = (0,3) を通る任意の直線 -Y + mX + 3 = 0 のうち、原点との距離が√3 のもの。 すなわち、√3 = 3/√(1 + m2) よって、m = ±√2。よって、Y = ±(√2)X + 3 X = √(3/2)･x (, Y = y) なので、y = ±√2×√(3/2)･x + 3 すなわち、y = ±√3 + 3 （別解）楕円のまま求めるならば、y = mx + 3 を楕円の式と連立させ、重解条件より m を定める。 （別解２）楕円の接線の公式 x0x/a2 + y0y/b2 = 1 を用いてもよい。 なお、同様に双曲線の接線の方程式は、x0x/a2 - y0y/b2 = 1 です。併せて知っておきましょう。 (3) 主軸が x 軸の放物線で、左に凸。作図をしてみると分かりやすい。 例題 (式 A)×(式 B) の符号は、A、B が同符号（ともに正、またはともに負）のとき正、異符号のとき負。 427. 例題と同様に、2 つの式に分けて、符号を調べる。 428. y - 2x = k より、y = 2x + k について、領域にかかるように作図したとき、切片のとる範囲を調べる。 429. 双曲線ハンドアウト資料 p3 を参照（答えが書いてあります）。 430. 内分のところですでにやっているので、割愛。 431. 座標に関係なく、作図してみること。内分と外分の意味が分かっていれば大丈夫。
（以下、読みものです）
△ アポロニウスの円と垂直二等分線 … 図形的には不連続でも、意味的にはつながっている例 O(0, 0)、A(a, 0) (a > 0) として計算。距離の比が m : n （ただし、m, n > 0）の点 P(x, y)の軌跡 OP2 : AP2 = m2 : n2 より n2(x2 + y2) = m2((x - a)2 + y2) n2(x2 + y2) = m2(x2 - 2ax + a2 + y2) (n2 - m2)(x2 + y2) + 2am2x = m2a2 … (*) → m = n のとき、 (*) において、(n2 - m2) = 0 なので、 2am2x = m2a2 x = a/2 … OA の垂直二等分線 → n ≠ m では、 (*) の両辺を (n2 - m2) で割って整理すると x2 + 2am2x/(n2 - m2) + y2 - m2a2/(n2 - m2) = 0 (x2 + am2/(n2 - m2))2 + y2 - a2m4/(n2 - m2)2 - m2a2/(n2 - m2) = 0 (x2 + am2/(n2 - m2))2 + y2 = a2m4/(n2 - m2)2 + m2a2(n2 - m2)/(n2 - m2)2 (x2 + am2/(n2 - m2))2 + y2 = (m2 + (n2 - m2))a2m2/(n2 - m2)2 (x2 + am2/(n2 - m2))2 + y2 = n2a2m2/(n2 - m2)2 中心が線分 OA を m2 : n2 に外分する点 (x, y) = (-am2/(n2 - m2), 0)、 半径 r = |anm/(n2 - m2)| の円 … アポロニウスの円 a = 10, m + n = 10 で作図 （左）横軸 m、縦軸 -am2/(n2 - m2)、（中）横軸 m、縦軸 anm/(n2 - m2)、（右）アポロニウスの円 左図は、アポロニウスの円の中心の位置。 中央図は、アポロニウスの円の半径（絶対値を取る前） m << n のとき、 円の中心はほぼ原点 O 付近にあり、 半径も非常に小さい（極限ではゼロになる）。 m < n で、m ≒ n に近づくにつれて、 円の中心は、左側にシフトし、極限では x = -∞ 半径もどんどん大きくなり、極限では r = +∞ m = n の極限では、アポロニウス円の極限として OA の垂直二等分線となっている。 m > n での、m ≒ n の極限では円の中心が x = +∞ その後、だんだん点 A に近づいていく。 LET a = 10
SET WINDOW -a/10, a, -50, 50 SET axis COLOR 1
DRAW axes (a/10, 10) FOR m = 0 TO a STEP 0.1 LET n = a - m IF n= m THEN PLOT lines ELSE LET Q = -a*m^2/(n^2-m^2) LET R = a*n*m/(n^2-m^2) PLOT LINES : m, Q; ! PLOT LINES : m, R;
! DRAW circle WITH SCALE(R)*SHIFT(Q,0) END if
NEXT m PLOT LINES SET LINE STYLE 3
PLOT LINES : a/2,-50; a/2,50 PLOT LINES : 0,a; a,a END
△ 離心率で表した円錐曲線の違い（楕円、放物線、双曲線が一連の同じ性質のグループである） 離心率 は、放物線で述べたように、曲線上の点 P と、焦点 F、および P から準線におろした垂線の足 H につ いて、FP の PH に対する比（ = FP/PH、または、FP：PH = : 1）。楕円、放物線の方程式の標準形に対応 させると、 = c/a となる。または、焦点の座標(±c, 0) が (±a, 0) で与えられる（証明割愛）。 原点を一つの※焦点として作図した。R() = L/(1 + ×COS()) について、L = 1 とし、 が 0～2 で作図。 ただし、L 半直弦（2L は焦点を通り準線に平行な直線を二次曲線が切り取る長さ）、 は離心率。 左： は 0 ～ 1（円、楕円から放物線）、右 2 枚（範囲違い）： は 1 ～ 2（放物線から双曲線） ※ 双曲線は、焦点が一つだけである。左図から見てとれるように、「もう一つの焦点」は、楕円の領域では、 を 1 に近づけるにつれて左へ移動している。その極限である放物線では、「もう一つの焦点」がマイナス側 の無限遠にあるとみることができる。一方、右図から見てとれるように、離心率を 1 より大きくし双曲線とす ると、「もう一つの焦点」は右側（離心率が 1 を超えた直後はプラス側の無限遠）から現れてくる。そして、 離心率が大きくなると（極限では、双曲線の漸近線の傾きも±∞に近づき、2 本の漸近線が一致した x = 0 に 収束することになり）、「もう一つの焦点」も再び原点に収束する。 縦軸に離心率をとり、原点以外の「もう一つの焦点」の x 座標値を横軸にとったグラフとして表したものを 下図に示す。離心率が 0 では図形は真円となり、楕円の 2 つの焦点が中心の位置で 1 つに縮退している。離心 率が 0 から 1 の範囲は楕円である。ここでは、その右側の焦点が原点になるように作図しているので、「もう 一つの焦点」はマイナス側にあり、離心率 1 では、「もう一つの焦点」の位置がマイナス無限大に発散し放物 線となる。1 を超えると、再びプラスの無限大側に「もう一つの焦点」が表れ、図形は双曲線となる。やがて更 に離心率が大きくなると「もう一つの焦点」の位置が原点に収束し、その極限では、双曲線は（漸近線が傾き 無限大で、焦点が 0 の）直線 x = 0 に一致していく。このように見ることで、円、楕円、放物線、双曲線とい う異なるように見える 円錐曲線を、離心率と いうパラメータにより 連続したものとして捉 えることができる。 前ページ、アポロニ ウスの円の中心が、線 分の両末端からの距離 の比 m : n が変化した ときの振る舞いと比較 してみよう。 SET WINDOW -12, 12, -0.2, 2.5 SET axis COLOR 1
DRAW axes (5, 0.5) SET POINT STYLE 1
DEF R(t) = L/(1 + e*COS(t)) LET L = 1
FOR e = 0 TO 2.5 STEP 0.01 WHEN EXCEPTION IN
PLOT LINES : -R(PI) + R(0), e; USE
PLOT LINES END when NEXT e PLOT LINES SET LINE STYLE 3
PLOT LINES : -12, 1; 12, 1 PLOT TEXT ,AT -1.5, 2.2 : "e↑" END
△ 離心率で表した円錐曲線の違い、その２ 前頁では、一方の焦点を原点に固定し、二次曲線の y 切片が(0, ±L)となるように作図して、「もう一つの 焦点」がどこにあるのかという観点で調べた。別の視点として、二次曲線の準線（放物線では 1 本ある。楕円 では（長軸上（焦点のある側）の頂点の外側に、長軸に垂直に）2 本あり、双曲線では向かいあう頂点の内側に 主軸に垂直に 2 本存在する※）に注目し、1 本の準線と 1 つの焦点を固定して作図することもできる（厳密に は、この方法では離心率 0 の極限では焦点からの距離がゼロの点になってしまい、真円は作図できない）。 ※ 楕円、双曲線ともに、2 組の準線および焦点の組をもつが、（特に双曲線も）1 組の準線と焦点の組み合 わせだけで完全に作図することができることに注意。1 対 2 本の双曲線の曲線の主軸との交点は、主軸位置と焦 点との距離を内分する点と外分する点になっている。 この方法で作図すると、離心率によって準線間の距離や、図形の中心（2 焦点間の中点、2 つの準線との距離 が等しい主軸上の点）がどのように推移するのかを調べることができる。 その他、いろいろな方法で離心率を変えて円錐曲線を作図し、解説したウェブページもありますので、参照 にしてください。 url : http://fnorio.com/0069quadratic_curve1/quadratic_curve1.htm △ 円錐曲線 教科書 p191 「直線 y = mx （ただし m ≠ 0）を y 軸のまわりに回転してできる上下 2 つの円錐を、（原点を通らない※） 平面で切ると、切り方によって切り口が楕円(1)、放物線(2)、双曲線(3)となる。このことから、2 次曲線は円 錐曲線とも呼ばれている。」 → この時の y 軸（回転の軸）を、円錐の「軸」という。 → この時の直線 y = mx 、および直線を回転したものを「母線」という。 → 軸と母線の交点が、円錐の「頂点」となる。 → 原点（円錐の頂点）を通る平面で切ると、得られる図形は 点、または「二線」となる。 → 円錐の軸に垂直に（頂点以外の位置で）切ったとき、円が得られる。 → (1) 円錐の軸となす角が、直角未満で、母線がなす角より大きいとき、楕円が得られる。 → (2) 円錐の軸となす角が、母線がなす角と等しいとき、放物線が得られる。 → (3) 円錐の軸となす角が、母線のなす角より小さい（ゼロ、平行を含む）とき、双曲線が得られる。 注意 円の中心は、あきらかに円錐の軸と切断面の交点ですが、それ以外の図形の中心や焦点は、切断面と軸 の交点と一致しません。 参考ウェブページ ○ 「円錐曲線 円錐曲線が２次曲線（楕円・放物線・双曲線）であることを証明しよう！」 http://www.schoolmath.jp/3dcontent/cont/ogihara/04/index.html → 信州大学教育学部におる教育用のコンテンツです。証明の手順を丁寧に示しています。 ウェブページに表示されるスライドショーを確認しながら、図を見て一緒に考えてみて下さい。 ○ 数学対話 幾何分野 → 円錐曲線・二次曲線 → 円錐曲線の定義と離心率 http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/quadra/node3.html → 青空学園というウェブコンテンツ群の中の一つです。 わかりやすい図と対話形式の読みやすい説明が特徴だと思います。「南海先生」が講師役です。 引用「むしろ円錐曲線として考えることによって、二次曲線がよくわかる。また、歴史的にも 二次曲線は、円錐を切った断面に現れる曲線、つまり円錐曲線として発見され研究された。 そこで今日は、歴史的な過程をたどりながら、次のような内容を一緒に考え、まとめていこう。」
（証明の要点）円錐に内接し、円錐を切断する平面と接している球を考えます。 切断面が楕円の場合、片方の円錐内に、このような球が 2 つ（面の上下）描けます。 切断面が双曲線の場合、両方の円錐内に、このような球が 1 つづつ描けます。 切断面が放物線のときは、このような円は 1 つのみ描けます。 この球と、切断する平面が接する点が、これらの図形の焦点 F, F' となります。 また、円錐と内接球の交線（円）を含む平面が、切断平面と交差する直線が準線です。 図形上の任意の点 P を通る母線が円錐と球が接する円と交差する点を Q, Q' と置きます。 PF, PQ ともに球に対する接線なので、PF = PQ, 同様に PF' = PQ' が成り立ちます。 従って、片方の円錐内に球が 2 つある時、PF + PF' = PQ + PQ' = QQ' で常に一定です。 従って、楕円であることが判ります。 それぞれ別の円錐内に内接する 2 つの球に接する平面で切断する場合、 PF = PQ, PF' = PQ' が成り立つところまでは同じですが、Q, Q' が向かい合う円錐上に ありますので、|PF - PF'| = |PQ - PQ'| = QQ' が常に一定で、図形が双曲線となります。 放物線の場合は、円錐を切断する平面が母線と平行なため、平面より下に内接球が描けません。 すなわち、内接球（および、もう一つの焦点）が無限遠に遠ざかった極限と考えても良いです。 作図なしに説明するのは、かなり煩雑になるので、参考ウェブページを読んでみてください。 なお、2 番目の参考ページでは、切断平面と母線が軸に対してなす角からの離心率の定義も説明しています。 = PF / PH = cos() / cos() ただし、 は、母線が円錐の軸に対してなす角。 は円錐を切断する平面が円錐の軸に対してなす角。 すなわち、 = 1 ←→ = は、円錐を切断する平面が母線に対して平行であることを意味する。 △ 円錐曲線の応用 － 日時計の影の先端は、双曲線を描く。 太陽は、大地に対し相対的に日周運動をしているため、地表に 立てた棒の先端と太陽を結んだ線は円錐を形成する。従って、太 陽からの光線を、その棒の影の先端が遮る空間内の点の集合は、 やはり円錐表面となる。従って、棒の影の先端が地表に描く軌跡 は、この円錐と地表面の交線であるから、地表面を平面と見做す と双曲線（の一部）となる。
